Choque-1/Rarefação-2

5.2.3.1. Exemplo 1

Para a simulação do caso Choque-1/Rarefação-2 foi utilizado, nesse exemplo, ψ_E=0,2, ψ_D=1,15, ω_E=ω_D=0,0 e c_W=10.

Foi considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 400 divisões espaciais. A simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido em 10400 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

Δx Δt= 1,0 400 1,0 10400 =26 >2 λ2(ψD, ωD)=20 (5.6)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida. As Figuras 5.18 a 5.20 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas Figuras também foi plotado o caso sem a restrição, ou seja, c_W=1.

Nas Figuras 5.18 a 5.20 pode-se verificar a evolução das propriedades ao longo do tempo. Verifica-se que há uma transição contínua entre o estado intermediário e o valor das propriedades à direita, caracterizando a onda rarefação-2, enquanto há uma transição descontínua entre o estado intermediário e o estado à esquerda. Novamente verifica-se que

ocorre uma subdiferencial quando ψ=1,0 na onda rarefação-2, para o caso com

c_W=10. Essa subdiferencial causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas Figuras 5.18 a 5.20, no qual a saturação se mantém com valor muito próximo de 1,0.

Pelas Figuras 5.18 e 5.20, tem-se a impressão de que ocorrem duas ondas de choque na onda de rarefação-2. No entanto, pela Figura 5.14, verifica-se uma transição contínua da pressão, entre o estado intermediário, a região em que ψ≈1,0 e estado à direita.

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.18 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , e

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.19 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação- 2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1, e

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.20 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , e

5.2.3.2. Exemplo 2

Nesse exemplo foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.3.1, no entanto também foi feita a simulação para c_W=100. Também foi ajustado o número de sub-intervalos temporais para 104000, de forma a atender a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)).

Nas Figuras 5.21, 5.22 e 5.23 observa-se o comportamento da saturação, velocidade e pressão, respectivamente, para esse caso. Nessas figuras é possível observar o maior deslocamento das curvas em que c_W=100. Isso evidencia a maior velocidade de propagação das ondas de rarefação para maiores valores de c_W.

Outro fato interessante pode ser observado na Figura 5.17, na qual se observa os altos valores da pressão, para o caso com c_W=100, Isto mostra que esse caso se aproxima mais das situações reais, nas quais ocorre um aumento da pressão conforme a saturação é atingida.

Nas Figuras 5.22 e 5.23 pode-se observar algumas deformações nas curvas da velocidade e da pressão. Essas deformações são erros numéricos que não aparecem nas curvas da saturação, devido ao fato dessa apresentar valores próximos a 1,0. No entanto, como o valor de c_W=100, é um pouco alto, essas imperfeições ficam mais evidentes nas curvas de pressão e velocidade.

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.21 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100, ψ_E=0,2,

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.22 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100, ψ_E=0,2,

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.23 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100, ψE=0,2,

5.2.4. Rarefação-1/Choque-2

5.2.4.1. Exemplo 1

No primeiro exemplo de simulação do caso Rarefação-1/Choque-2 foi utilizado o

caso em que ψE=1,15, ψD=0,2, ωE=ωD=0,0 e cW=10.

Foi considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 400 divisões espaciais. A simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido em 10400 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

Δx Δt= 1,0 400 1,0 10400 =26 >2|λ1( ψE, ωE)|=20 (5.7)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida. As Figuras 5.24 a 5.26 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas Figuras também foi plotado o caso sem a restrição, ou seja, c_W=1.

Nas Figuras 5.24 a 5.26 pode-se verificar a evolução das propriedades ao longo do tempo. Verifica-se que há uma transição contínua entre o estado intermediário e o valor das propriedades à esquerda, caracterizando a onda de rarefação-1, enquanto há uma transição descontínua entre o estado intermediário e o estado à direita. Novamente verifica-se que

ocorre uma subdiferencial quando ψ=1,0 na onda rarefação-1, para o caso com

c_W=10. Essa subdiferencial causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas Figuras 5.24 a 5.26, no qual a saturação se mantém com valor muito próximo de 1,0.

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.24 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , e

t = 0s _{t = 0,01s}

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.25 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque- 2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1, e

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04s

Figura 5.26 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , e

5.2.4.2. Exemplo 2

Nesse exemplo, foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.4.1, adicionalmente, foi feita a simulação para c_W=100. Também foi ajustado o valor de M para 104000, de forma a atender a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)).

Nas Figuras 5.27, 5.28 e 5.29 observa-se o comportamento da saturação, velocidade e pressão, respectivamente, para esse caso. Nessas figuras é possível observar o maior deslocamento das curvas em que c_W=100. Isso evidencia a maior velocidade de propagação das ondas de rarefação para maiores valores de c_W.

Pelas Figuras 5.27 a 5.29, observa-se um resultado semelhante aos observados nos Exemplos de Choque-1/rarefação-2, que é o fato do aumento do valor de c_W produzir significativas alterações nos valores das propriedades do estado intermediário, além de alterar fortemente as velocidades de propagação das ondas.

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.27 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,

considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100, ψ_E=1,15,

t = 0,001s t = 0,002

t = 0,003 t = 0,004s

Figura 5.28– Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-

2, considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100, ψ_E=1,15,

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.29 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,

considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100, ψ_E=1,15,