Neste secção descrevem-se as estruturas de dados utilizadas para guardar a informa- ção que permite a especificação completa do modelo matemático que caracteriza o fenómeno da condução de calor em regime transitório num meio bidimensional. A especificação da formulação computacional do problema em elementos finitos com- preende:
1 A especificação das variáveis globais associadas ao processo de resolução do modelo mate- mático
Incluem-se as variáveis que indicam o número e tipo de elementos a utilizar bem como parâmetros globais associados aos métodos de integração numérica, nome- adamente, o passo de integração temporal, pontos e pesos de Gauss e as tolerân- cias utilizadas nos processos iterativos;
2 A representação computacional da discretização do domínio em elementos finitos
Consiste na identificação e localização do nós globais que compõem a rede de elementos finitos. A relação entre os nós globais e os nós locais de cada elemento descreve a geometria e localização dos elementos nos quais o domínio é dividido;
3 A representação dos coeficientes da equação diferencial que rege o fenómeno
A fonte de calor, calor específico, densidade e condutividade podem variar de elemento para elementos pelo que é necessário desenvolver estruturas de dados associados a cada elemento com esta informação. Como estes coeficientes estão associados às propriedades do meio físico onde ocorre o fenómeno da condução de calor é habitual o uso da designação "coeficientes materiais";
4 A representação das condições de valor de fronteira e de valor inicial
A representação das condições de fronteira envolve inicialmente a divisão da fronteira do domínio nas sub-fronteiras (lados) nas quais são especificadas con- dições distintas. As condições de fronteira podem ser de três tipos: condições essenciais, naturais e mistas. A especificação das condições essenciais para os problemas tratados nesta tese, traduz-se na especificação de valores nos nós glo- bais pelo que é descrita pela relação entre os lados e os valores especificados. A especificação das condições naturais e mistas é caracterizada pela relação entre os lados e os valores especificados ao fluxo na direção normal exterior incluindo, no caso das condições mistas, a especificação da temperatura e do coeficiente de convecção.
5.4.1
Representação da geometria do domínio e conectividade
Considere-se a discretização e decomposição de um domínio Ω em Ng nós (nós glo-
bais) e Neelementos com Nnenó locais. Representamos essa discretização porΩhonde
h é um parâmetro característico da decomposição, como por exemplo, o comprimento máximo de todos os lados de todos os elementos considerados.
pode então ser realizada com o recurso a duas variáveis: O vetor de números reais Nos onde é expressa a identificação e localização dos nós globais e a matriz de conectivi- dade Mc traduzindo a relação entre os nós locais a cada elemento e os nós globais.
A malha
Ωh = {(x1, y1),(x2, y2), ...,(xNg, yNg)} ∈R
Ng×2
é armazenada na lista Nos. Temos então que a estrutura
Nos≡Ωh
é uma lista onde Nosi é o vetor deR2 contendo localização do i-ésimo nó global. A
posição de um determinado nó nesta lista determina a sua identificação. Os nós são numerados sequencialmente consistindo a sua identificação num número natural.
A divisão do domínio em elementos representa-se computacionalmente com a ma- triz de conectividade
Mc∈ NNe×Nne.
Esta matriz contém a relação entre a identificação dos nós globais e a identificação dos nós locais de cada elemento.
Cada uma das linhas da matriz Mc são os vetores deNNne, ou seja
Mce = {n(1e), n2(e), ..., n(Nnee) } : e=1, 2, ..Ne,
onde n(ie) : i = 1, 2, .., Nne, representa a identificação do i-ésimo nó local do e-ésimo
elemento de um elemento dotado de Nne nós locais. Deste modo, Mce,j contém a iden-
tificação do j-ésimo nó local do elemento e.
A partir da matriz de conectividade Mc e da estrutura Nos podem obter-se as co- ordenadas (x,y) do i-ésimo nó local do e-ésimo elemento fazendo
j = Mce,i,
{x, y} = Nosj.
Na linguagem Mathematica, pode escrever-se
( ∗ Coordenadas g l o b a i s e c o n e c t i v i d a d e ∗ ) j =Mc [ [ e , i ] ] ;
{ x , y }=Nos [ [ j ] ] ;
Código Mathematica 5.1: Representação das coordenadas globais e conectividade
Considerando o modelo particular da sec. 5.3 e as definições anteriores, representa- se a geometria e conectividade da malha de elementos finitos, na linguagem Mathe- matica como: ( ∗ Representação da d i s c r e t i z a ç ã o do domínio ∗ ) Ne=4 ; Nng=6 ; Nne=3 ; Nos = { { 0 , 0 } , { 0 . 5 , 0 } , { 0 . 5 , 0 . 5 } , { 1 . 0 , 0 } , { 1 . 0 , 0 . 5 } , { 1 . 0 , 1 . 0 } } ; Mc = { { 1 , 2 , 3 } , { 2 , 5 , 3 } , { 2 , 4 , 5 } , { 5 , 6 , 3 } } ;
Código Mathematica 5.2: Representação da discretização do domínio
5.4.2
Representação dos coeficientes da equação diferencial
Para a representação dos coeficientes da equação utiliza-se a matriz Mat constituída pelas linhas
Mate = {tipo, nne, k(11e), k(12e), k(21e), k22(e), ρ(e), c(e), Q(e)}, e=1, 2, ..., Ne,
contendo informação sobre o tipo de elemento tipo e número de nós locais nne, os coe- ficientes de condutividade k11, k12, k21, k22, a densidade ρ, o calor específico c e a fonte
geradora de calor Q associada a cada elemento e. Os tipos de elementos atualmente suportados são:
- Tipo 1: Elementos triangulares lineares
- Tipo 2: Elementos quadriláteros lineares
- Tipo 3: Elementos serendipidade de 8 nós locais.
O código seguinte:
( ∗ C o e f i c i e n t e s da equação r e g e n t e ∗ )
Mat = { { 1 , 3 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 } , { 1 , 3 , 2 , 0 , 0 , 2 , 1 , 1 , 1 } , { 1 , 3 , 2 , 0 , 0 , 2 , 1 , 1 , 1 } , { 1 , 3 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 } } ;
representa a formulação em elementos finitos do modelo particular, onde as conduti- vidades variam de elemento para elemento e onde a fonte de calor, densidade e calor especifico são constantes em todos os elementos.
5.4.3
Representação das condições de fronteira
As condições a impor na fronteiraΓ são expressas com o recurso à lista frt de r-uplas,
frt= {l1, l2, l3, ..., lr},
onde r é o número de sub-fronteiras consideradas.
O número de sub-fronteiras (lados) é determinado pelo número de condições distintas a impor na fronteira. Cada uma das sub-fronteiras, ou lados li,
li = {ni1, ni2, ..., nip}: i =1, 2, .., r,
consiste na identificação da sequência ordenada, no sentido anti-horário, da identi- ficação dos p nós globais que compõem essa porção da fronteira. Considerando as definições anteriores, as condições de fronteira cf podem expressar-se na lista de tri- pletos
cf= {{l1, tipo1, v1},{l2, tipo2, v2}...{lr, tipor, vr}},
onde li é a identificação do i-esimo lado. A variável inteira tipoi identifica o tipo de
condição de fronteira, assumindo o valor 1, caso a condição seja do tipo essencial, e assumido o valor 2 caso seja do tipo natural. A variável simbólica virepresenta o valor
ou a função especificada no i-ésimo lado da fronteira.
De acordo com as condições de fronteira expressas na figura 5.1, temos:
- na sub-fronteira 1, que liga o ponto(1, 0)ao ponto(1, 1), contendo os nós globais 4, 5 e 6, está especificada a condição essencial de fronteira T =Sin(πy);
- na sub-fronteira, que inclui os nós globais 6,3,1,2 e 4 está especificada a condição natural de fronteira qn =0.
Por conseguinte, considerando o modelo particular, a representação computacional das condições de fronteira, em linguagem Mathematica vem:
( ∗ Representação das c o n d i ç õ e s de f r o n t e i r a ∗ ) l 1 = { 4 , 5 , 6 } ;
l 2 = { 6 , 3 , 1 , 2 , 4 } ; f r t ={ l 1 , l 2 } ;
condf = { { l 1 , 1 , S i n [ P i y ] } , { l 2 , 2 , 0 } } ;
Código Mathematica 5.4: Representação das condições de fronteira
5.4.4
Representação das condição de valor inicial
Na formulação em elementos finitos a condição de valor inicial traduz-se na especifi- cação de valores em todos os nós globais da função T0(x, y)na lista Ci,
Ci = {T0(x1, y1), T0(x2, y2), ..., T0(xn, yn)},
onde(xj, yj)são as coordenadas do j-ésimo e n o número de nós globais. Considerando
em (5.1) a condição inicial é T0(x, y) = 0 e uma discretização com n = 6 elementos,
temos, em Mathematica,
Ci = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } ;
Código Mathematica 5.5: Representação da condição de valor inicial