Determinação das soluções do Problema de Riemann

A Tabela 3.1 apresenta condições para as possíveis soluções do problema de Riemann, esses resultados, no entanto, não podem ser usados para resolver esse problema, uma vez que, inicialmente, não se conhece ω_* ou ψ_*. É necessário encontrar uma

forma de determinar a priori, qual situação irá ocorrer, a partir dos dados iniciais.

A partir da Tabela 3.1, observa-se que as relações entre os dados iniciais não são suficientes para determinar qual caso irá ocorrer. Por exemplo, se ωD>ωE e ψD> ψE, é

possível que ocorram os casos de rarefação-1/rarefação-2 ou choque-1/rarefação-2. Dessa forma, é necessário obter condições adicionais para determinar qual dos casos da Tabela 3.1 ocorrerá.

1ª Hipótese:

Considerando inicialmente que ψE> ψD e ωE>ωD, verifica-se que podem

ocorrer os casos 1 ou 3. Ou seja, pode ocorrer choque-1/choque-2 ou rarefação-1/choque-2. Em ambos os casos, a segunda onda será sempre um choque. A análise para diferenciar os casos deve partir, portanto, da análise da primeira onda. Para a ocorrência de choque-1, tem-se pela equação (3.63) e tabela 3.1, que

ω_*=ω_E−

√(

ψ_ψ*−ψE

A equação (3.75) pode ser manipulada, de tal forma que ωD−ωE<−

√(

ψ_*−ψ_E ψ_*ψ_E

)

(p*−pE)=−

√(

1 ψ_E−ψ1_*

)

(p*−pE). (3.76)

Como para choque-1/choque-2 tem-se ψ_E< ψ_*> ψ_D então

ωD−ωE<−

√(

1

ψ_E−ψ1_*

)

(p*−pE)<−

√(

1

ψ_E−ψ1_D

)

(pD−pE). (3.77)

A equação (3.77) pode ser reescrita como

ω_D−ω_E<−

√(

ψ_ψD−ψE

DψE

)

(pD−pE). (3.78)

A equação (3.78) é uma condição para que ocorra choque-1/choque-2. Assim, se ocorrerem ψ_E> ψ_D e ω_E>ω_D e a equação (3.78) for satisfeita, então ocorre choque- 1/choque-2 . Caso ocorra ψ_E> ψ_D e ω_E>ω_D e na equação (3.78) a desigualdade for invertida, então não ocorrerá choque-1. Nesse caso ocorrerá rarefação-1/choque-2. Dessa forma, a equação (3.78) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.

Deve-se analisar agora os casos em que ψE=ψD e ωE=ωD. Esses casos não

podem ocorrer simultaneamente, pois então não haveria descontinuidade inicial, e não se teria um problema de Riemann.

Inicialmente observa-se que, se ψ_E=ψ_D o lado direito da equação (3.78) se anula e, se ω_E>ω_D então a equação (3.78) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se choque- 1/choque-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.78) se anula e essa equação não é

satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação-1/choque-2.

Assim, conclui-se, que se ψ_E⩾ψ_D e ω_E>ω_D e a equação (3.78) é satisfeita, então tem-se choque-1/choque-2. Se ψ_E> ψ_D e ω_E⩾ω_D e a equação (3.78) não é satisfeita, então tem-se rarefação-1/choque-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψ_E> ψ_D e ω_E>ω_D, verifica-se que pode

ocorrer apenas Choque-2. Pois, se ocorre apenas Choque-2, tem-se ωE=ω* e ψE=ψ* e,

pela Tabela 3.1, verifica-se que ψ_E> ψ_D e ω_E>ω_D. Além disso, se for substituído

ω_E=ω_{* e ψE}=ψ_{* na equação (3.70), equação que determina o estado intermediário} para Choque-2, tem-se

ω_E−ω_D=

√(

ψ_ψE−ψD

EψD

)

(pE−pD)

2ª Hipótese:

Considerando que ψ_E> ψ_D e ω_E<ω_D, verifica-se que podem ocorrer os casos 3

ou 4. Ou seja, pode ocorrer rarefação-1/choque-2 ou rarefação-1/rarefação-2. Em ambos os casos, a primeira onda será sempre uma rarefação. A análise para diferenciar os casos deve partir, portanto, da análise da segunda onda. Para a ocorrência de rarefação-2, tem-se pela equação (3.45) e tabela 3.1, que

ω_*=ω_D−

∫

ψ* ψD

√

p 'd ψ_{ψ >ω}E. (3.79)

A equação (3.79) pode ser manipulada, de tal forma que

ω_E−ω_D<−

∫

ψ* ψD

√

p 'd ψ_{ψ .} (3.80)

Como para rarefação-1/rarefação-2 tem-se ψ_E> ψ_*< ψ_D então

ω_E−ω_D<

∫

ψE

ψD

√

p 'd ψ_{ψ .} (3.81)

A equação (3.81) é uma condição para que ocorra rarefação-1/rarefação-2. Assim, se ocorrerem ψE> ψD, ωE<ωD e a equação (3.81) for satisfeita, então ocorre rarefação-

1/rarefação-2 . Caso ocorra ψ_E> ψ_D, ω_E<ω_D e na equação (3.81) a desigualdade for invertida, então não ocorrerá rarefação-2. Nesse caso ocorrerá rarefação-1/choque-2. Dessa forma, a equação (3.81) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.

Deve-se analisar agora os casos em que ψ_E=ψ_D e ωE=ωD. Esses casos não

podem ocorrer simultaneamente, pois então não haveria descontinuidade inicial, e não se teria um problema de Riemann.

Inicialmente observa-se que, se ψ_E=ψ_D o lado direito da equação (3.81) se anula e, se ω_E<ω_D então a equação (3.81) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação- 1/rarefação-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.81) se anula e essa equação não é

satisfeita para ψ_E> ψ_D. Nesse caso, tem-se rarefação-1/choque-2.

Assim, conclui-se, que se ψ_E⩾ψ_D e ω_E<ω_D e a equação (3.81) é satisfeita, então tem-se rarefação-1/rarefação-2. Se ψ_E> ψ_D e ω_E⩽ω_D e a equação (3.81) não é satisfeita, então tem-se rarefação-1/choque-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψ_E> ψ_D e ω_E<ω_D, verifica-se que pode

ocorrer apenas Rarefação-1. Pois, se ocorre apenas Rarefação-1, tem-se ωD=ω* e

ψ_D=ψ_{* e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψ}

E⩾ψD e ωE⩽ωD. Além disso, se for

substituído ωD=ω* e ψD=ψ* na equação (3.35), equação que determina o estado

intermediário para Rarefação-1, tem-se

ω_D−ω_E=−

∫

ψE

ψD

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Rarefação-1.

3ª Hipótese:

Considerando que ψ_E< ψ_D e ωE>ωD, verifica-se pela tabela 3.1, que podem

ocorrer os casos 1 ou 2. Ou seja, pode ocorrer choque-1/choque-2 ou choque-1/rarefação-2. Em ambos os casos, a primeira onda será sempre um choque. A análise para diferenciar os casos deve partir, portanto, da análise das equações da segunda onda. Para a ocorrência de choque-2, tem-se pela equação (3.70) e tabela 3.1, que

ω_*=ω_D+

√(

ψ_ψ*−ψD

*ψD

)

(p*−pD)<ωE. (3.82)

A equação (3.82) pode ser manipulada, de tal forma que

ωE−ωD>

√(

ψ_*−ψ_D

ψ_*ψ_D

)

(p*−pD)=

√(

1

ψ_D−ψ1_*

)

(p*−pD). (3.83)

Como para choque-1/choque-2 tem-se ψ_E< ψ_*> ψ_D então pode-se concluir que

ω_E−ω_D>

√(

ψ_ψE−ψD

A equação (3.84) é uma condição para que ocorra choque-1/choque-2. Assim, se ocorrerem ψ_E< ψ_D, ω_E>ω_D, e a equação (3.84) for satisfeita, então ocorre choque-

1/choque-2. Caso ocorra ψ_E< ψ_D, ω_E>ω_D, e na equação (3.84) a desigualdade for

invertida, então não ocorrerá choque-2. Nesse caso ocorrerá choque-1/rarefação-2. Dessa forma, a equação (3.84) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.

Deve-se analisar agora os casos em que ψ_E=ψ_D e ωE=ωD. Esses casos não

podem ocorrer simultaneamente, pois então não haveria descontinuidade inicial, e não se teria um problema de Riemann.

Inicialmente observa-se que, se ψ_E=ψ_D o lado direito da equação (3.84) se anula e, se ω_E>ω_D então a equação (3.84) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se choque- 1/choque-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.84) se anula e essa equação não é

satisfeita. Nesse caso, tem-se choque-1/rarefação-2.

Assim, conclui-se, que se ψ_E⩽ψ_D e ω_E>ω_D e a equação (3.84) é satisfeita, então tem-se choque-1/choque-2. Se ψ_E< ψ_D e ω_E⩾ω_D e a equação (3.84) não é satisfeita, então tem-se choque-1/rarefação-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψ_E< ψ_D e ωE>ωD, verifica-se que pode

ocorrer apenas Choque-1. Pois, se ocorre apenas Choque-1, tem-se ωD=ω* e ψD=ψ*

e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψ_E< ψ_D e ω_E>ω_D. Além disso, se for substituído

ω_D=ω_{* e ψD}=ψ_{* na equação (3.63), equação que determina o estado intermediário} para Choque-1, tem-se

ω_D−ω_E=−

√(

ψ_ψD−ψE

DψE

)

(pD−pE)

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Choque-1.

4ª Hipótese:

Considerando que ψ_E< ψ_D e ω_E<ω_D, verifica-se pela Tabela 3.1, que podem

ocorrer os casos 2 ou 4. Ou seja, pode ocorrer choque-1/rarefação-2 ou rarefação- 1/rarefação-2. Em ambos os casos, a segunda onda será sempre uma rarefação. A análise para diferenciar os casos deve partir, portanto, da análise das equações da primeira onda. Para a ocorrência de rarefação-1, tem-se pela equação (3.37) e Tabela 3.1, que

ω_*=ω_E−

∫

ψE

ψ*

√

p 'd ψ_{ψ < ωD}. (3.85)

A equação (3.85) pode ser manipulada, de tal forma que

ω_E−ω_D<−

∫

ψ* ψE

√

p ' d ψ_{ψ .} (3.86)

Como para rarefação-1/rarefação-2 tem-se ψ_E> ψ_*< ψ_D então

ω_E−ω_D<−

∫

ψE

ψD

A equação (3.87) é uma condição para que ocorra rarefação-1/rarefação-2. Assim, se ocorrerem ψE< ψD, ωE<ωD e a equação (3.87) for satisfeita, então ocorre rarefação-

1/rarefação-2. Caso ocorra ψ_E< ψ_D, ω_E<ω_D e a equação (3.87) não for satisfeita, então não ocorrerá 1-rarefação. Nesse caso ocorrerá choque-1/rarefação-2. Dessa forma, a equação (3.87) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.

Deve-se analisar agora os casos em que ψ_E=ψ_D e ωE=ωD. Esses casos não

podem ocorrer simultaneamente, pois então não haveria descontinuidade inicial, e não se teria um problema de Riemann.

Inicialmente observa-se que, se ψ_E=ψ_D o lado direito da equação (3.87) se anula e, se ω_E<ω_D então a equação (3.87) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação- 1/rarefação-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.87) se anula e essa equação não é

satisfeita para ψ_E< ψ_D. Nesse caso, tem-se choque-1/rarefação-2.

Assim, conclui-se, que se ψ_E⩽ψ_D e ω_E<ω_D e a equação (3.87) é satisfeita,

então tem-se rarefação-1/rarefação-2. Se ψ_E< ψ_D e ω_E⩽ω_D e a equação (3.87) não é satisfeita, então tem-se choque-1/rarefação-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψ_E< ψ_D e ωE<ωD, verifica-se que pode

ocorrer apenas Rarefação-2. Pois, se ocorre apenas Rarefação-2, tem-se ωE=ω* e

ψ_E=ψ_{* e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψ}

E⩽ψD e ωE⩽ωD. Além disso, se for

substituído ωE=ω* e ψ_E=ψ_* na equação (3.45), equação que determina o estado

ω_D−ω_E=

∫

ψE

ψD

√

p 'd ψ_ψ

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Rarefação-2. As quatro hipóteses acima podem ser resumidas na Tabela 3.2, a seguir

Tabela 3.2 – Determinação das Soluções para o problema de Riemann.

ψ_E⩾ψ_D e ω_E>ω_{D ωD−ωE<−}

√(

ψD−ψE ψ_Dψ_E

)

(pD−pE) choque-1/choque-2 ψ_E⩽ψ_D e ω_E>ω_D ω_E−ω_D>

√(

ψ_ψE−ψD EψD

)

(pE−pD) ψ_E> ψ_{D e ωE}⩾ω_D ω_D−ω_E>−

√(

ψ_ψD−ψE DψE

)

(pD−pE) rarefação-1/choque-2 ψ_E> ψ_{D e ωE}⩽ω_D ω_E−ω_D>

∫

ψE ψD

√

p 'd ψ_ψ ψ_E< ψ_{D e ω} E⩽ωD ωE−ωD>−

∫

ψE ψD

√

p ' d ψ_ψ choque-1/rarefação-2 ψ_E<ψ_D e ω_E⩾ω_D ω_E−ω_D<

√(

ψ_ψE−ψD EψD

)

(pE−pD) ψ_E⩽ψ_D e ωE<ωD ωE−ωD<−

∫

ψ_E ψD

√

p ' d ψ_ψ rarefação-1/rarefação-2 ψ_E⩾ψ_D e ωE<ωD ωE−ωD<

∫

ψ_E ψD

√

p 'd ψ_ψ ψ_E< ψ_D e ω_E>ω_D ω_D−ω_E=−

√(

ψ_ψD−ψE DψE

)

(pD−pE) Choque-1 ψ_E⩾ψ_D e ω_E⩽ω_D ω_D−ω_E=−

∫

ψE ψD

√

p 'd ψ_ψ Rarefação-1 ψ_E> ψ_D e ω_E>ω_D ω_E−ω_D=

√(

ψ_ψE−ψD EψD

)

(pE−pD) Choque-2 ψ_E⩽ψ_D e ωE⩽ωD ωD−ωE=

∫

ψE ψD

√

p 'd ψ_ψ Rarefação-2

Uma vez que o estado intermediário ( ψ*, ω*) é conhecido, a solução (ψ, ω) é

dada em função da variável de similaridade ξ=x / τ , como:

a) Rarefação-1/Rarefação-2: (ψ, ω)=

{

(ψE, ωE) se −∞<ξ⩽λ1 E (f_1,g₁) se λ_{1 E}⩽ξ⩽λ_{1 *} (ψ_*, ω_*) se λ_1*⩽ξ⩽λ_2* (f_2,g₂) se λ_2*⩽ξ⩽λ_{2 D} (ψ_D, ω_D) se λ_{2 D}⩽ξ⩽+ ∞

}

(3.88) b) Choque-1/Choque-2: ( ψ, ω)=

{

( ψ_E, ω_E) se −∞<ξ<s₁ (ψ_*, ω_*) se s₁<ξ<s₂ (ψ_D, ωD) se s2<ξ<+∞

}

(3.89) c) Rarefação-1/Choque-2: ( ψ, ω)=

{

(ψ_E, ω_E) se −∞<ξ⩽λ_{1 E} (f_1,g₁) se λ_{1 E}⩽ξ⩽λ_{1 *} (ψ_*, ω*) se λ1*⩽ξ<s2 (ψ_D, ω_D) se s₂<ξ<+∞

}

(3.90) d) Choque-1/Rarefação-2: (ψ, ω)=

{

(ψ_E, ω_E) se −∞<ξ<s₁ (ψ_*, ω*) se s1< ξ⩽λ2* (f_2,g₂) se λ_2*⩽ξ⩽λ_{2 D} (ψ_D, ω_D) se λ_{2 D}⩽ξ⩽+ ∞

}

(3.91)

No documento PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (páginas 79-90)