Caso 2: Fun¸c˜ao de aptid˜ao bidimensional

Na abordagem multiobjetivo do problema de gera¸c˜ao de melodias, um modelo de Markov foi treinado para formar a segunda dimens˜ao da fun¸c˜ao de aptid˜ao. A estrutura do algoritmo gen´etico ´e, essencialmente, a mesma do caso unidimensional. Al´em da fun¸c˜ao de aptid˜ao, a ´unica diferen¸ca reside nos mecanismos de sele¸c˜ao de pais e sobreviventes utilizados.

Para a sele¸c˜ao de pais, o m´etodo do torneio ainda ´e utilizado, mas agora com base no crit´erio de dominˆancia. Conforme visto na Se¸c˜ao 4.2.2, para que se considere

Tabela 6.2: Configura¸c˜ao do teste de composi¸c˜ao de melodias com fun¸c˜ao de aptid˜ao unidimensional.

Algoritmo Gen´etico N´umero de gera¸c˜oes: 100

Tamanho da popula¸c˜ao: 100 indiv´ıduos, `(x)_{∈ [20, 82]} Representa¸c˜ao: absoluta, somente pitch Recombina¸c˜ao: crossover de um ponto

Muta¸c˜ao: uniforme no intervalo [0, 25] Sele¸c˜ao de pais: torneio de tamanho 2

Sele¸c˜ao de sobreviventes: (µ + λ), “estado estacion´ario”

que um indiv´ıduo A domina sobre outro indiv´ıduo B, ´e necess´ario que o valor de sua aptid˜ao em cada uma das diferentes dimens˜oes seja pelo menos igual ao valor de aptid˜ao de B na mesma dimens˜ao e estritamente superior em pelo menos um destes casos (no sentido de maximiza¸c˜ao ou de minimiza¸c˜ao). No m´etodo do torneio com dominˆancia, em vez de se analisar o valor de cada indiv´ıduo em uma ´unica fun¸c˜ao objetivo, os valores de aptid˜ao em cada dimens˜ao s˜ao comparados para que se estabele¸ca qual dos indiv´ıduos domina sobre o outro e, portanto, ser´a selecionado como pai. Caso a rela¸c˜ao encontrada seja de n˜ao dominˆancia, entende-se que os dois indiv´ıduos fazem parte da mesma fronteira, i.e., o subconjunto da popula¸c˜ao em que todos os indiv´ıduos expressam uma rela¸c˜ao de n˜ao dominˆancia entre si. Nessa situa¸c˜ao, o indiv´ıduo na regi˜ao da fronteira que ´e menos densa4_{´e que ser´a selecionado}

como pai. A esse mecanismo d´a-se o nome de crowding distance (CD) [93].

A sele¸c˜ao de sobreviventes tamb´em utiliza o conceito de dominˆancia. Basica- mente, a nova popula¸c˜ao ´e preenchida at´e o tamanho desejado a partir das dife- rentes fronteiras. Isso significa que, uma vez que os filhos tenham sido gerados, as fronteiras de n˜ao dominˆancia s˜ao calculadas e os indiv´ıduos s˜ao selecionados como sobreviventes a come¸car da fronteira mais externa, i.e., aquela que domina sobre to- das as demais fronteiras e n˜ao ´e dominada por nenhuma. Se na ´ultima fronteira nem todos os indiv´ıduos poder˜ao ser selecionados para sobreviver, os melhores indiv´ıduos s˜ao escolhidos novamente com base na crowding distance [93].

Essas duas altera¸c˜oes no funcionamento do algoritmo gen´etico s˜ao caracter´ısticas da abordagem do NSGA-II [93], algoritmo que se tornou um “padr˜ao” no tratamento de problemas multiobjetivo.

A outra diferen¸ca neste caso do teste de composi¸c˜ao de melodias ´e a segunda dimens˜ao da fun¸c˜ao objetivo, que ´e dada pela raiz L-´esima (cf. Equa¸c˜ao 2.18) da probabilidade dos indiv´ıduos em um modelo markoviano suavizado. O modelo foi

4_{Essa m´etrica ´e definida para cada indiv´ıduo como o comprimento m´edio dos lados do cuboide}

Z

42

 

(a) Cromossomo: [25, 26, 9, 26, 9, 26, 14, 26, 12, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26] (b) Intervalos: [25, 0, 5,_−2] (c) Ritmo (relativa): [(25, 0,5), (0, 1,0), (0, 1,0), (0, 4,0)] (d) Completa (relativa): [(25, 0,5), (0, 1,0), (5, 1,0), (_{−2, 4,0)]}

Figura 6.1: Diferentes tipos de representa¸c˜ao no sistema: (a) representa¸c˜ao mani- pulada pelos operadores do GA; (b) representa¸c˜ao utilizada pelo modelo de Markov no teste de composi¸c˜ao de melodias; (c) representa¸c˜ao utilizada pela gram´atica de Kohonen no teste de composi¸c˜ao de ritmos; e (d) representa¸c˜ao utilizada pelos mo- delos no teste de composi¸c˜ao simultˆanea de melodia e ritmo.

treinado nas ordens N = 0, 1, 2 sobre o mesmo subcorpus do qual as estat´ısticas das medidas heur´ısticas foram tiradas. Contudo, as sequˆencias de pitch n˜ao foram consideradas em sua representa¸c˜ao absoluta, mas na representa¸c˜ao relativa, i.e., as sequˆencias de pitch foram transformadas em sequˆencias de intervalos antes de serem processadas5 _{(cf. Figura 6.1). Para lidar com a esparsidade e ao mesmo tempo ace-}

lerar a convergˆencia do algoritmo gen´etico nessa dimens˜ao da fun¸c˜ao multiobjetivo, o modelo de segunda ordem foi suavizado com dois m´etodos: aditivo e de inter- pola¸c˜ao. Para o m´etodo aditivo (cf. Equa¸c˜ao 2.24), foram utilizados ξ = 1 (m´etodo “soma um”) e _{|T | = 50}3 _{(tamanho do vocabul´ario}6_{). No m´etodo de interpola¸c˜ao,}

os modelos de diferentes ordens foram combinados segundo a Equa¸c˜ao B.3, com um peso por modelo (e n˜ao por contexto, como na suaviza¸c˜ao de Jelinek-Mercer). O vetor de pesos ´otimo foi calculado assim como indicado no Apˆendice B, separando um subconjunto das cantigas do subcorpus para treinamento do modelo (75% das cantigas) e o restante para as estimativas do algoritmo.

A fun¸c˜ao f2(x) representada pela probabilidade no modelo suavizado ´e, ao

contr´ario de f1(x), um objetivo a ser maximizado. Se no caso da primeira dimens˜ao

a minimiza¸c˜ao da soma ponderada das distˆancias di(x) faz com que as medidas do

indiv´ıduo ´otimo se aproximem dos valores m´edios do subcorpus, a maximiza¸c˜ao da segunda dimens˜ao indica que a sequˆencia ´e mais prov´avel segundo o modelo ma- tem´atico treinado, i.e., os intervalos musicais s˜ao mais prov´aveis e est˜ao dispostos (at´e um contexto de duas notas) da maneira mais prov´avel. As duas dimens˜oes “competem” entre si, ou seja, o conjunto de solu¸c˜oes retornado pelo algoritmo re- presenta o compromisso entre essas duas otimiza¸c˜oes.

A Tabela 6.3 resume a configura¸c˜ao do teste de composi¸c˜ao de melodias para uma fun¸c˜ao de aptid˜ao com duas dimens˜oes.

5_{Marcadores de in´ıcio e de final foram colocados para avalia¸c˜ao pelo modelo de Markov assim}

como no trabalho de Ponsford et al. [28] (cf. Se¸c˜ao 2.3.2).

6_{Como a representa¸c˜ao absoluta admite 26 valores para cada gene, h´a 49 diferentes intervalos}

Tabela 6.3: Configura¸c˜ao do teste de composi¸c˜ao de melodias com fun¸c˜ao de aptid˜ao bidimensional.

Algoritmo Gen´etico Modelo de Markov Gera¸c˜oes e popula¸c˜ao: 100, 100 indiv´ıduos

Representa¸c˜ao: relativa, diferen¸ca de pitch

Representa¸c˜ao: absoluta, somente pitch

Recombina¸c˜ao: crossover de um ponto Ordem: 2 Muta¸c˜ao: uniforme

Suaviza¸c˜ao:

aditiva e de inter- pola¸c˜ao com mo- delos de menor or- dem (0 e 1) Sele¸c˜ao de pais e de

sobreviventes:

assim como em NSGA- II [93] (dominˆancia e crowding distance) 0 10 20 30 40 50 Gerac¸ ˜ao 0 100 200 300 400 500 A p ti d ˜a o

Figura 6.2: Curva de desempenho t´ıpica na composi¸c˜ao de melodias com fun¸c˜ao de aptid˜ao unidimensional. O gr´afico apresenta o valor m´edio de aptid˜ao em cada gera¸c˜ao, al´em dos valores m´aximo e m´ınimo (tracejados).

No documento Formalismos da Composição Algorítmica - Um Experimento com Canções Folclóricas Brasileiras (páginas 146-149)