Choque-1/Choque-2

Para ilustrar as conexões Choque-1/Choque-2, serão utilizadas as seguintes condições iniciais

ω_E=ω_C>0 para −∞<x<0

ω_D=−ω_C<0 para 0<x <∞ (5.1)

ψ_E=ψ_D=ψ_C<1 para −∞< x<∞

sendo ω_C e ψ_C duas constantes positivas e os subíndices “E” e “D” denotam os valores à esquerda e à direita de x=0.

Nesse caso tem-se que ω_E>ω_D e, pela Tabela 3.2, verifica-se que o único caso possível de ocorrer, para essas condições iniciais é Choque-1/Choque-2. As velocidades das ondas de choque no estado intermediário podem ser obtidas pelas equação (3.63) ou (3.70).

A saturação no estado intermediário é obtida pela equação (3.72), sendo a única raiz desta equação. Uma vez conhecida esta saturação ψ*, volta-se à Eq. (3.63) ou à Eq.(3.70)

para determinar ω*. Devido à não linearidade dessa equação, adotou-se um processo

iterativo para a sua determinação. Foi utilizado o método de Newton-Raphson para a obtenção da raiz (ψ*) de forma que F(ψ*)=0, sendo a função F(ψ*) dada por

(3.72). Como foi utilizado um procedimento iterativo, a tolerância utilizada (critério de parada) foi o erro de 1 x 10−8

.

A Tabela 5.1, obtida a partir da equação (3.89), apresenta alguns resultados para os dados iniciais propostos pela equação (5.1). Para cada dado inicial associado com (5.1), tem-se os valores de ψ_C e ω_C respectivamente nas colunas 1 e 2. A coluna 3 apresenta o valor considerado para c_W. Esta variável é associada à rigidez da matriz porosa, de tal forma que no limite, quando c_W∞ a matriz porosa é rígida, além de estar associada à

velocidade de propagação do constituinte fluido. A saturação intermediária ψ* e a pressão

intermediária p_* são apresentadas nas colunas 4 e 5. A pressão obtida com o procedimento exato (no qual o meio poroso é rígido e a hiperbolicidade é perdida) é mostrada na coluna 6. Essa pressão é obtida utilizando-se o procedimento descrito em [69]. Nas colunas 7 e 8 são apresentadas respectivamente a saturação intermediária ( ψ*) e a

pressão intermediária (p*) sem nenhuma restrição p=ψ . A coluna 9 apresenta a

velocidade da onda de choque para o caso sem restrição (nesse caso, as ondas de choque são simétricas, se movendo com mesma velocidade em sentidos opostos, ou seja, |s₁|=|s₂|=|_{s|) e a coluna 10 apresenta a velocidade da onda de choque para o caso com} restrição.

No caso de pressão exata (coluna 6), a pressão seria representada por uma linha vertical na Figura 2.2, isto é p=¯c2

ε para φ=ε .

Tabela 5.1 – Alguns resultados envolvendo a solução Choque-1/Choque-2 associada à equação (5.1). cW≠1 com restr. Valor Exato cW=1 sem restr. cW≠1 c/ restr. ψ_C ω_{C c} w ψ* p* p* ψ* p* ∣s∣ ∣s∣ 0,2 1,00 10 0,5236 0,5236 0,524 0,5236 0,5236 0,618 0,618 0,2 1,00 10000 0,5240 0,5240 0,524 0,5236 0,5236 0,618 0,618 0,3 1,00 10 0,7854 0,7854 0,785 0,7854 0,7854 0,618 0,618 0,3 1,00 10000 0,7850 0,7850 0,785 0,7854 0,7854 0,618 0,618 0,4 1,00 10 1,0006 1,0664 1,067 1,0472 1,0472 0,618 0,666 0,4 1,00 1000 1,0000 1,0670 1,067 1,0472 1,0472 0,618 0,665 0,5 1,00 10 1,0049 1,4951 1,500 1.309 1.309 0,618 0,991

0,5 1,00 1000 1,0000 1,5000 1,500 1.309 1.309 0,618 0,997 0,6 1,00 10 1,0108 2,0764 2,100 1,5708 1,5708 0,618 1.500 0,6 1,00 10000 1,0000 2,1000 2,100 1,5708 1,5708 0,618 1,500 0,2 2,00 10 1,0020 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,499 0,2 2,00 100 1,0000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500 0,2 2,00 1000 1,0000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500 0,2 2,00 10000 1,000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500 0,3 2,00 10 1,0101 2,007 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,845 0,3 2,00 100 1,0001 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857 0,3 2,00 1000 1,0000 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857 0,3 2,00 10000 1,0000 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857 0,4 2,00 10 1,0203 3,032 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,290 0,4 2,00 100 1,0002 3,066 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333 0,4 2,00 1000 1,0000 3,067 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333 0,4 2,00 10000 1,0000 3,067 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333 0,5 2,00 10 1,0337 4,374 4,500 2,9142 2,914 0,414 1,874 0,5 2,00 100 1,0003 4,499 4,500 2,9142 2,914 0,414 1,999 0,5 2,00 1000 1,000 4,500 4,500 2,9142 2,914 0,414 2,000 0,6 2,00 10 1,0519 6,187 6,600 3,4971 3,497 0,414 2,656 0,6 2,00 100 1,0006 6,595 6,600 3,4971 3,497 0,414 2,996 0,6 2,00 1000 1,0000 6,600 6,600 3,4971 3,497 0,414 3,000 0,6 2,00 10000 1,0000 6,600 6,600 3,4971 3,497 0,414 3,000 0,2 3,00 10 1,0144 2,442 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,737 0,2 3,00 100 1,0001 2,450 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,750 0,2 3,00 1000 1,0000 2,450 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,750 0,3 3,00 10 1,0311 4,108 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,231 0,3 3,00 100 1,0003 4,157 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,285 0,3 3,00 1000 1,0000 4,157 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,286 0,4 3,00 10 1,0521 6,208 6,400 4,3633 4,363 0,303 1,840 0,4 3,00 100 1,0005 6,398 6,400 4,3633 4,363 0,303 1,998 0,4 3,00 1000 1,0000 6,400 6,400 4,3633 4,363 0,303 2,000 0,5 3,00 10 1,0789 8,887 9,500 5,4542 5,454 0,303 2,591

0,5 3,00 100 1,0008 9,492 9,500 5,4542 5,454 0,303 2,995

0,5 3,00 1000 1,0000 9,500 9,500 5,4542 5,454 0,303 3,000

0,6 3,00 10 1,1131 12,314 14,100 6,5450 6,545 0,303 3,508

0,6 3,00 100 1,0013 14,074 14,100 6,5450 6,545 0,303 4,485

0,6 3,00 1000 1,0000 14,100 14,100 6,5450 6,545 0,303 4,500

Pelos dados da Tabela 5.1 pode se verificar que, para valores mais altos de c_W o valor da pressão calculada (mediante o modelo proposto) se aproxima do valor da pressão exata. Um segundo fato interessante diz respeito às velocidades das ondas de choque. Verifica-se que, quanto maior o valor de c_W maior a velocidade (em módulo) das ondas de choque. Sendo estas maiores que as velocidades encontradas para os casos sem restrição. No entanto, os valores das velocidades de choque não aumentam livremente com o aumento de c_W. As velocidades dos choques tendem a se estabilizar para valores de

cW muito altos, como se verifica na tabela 5.1. Além disso, para valores muito altos de c_W o valor da saturação no estado intermediário fica cada vez mais próximo da unidade, quando a conexão for do tipo choque-1 / choque-2, o que dificulta a realização de simulações numéricas devido à precisão do computador (em torno de 1 x 10−8). Logo, o valor de c_W deve ser sempre escolhido de forma conveniente a se obter valores computacionalmente adequados (ordens de grandeza semelhantes) para os autovalores.

De forma enfatizar a importância do procedimento proposto no presente trabalho, alguns resultados da Tabela 5.1 são plotados nas Figuras 5.1 a 5.4. Analisando os gráficos da saturação versus ξ fica bastante claro que os resultados para o caso sem restrição não são realistas, conforme destacado em [69]. Como a matriz porosa é quase indeformável, a

diferença entre a fração de fluido e a porosidade não pode exceder um valor muito pequeno

δ.

(a) (b)

Figura 5.1 – Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ωC=1,0,

ψ_C=0,5 e cW=10.

(a) _(b)

Figura 5.2 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ω_C=2,0,

(a) _(b)

Figura 5.3 - Pressão (a) e Saturação (b) versus =x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando _C=2,0,

_C=0,4 e c_W=10000.

(a) (b)

Figura 5.4 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ω_C=3,0,

Na Figura 5.1, o pequeno valor escolhido para a constante c_W=10 deu origem a uma saturação pouco superior a 1 (como apresentado na Tabela 5.1). Esse fato poderia ser facilmente evitado aumentando o valor de c_W. De qualquer forma, deve-se ter em mente que nenhuma matriz porosa é completamente rígida, assim, supor uma dilatação muito pequena na matriz porosa é admissível. Por outro lado, os resultados para o problema sem restrição dão origem a valores não realistas para a saturação, mas também levam a velocidades das ondas de choque não razoáveis. As velocidades dos choques e os valores das pressões são subestimados, enquanto a saturação é superestimada. A mesma conclusão pode ser feita observando-se a Figura 5.2, na qual o valor de c_W é suficientemente alto, de forma a garantir que a saturação seja sempre próxima a 1.

Na Figura 5.3 os valores das velocidades do choque e da pressão são fortemente subestimados (aproximadamente 2,5 vezes) e a saturação é fortemente superestimada (2,25 vezes), quando uma descrição do problema sem restrição é considerada. Todos esses efeitos são muito aumentados na Figura 5.4, para o problema sem restrição.

5.1.2. Rarefação-1/Rarefação-2

As seguintes condições iniciais são consideradas para ilustrar o caso Rarefação- 1/Rarefação-2, o qual dá origem a uma solução contínua

ω_E=−2,0 para −∞<x<0

ω_D=2,0 para 0<x <∞ (5.2)

e cuja solução (estado intermediário) é obtida pelas equações (3.35) e (3.71). As velocidades das ondas de rarefação são calculadas pelas equações (3.23) e (3.24). Adicionalmente, foi considerado c_W=10.

Nesse caso, a saturação no estado intermediário é a única raiz da equação (3.71). Uma vez conhecida esta saturação ψ*, volta-se à Eq. (3.35) para determinar ω*.

Novamente foi utilizado o método de Newton-Raphson para a obtenção da raiz ψ* de

forma que F(ψ_*)=0, sendo a função F(ψ*) dada por (3.71). A tolerância utilizada

(critério de parada) foi o erro de 1 x 10−8

.

A partir da equação (3.88) foram traçados os gráficos exibidos na Figura 5.5, que apresenta o comportamento da velocidade (Fig. 5.5 (a)) e da saturação (Fig. 5.5 (b)) para a única solução contínua possível para esse problema hiperbólico não-linear. Destaca-se que, para obter esse resultado interessante, uma saturação um pouco superior a 1 (ψE=ψD=1,02) foi considerada nas condições iniciais. Esse problema envolve uma

subdiferencial quando ψ=1,0, que estão entre λ1 b=−11,8020 e λ1 a=−2,8020

(associados ao menor e maior valor da subdiferencial para o primeiro autovalor, respectivamente) para rarefação-1 e entre λ_{2 a}=2,8020 e λ_{2 b}=11,8020 (associados ao menor e maior valor da subdiferencial para o segundo autovalor, respectivamente) para rarefação-2.

Um fato interessante é que o estado intermediário é caracterizado por ( ψ*=0,1650, ω*=0,0) e λ1 E=λ1(ψE, ωE)=−12,0, λ1*=λ1( ψ*, ω*)=−1,0,

caracterizado por

_λ

_1E

_⩽λ

_1* e ψ_E⩾ψ⩾ψ_*, enquanto o segundo leque de rarefação é

corresponde a

_λ

_2*

_⩽λ

_2D e ψ_D⩾ψ⩾ψ_*.

(a) (b)

Figura 5.5 - Velocidade (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para a solução contínua com condições iniciais em (5.2).

5.1.3. Rarefação-1/Choque-2 e Choque-1/Rarefação-2

Sejam condições iniciais a seguir, que originam um problema com conexões Rarefação-1/Choque-2,

ω=ω_D=ω_E=0 para −∞< x<∞

ψ=ψ_E>1 para −∞< x<0 (5.3) ψ=ψ_D<1 para 0<x <∞

A Tabela 5.2 apresenta alguns resultados para o caso Rarefação-1/Choque-2, associadas aos dados iniciais da equação (5.3), enquanto a Tabela 5.3 apresenta resultados para as conexões do tipo Choque-1/Rarefação-2. Observa-se que foi forçado um valor ligeiramente superior a 1 para a saturação à esquerda. Este resultado poderia ser proveniente de um passo intermediário no caso do uso do esquema de Glimm, por exemplo, ou ainda de uma pressão excessivamente alta imposta a uma matriz porosa que houvesse sido suposta rígida. A solução do sistema é obtida pelas equações (3.35) e (3.73) para o caso Rarefação-1/Choque-2, e pelas equações (3.45) e (3.74) para o caso Choque- 1/Rarefação-2. Neste último caso, é forçado um valor inicial para a saturação um pouco superior a 1 à direita.

Todas saturações (nos estados intermediários) das Tabelas 5.2 e 5.3 foram obtidas utilizando-se o método de Newton-Raphson, considerando-se um critério de parada (erro) de 1 x 10−8_.

Observa-se pelas Tabelas 5.2 e 5.3 que os casos são simétricos, isto é, apresentam as mesmas velocidades de ondas, mas em sentidos opostos. Novamente nesses casos, pode-se verificar que, quanto maior o valor de c_W, maiores são as velocidades de propagação das

ondas.

Além disso, verifica-se que as condições da Tabela 3.1 são verificados para os resultados obtidos para ψ_* e ω*, para os casos Rarefação-1/Choque-2 e Choque-

Tabela 5.2 – Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE> ψD (Rarefação-1/Choque-2). c_W p_E ψE ψD ψ* ω* λ1 E λ1* s2 10 6,0 1,05 0,20 0,558 1,071 -10 0,071 1,7 10 11,0 1,10 0,20 0,692 1,322 -10 0,322 1,9 10 16,0 1,15 0,20 0,844 1,567 -10 0,567 2,1 10 21,0 1,20 0,20 1,000 1,820 -10 -8,180 2,3 100 500,0 1,05 0,20 1,001 4,829 -100 -95,17 6,0 100 1000,0 1,10 0,20 1,002 9,322 -100 -90,68 11,6 100 1500,0 1,15 0,20 1,004 13,53 -100 -86,47 16,9 100 2000,0 1,20 0,20 1,008 17,48 -100 -82,52 21,8 1000 50000 1,05 0,20 1,001 48,21 -1000 -951,79 60,3 1000 100000 1,10 0,20 1,002 93,15 -1000 -906,86 116,4 1000 150000 1,15 0,20 1,005 135,2 -1000 -864,79 168,8 1000 200000 1,20 0,20 1,008 174,7 -1000 -825,27 218,0 10000 5000000 1,05 0,20 1,001 482,1 -10000 -9517,91 602,5 10000 10000000 1,10 0,20 1,002 931,4 -10000 -9068,55 1163,7 10000 15000000 1,15 0,20 1,005 1352,1 -10000 -8647,93 1688,2 10000 20000000 1,20 0,20 1,008 1747,3 -10000 -8252,68 2180,0

Tabela 5.3 – Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE< ψD (Choque-1/Rarefação-2). c_W p_D ψE ψD ψ* ω* λ2 D λ2 * s1 10 6,0 0,20 1,05 0,558 -1,071 10 -0,071 -1,7 10 11,0 0,20 1,10 0,692 -1,322 10 -0,322 -1,9 10 16,0 0,20 1,15 0,844 -1,567 10 -0,567 -2,1 10 21,0 0,20 1,20 1,000 -1,820 10 8,180 -2,3 100 500,0 0,20 1,05 1,001 -4,829 100 95,17 -6,0 100 1000,0 0,20 1,10 1,002 -9,322 100 90,68 -11,6 100 1500,0 0,20 1,15 1,004 -13,53 100 86,47 -16,9 100 2000,0 0,20 1,20 1,008 -17,48 100 82,52 -21,8 1000 50000 0,20 1,05 1,001 -48,21 1000 951,79 -60,3 1000 100000 0,20 1,10 1,002 -93,15 1000 906,86 -116,4 1000 150000 0,20 1,15 1,005 -135,2 1000 864,79 -168,8 1000 200000 0,20 1,20 1,008 -174,7 1000 825,27 -218,0 10000 5000000 0,20 1,05 1,001 -482,1 10000 9517,91 -602,5 10000 10000000 0,20 1,10 1,002 -931,4 10000 9068,55 -1163,7 10000 15000000 0,20 1,15 1,005 -1352,1 10000 8647,93 -1688,2 10000 20000000 0,20 1,20 1,008 -1747,3 10000 8252,68 -2180,0 5.2. Método de Glimm

Nessa seção serão apresentados alguns resultados obtidos com o método de Glimm. Como foi feito na seção 5.1, todos os estados intermediários são obtidos pelo método iterativo de Newton-Raphson, utilizando um critério de parada igual a 1 x 10−8.

5.2.1. Choque-1/Choque-2

5.2.1.1. Exemplo 1

Para a simulação do caso Choque-1/Choque-2 foi utilizado um caso presente na Tabela 5.1. Foi considerado o caso em que ψC=0,5, ωC=1,0 e cW=10.

Foi considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial inserida na posição x = 0,5 m (a metade do domínio). O domínio foi dividido em 1000 divisões espaciais. A simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido em 4000 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

x t=

1,0/1000

1,0/ 4000=42s1≈2 (5.4)

mostrando que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida.

As Figuras 5.6 a 5.8 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão, para os primeiros instantes de tempo. Para efeito de comparação, nessas figuras também foi plotado o caso sem a restrição, ou seja, c_W=1.

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5s

Figura 5.6 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , e

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5

Figura 5.7 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , e

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5s

Figura 5.8 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição (C_W=10) e sem restrição (CW=1), e

Pelas Figuras 5.6 a 5.8 verifica-se que ocorrem variações bruscas nas propriedades do escoamento, marcando as descontinuidades características de choques. Além disso, pode-se verificar que o valor das propriedades no estado intermediário (entre as descontinuidades) corresponde àquelas calculadas na Tabela 5.1. E, por fim, verifica-se da posição das descontinuidades ao longo do tempo, que as mesmas apresentam velocidades de propagação muito próximas daquelas calculadas na Tabela 5.1.

5.2.1.2. Exemplo 2

Neste exemplo foram feitas simulações com o método de Glimm, para os casos com ψ_C=0,6 e ωC=1,0, utilizando-se os valores 1, 10, 100 e 200 para cW. Novamente foi

considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 1000 divisões espaciais e as simulações foram realizadas para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido em 4000 sub-intervalos (mesmas condições do primeiro exemplo). Pela Tabela 5.1 verifica-se que a maior velocidade de propagação das ondas de choque é 1,5 m/s. Dessa forma, a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1) foi atendida.

As Figuras 5.9, 5.10 e 5.11 apresentam os resultados obtidos para a saturação, velocidade e pressão nos casos considerados.

t = 0s t = 0,05s

t = 0,1s t = 0,15s

t = 0,2s t = 0,25s

Figura 5.9 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψ_C=0,6, ω_C=1,0, cW=1, cW=10, cW=100,

t = 0s t = 0,05s

t = 0,1s t = 0,15s

t = 0,2s t= 0,25s

Figura 5.10 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψ_C=0,6, ω_C=1,0, cW=1, cW=10, cW=100,

t = 0s t = 0,05s

t = 0,10s t = 0,15s

t = 0,2s t = 0,25s

Figura 5.11 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψ_C=0,6, ω_C=1,0, cW=1, cW=10, cW=100,

Pelas Figuras 5.9, 5.10 e 5.11 (assim como pela Tabela 5.1) observa-se que, para

c_W1 o valor da velocidade de propagação dos choques não se altera. No entanto, o valor de c_W influencia, mesmo que discretamente, o valor da saturação e da pressão no estado intermediário.

Na Figura 5.9, verifica-se que, para valores mais altos de c_W, a saturação se aproxima do valor 1,0, que corresponde à saturação. Aliás, para c_W=200, o resultado obtido para a saturação é praticamente o mesmo que o obtido com c_W=100. Dessa forma, conclui-se que, nesse caso, realizar as simulações utilizando o valor c_W=100 já é suficiente para gerar resultados precisos.

A Figura 5.11 mostra outro resultado interessante que é o fato da pressão se aproximar do valor 2,1 (que é o valor exato) quando o valor de c_W aumenta. Novamente verifica-se que os resultados para cW=200 e cW=100 diferem muito pouco.

Os resultados obtidos para a evolução de velocidade são praticamente os mesmos para os quatro casos simulados, como pode-se verificar na Figura 5.10.

5.2.2. Rarefação-1/Rarefação-2

5.2.2.1. Exemplo 1

Na simulação do caso Rarefação-1/Rarefação-2 foi utilizado o mesmo caso da seção 5.1.2. Foi utilizado ψ_E=ψ_D=1,02, ω_E=−ω_D=−2,0 e cW=10.

Foi considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 400 divisões espaciais. A simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido em 10400 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

Δx Δt= 1,0 400 1,0 10400 =26 >2 λ1(ψE,ωE)≈24 (5.5)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1) foi atendida. As Figuras 5.12 a 5.14, a seguir, apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas figuras também foi plotado o caso sem a restrição, ou seja, c_W=1.

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.12 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação- 1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.13– Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação- 2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1, para

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.14 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação- 2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1, para

Nas Figuras 5.12 a 5.14 pode-se verificar a evolução das propriedades ao longo do tempo. Verifica-se que há uma transição contínua entre o estado intermediário e o valor das propriedades à esquerda e à direita, caracterizando as ondas de rarefação. No entanto, conforme mencionado na seção anterior, esse problema envolve uma subdiferencial quando ψ=1,0 entre λ_{1 b}=−11,8020 e λ_{1 a}=−2,8020 para rarefação-1 e entre λ_{2 a}=2,8020 e λ_{2 b}=11,8020 para rarefação-2 quando c_W=10. Essa subdiferencial causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas Figuras 5.12 a 5.14.

5.2.2.2. Exemplo 2

Nesse exemplo, foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.1, no entanto também foi feita a simulação para c_W=100. Também foi ajustado o valor de M para 104000, de forma a atender a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1).

Nas Figuras 5.15, 5.16 e 5.17 observa-se o comportamento da saturação, velocidade e pressão, respectivamente, para esse caso. Nessas figuras é possível observar o maior deslocamento das curvas em que c_W=100. Isso evidencia a maior velocidade de propagação das ondas de rarefação para maiores valores de c_W.

Outro fato interessante pode ser observado na Figura 5.17, na qual se observa os altos valores da pressão, para o caso com c_W=100, mostrando que esse caso se aproxima mais das situações reais, nas quais ocorre um aumento da pressão conforme a saturação é atingida.

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.15 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação- 2, considerando os problemas ψ_E=ψ_D=1,02, ω_E=−ω_D=−2,0. e c_W=1, c_W=10

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.16 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação- 1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02, ωE=−ωD=−2,0. e

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.17- Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-2,

considerando os problemas ψ_E=ψ_D=1,02, ω_E=−ω_D=−2,0. e cW=1, cW=10 e

No documento PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (páginas 107-137)