Linhas gerais do Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é uma ferramenta, compreendendo várias técnicas numéricas, orientada para a obtenção de soluções aproximadas para uma grande vari- edade de problemas de interesse para a engenharia, física e matemática.

O MEF teve a sua génese nos estudo de tensões em problemas de estruturas ae- ronáuticas, tendo sido expressamente desenvolvido com enfoque nestes problemas.

Todavia, o seu âmbito rapidamente ultrapassou estas fronteiras, sendo estendido por forma a ser aplicável a um espectro muito alargado de problemas da mecânica contí- nua.

Devido à sua flexibilidade e adaptabilidade, o MEF tem vindo a ser muito estudado ao nível académico e industrial, constituindo um bom exemplo de interligação entre as valências do mundo académico e as oportunidades do mundo industrial. Os pro- blemas que vão emergindo no domínio das ciências aplicadas, têm mostrado que os modelos matemáticos que descrevem os problemas na sua esmagadora maioria, não permitem a obtenção de uma solução analítica simples.

Uma alternativa mais económica consiste na utilização de métodos numéricos efi- cientes. Estes métodos, em teoria, permitem a determinação de uma solução aproxi- mada, onde o esforço computacional depende do grau de precisão que se pretende atingir. A generalidade dos métodos de aproximação quando aplicados a problemas de base real, onde existem muitos dados, conduzem a sistemas de equações de grande dimensão. Tal representa um acréscimo, aparentemente incomportável, no volume de cálculos tornando-os inadequados ao cálculo manual. Este grande obstáculo é, hoje em dia, ultrapassado com a utilização de sistemas computacionais. Pode afirmar-se, por isso, que o desenvolvimento dos sistemas computacionais conferiu grande atualidade e alcance aos métodos numéricos. O MEF é, neste contexto, um exemplo paradigmá- tico.

Ao longo do tempo têm evoluído vários métodos de aproximação . O método das diferenças finitas (MDF) é ainda uma técnica muito usada. Este método aplica a equação regente num conjunto finito de pontos do domínio de interesse e aproxima as deriva- das presentes na equação regente e as condições de fronteira, pelas correspondentes aproximações (fórmulas de diferenças finitas). Deste modo, desenvolve-se o modelo do problema em diferenças finitas traduzindo um sistema de equações. As fórmulas de diferenças finitas deduzem-se rapidamente a partir do desenvolvimento em série de Taylor da função incógnita. O modelo em diferenças finitas torna-se mais preciso com o aumento do número de pontos em que é discretizado do domínio.

Com diferenças finitas podem resolver-se problemas razoavelmente complicados. Contudo, na presença de problemas definidos sobre domínios geometricamente com- plexos, a técnica das diferenças finitas levanta muitas dificuldades na aproximação destes domínios.

Contrastando com o MDF, o MEF considera o domínio constituído, não por uma coleção de pontos, mas sim por um agregado de um grande número de sub-domínios “pequenos”, e de geometria simples designados elementos finitos.

O modelo MEF de um problema consiste numa aproximação orientada ”por tro- ços”, ou por elementos, da equação regente. Para que esta aproximação seja possível é essencial a verificação da hipótese fundamental do MEF. Esta condição traduz-se na possibilidade do domínio de solução poder ser representado (ou aproximado) como a reunião dos elementos considerados. Uma vez que estes elementos podem ser agrega- dos de múltiplas formas, é possível representar domínios geometricamente complexos.

Num problema de valores de fronteira, definido num domínio contínuo, a função incógnita (variável dependente) possui infinitos valores, pois é função dos pontos do domínio. Consequentemente o problema terá uma infinidade de incógnitas. Para con- tornar esta dificuldade, o processo de discretização do domínio no MEF transforma o problema original num problema equivalente onde o número de incógnitas é finito. Tal é concretizado dividindo o domínio em elementos e expressando a função incóg- nita em termos de funções de aproximação à solução dentro de cada elemento. As funções de aproximação (interpolação) são definidas considerando os valores da fun- ção incógnita, em determinados pontos, que se designam por nós.

Os nós localizam-se geralmente na fronteira dos elementos onde elementos adja- centes são ligados. Além dos nós localizados na fronteira, os elementos podem ter também nós interiores. Os valores nodais da função incógnita e as funções de inter- polação associadas a cada elemento definem o comportamento aproximado da função incógnita em cada um dos elementos - soluções locais. Atendendo ao facto de cada so- lução local ter suporte apenas no elemento respetivo, garante-se que a soma de todas as soluções locais constitui a solução aproximada em todo o domínio. A solução do problema em elementos finitos, consiste na determinação dos valores nodais da fun- ção incógnita que agora os únicos parâmetros a determinar. Uma vez determinados todos estes parâmetros, fica definida a solução local em cada elemento. A solução glo- bal (solução MEF) será simplesmente a soma das soluções locais ao longo da malha de elementos, que foi considerada.

A natureza da solução e o grau de precisão dependem da tipologia, do número e “tamanho” dos elementos utilizados e do grau das funções de interpolação. A cada tipo de elemento estão associadas as funções de interpolação especificas. As funções

de interpolação devem satisfazer determinadas condições de compatibilidade.

O MEF permite a formulação do problema em cada elemento antes de se proceder à reunião de todos eles para representar o problema global. Deste modo, podem-se redu- zir problemas muito complexos, onde sub-regiões do domínio têm propriedades físicas diferentes, a um conjunto de problemas muito mais simples. Esta valência importante confere ao MEF uma flexibilidade que o distingue de outros métodos concorrentes.

Outra vantagem do MEF advém da multiplicidade de formas com que é possível formular as propriedades de cada elemento. Podem identificar-se três modalidades alternativas para formular as propriedades de cada elemento [19]:

- A formulação direta. Esta formulação decorre diretamente da aplicação de um modelo de origem física para descrever as propriedades do elemento. Por exem- plo, a determinação da matriz de Rigidez e do vetor força, diretamente a partir da teoria da elasticidade.

- A formulação variacional. Esta aproximação assenta no cálculo de variações e consiste na determinação da função, que torna um dado funcional extremo. Em problemas de Mecânica de sólidos, o funcional representa a energia potencial ou algumas variantes deste. Um dos métodos de aproximação mais usados na cons- trução dos sistemas-elementos, baseado nos princípios variacionais, é o método de Rayleigh-Ritz.

- A formulação em resíduos pesados, o qual tem uma base puramente matemática. Neste caso, consideram-se apenas a equação regente e as condições de fronteira do problema e procede-se à aplicação do método, independentemente de existir ou não algum princípio variacional traduzido na existência de um funcional a minimizar. Esta aproximação é vantajosa, pois torna possível estender o MEF a uma classe maior de problemas.

Independente da modalidade que se utilize para formular as propriedades dos ele- mentos, o MEF é um método que segue uma ordem sequencial de passos.

Na secção seguinte, procede-se a uma breve descrição dos passos do método. Em termos computacionais, podem considerar-se três fases: pré-processamento, processa- mento e pós-processamento.