PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM

MEIOS POROSOS QUASE INDEFORMÁVEIS

COM MUDANÇA DE CONDIÇÃO DE

SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVA

NÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO

DO CONSTITUINTE LÍQUIDO

DÁRIO MONTE ALEGRE

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

QUASE INDEFORMÁVEIS COM MUDANÇA DE

CONDIÇÃO DE SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVA

NÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO DO

CONSTITUINTE LÍQUIDO

Tese de Doutorado apresentada ao Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ciências em Engenharia Mecânica

Orientadores: Maria Laura Martins Costa (PGMEC/UFF)

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

A366 Alegre, Dário Monte

Simulação de escoamentos em meios porosos quase

indeformáveis com mudança de condição de saturação e relação constitutiva não diferenciável para a pressão do constituinte líquido / Dário Monte Alegre. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.

146 f.

Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal Fluminense, 2017.

Orientadores: Maria Laura Martins Costa, Felipe Bastos de Freitas Rachid.

1. Escoamento de fluido. 2. Problema de Reimman. 3.Método de Glimm. 4. Porosidade. I. Título.

NITERÓI, 11 DE JULHO DE 2017

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

QUASE INDEFORMÁVEIS COM MUDANÇA DE

CONDIÇÃO DE SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVA

NÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO DO

CONSTITUINTE LÍQUIDO

Esta Tese é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Termociências

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Maria Laura Martins Costa (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

(Orientadora)

Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense Prof. Daniel Rodríguez Álvarez (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense

Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.) Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Agradecimentos

Agradeço ao Deus Todo Poderoso, por sua Graça e pelos talentos dados.

À minha esposa pelo apoio incondicional e paciência ao longo desse Doutorado e momentos difíceis.

Aos meus familiares pelo apoio, motivação e torcida.

Agradeço à professora Dra. Maria Laura Martins Costa e ao Professor Dr. Felipe Bastos de Freitas Rachid por toda a ajuda com esse Doutorado. E também aos professores do PGMEC que contribuíram para minha formação.

Agradeço aos meus amigos Oficiais da Marinha do Brasil, que me apoiaram, contribuíram e facilitaram meu trabalho até aqui.

R

ESUMO

Este trabalho modela o enchimento de uma matriz porosa quase indeformável insaturada por um fluido, identificando a transição do escoamento insaturado para saturado. A descrição utilizada é feita de um ponto de vista da Teoria de Misturas e trata o escoamento como uma superposição de constituintes contínuos – um constituinte gasoso com densidade muito baixa (que permite considerar a compressibilidade da mistura como um todo), um constituinte líquido (representando um fluido newtoniano), que é denotado como constituinte fluido e um constituinte sólido (que representa a matriz porosa quase indeformável).

Neste trabalho considera-se uma matriz porosa fracamente deformável, de tal forma que a fração de fluido pode ser ligeiramente maior que a porosidade, admitindo uma pequena supersaturação, que equivale a permitir uma deformação muito pequena na matriz porosa, de modo a poder considerar uma relação constitutiva contínua para a pressão. Esta relação constitutiva, proposta no trabalho, origina um modelo matemático que garante que o problema permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é atingida, preservando dessa forma a natureza física do problema.

A vantagem do problema permanecer hiperbólico é a possibilidade de empregar um método para aproximar sistemas hiperbólicos, como o método de Glimm e marchar no tempo através da solução de um certo número previamente determinado de problemas de Riemann.

As soluções completas para o problema de Riemann associado são apresentadas, assim como a implementação do Método de Glimm, com base no qual várias simulações numéricas são conduzidas para descreve a mudança da condição de saturação do meio poroso.

A

BSTRACT

This work models the filling up of an unsaturated almost undeformable porous medium by a liquid, identifying the transition from unsaturated to saturated flow.

The description presented uses a mixture theory approach and deals the flow as three overlapping continuous constituents – a very low-density gas (to account the mixture compressibility), a liquid (Newtonian fluid), which is denoted by fluid constituent and a solid (almost undeformable porous matrix).

In this work the porous matrix is considered as slightly deformable, in such a way that the fluid fraction can be slightly larger then the porosity, allowing a small supersaturation and a very small deformation in the porous medium, in a way that a continuous constitutive relation for the pressure can be considered. This constitutive relation, proposed in the work, gives rise to a mathematical model that assures that the problem remains hyperbolic even when the saturation is reached and the physics of the phenomenon are preserved.

The advantage of the problem remaining hyperbolic is the possibility of employing a method to approximate hyperbolical systems, such as Glimm's method and advancing in time using a solution of a certain number of Riemann's problem previously determined.

The complete solutions for the associated Riemann's Problem and the Glimm's method implementation are presented. These are the basis for several numerical simulations conducted to describe the change of saturation condition in the porous medium.

Keywords: Flows in unsaturated medium, unsaturated-saturated transition, almost rigid porous matrix, Riemann's Problem, Glimm's method.

SUMÁRIO

Lista de Figuras ...i

Lista de Tabelas ...vi

Lista de Símbolos ...vii

Capítulo 1. Introdução 1.1. Considerações Gerais ...1

1.2. Revisão Bibliográfica ...5

1.2.1. Teoria de Misturas …...5

1.2.2. O Problema de Riemann e o Método de Glimm …...8

1.2.3. Escoamentos com Restrições em Meios Porosos …...11

1.3. Objetivos …...13

Capítulo 2. Modelagem Mecânica 2.1. Introdução ...15

2.2. Balanço de Massa ...16

2.3. Balanço de Momentum Linear …...19

Capítulo 3. Solução Completa do Problema de Riemann

3.1. Introdução ... 31

3.2. Condições de Entropia e Invariantes de Riemann …... 36

3.3. Solução do Problema de Riemann associado …... 38

3.4. Soluções Completas do problema de Riemann Associado …... 55

3.5. Determinação das soluções do Problema de Riemann …... 58

Capítulo 4. Método de Glimm 4.1. Introdução ...69

4.2. O Método de Glimm ...71

4.3. Aplicação ao Problema de Riemann Associado …...77

Capítulo 5. Resultados 5.1. Solução do Problema de Riemann ... 86

5.1.1. Choque-1/Choque-2 …... 86 5.1.2. Rarefação-1/Rarefação-2 …... 93 5.1.3. Rarefação-1/Choque-2 e Choque-1/Rarefação-2 …... 95 5.2. Método de Glimm …... 98 5.2.1. Choque-1/Choque-2 …... 99 5.2.1.1. Exemplo 1 …... 99 5.2.1.2. Exemplo 2 …... 103 5.2.2. Rarefação-1/Rarefação-2 …... 107 5.2.2.1. Exemplo 1 …... 107

5.2.3. Choque-1/Rarefação-2 …... 116 5.2.3.1. Exemplo 1 …... 116 5.2.3.2. Exemplo 2 …... 121 5.2.4. Rarefação-1/Choque-2 …... 125 5.2.4.1. Exemplo 1 …...125 5.2.4.2. Exemplo 2 …... 130

Capítulo 6. Conclusões e Sugestões ... 134

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Escoamento através da matriz porosa considerada …... 26 Figura 2.2 - Pressão versus fração do fluido em um escoamento supersaturado através de uma matriz porosa …... 28 Figura 2.3 - Pressão versus saturação em um escoamento supersaturado através de uma matriz porosa …... 30 Figura 3.1 - Possível solução para o Problema de Riemann Associado …... 39 Figura 4.1 - Divisão do domínio para o emprego do Método de Glimm …... 72 Figura 4.2 - Solução do Problema de Riemann para emprego do Método de Glimm .. 73 Figura 4.3 - Amostragem da Solução do Problema de Riemann …... 74 Figura 4.4 - Atualização da variável u mediante o método de Glimm …... 75 Figura 4.5 - Amostragem do Problema de Riemann Associado …... 78 Figura 4.6 - Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade

(choque-1) …... 80 Figura 4.7 - Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade (rarefação-1) …... 81 Figura 4.8 -Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade (choque-2) …... 83 Figura 4.9 - Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade (rarefação-2) ... 84 Figura 5.1 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com

restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ωC=1,0, ψC=0,5 e cW=10. …... 91

Figura 5.2 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ω_C=2,0, ψ_C=0,2 e cW=10000. …... 91

Figura 5.3 - Pressão (a) e Saturação (b) versus =x/t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando _C=2,0, _C=0,4 e c_W=10000. …... 92 Figura 5.4 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ω_C=3,0, ψ_C=0,6 e c_W=1000. …... 92 Figura 5.5 - Velocidade (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para a solução contínua com condições iniciais em (5.2) …... 95 Figura 5.6 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição

c_W=1, e ψ_C=0,5 e ω_C=1,0. …... 100 Figura 5.7 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição cW=1, e ψC=0,5 e ωC=1,0. …... 101

Figura 5.8 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição (CW=10) e sem restrição

Figura 5.9 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

cW=10, cW=100, e cW=200. …... 104

Figura 5.10 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2, considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

c_W=10, c_W=100, e c_W=200. …... 105 Figura 5.11 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

c_W=10, c_W=100, e c_W=200. …... 106 Figura 5.12 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , para ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0. …... 109

Figura 5.13 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , para ψ_E=ψ_D=1,02, e ω_E=−ω_D=−2,0. …... 110 Figura 5.14 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , para ψ_E=ψ_D=1,02, e ω_E=−ω_D=−2,0. …... 111 Figura 5.15 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02,

Figura 5.16 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02,

ω_E=−ω_D=−2,0. e cW=1, cW=10 e cW=100. …...114

Figura 5.17 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02,

ω_E=−ω_D=−2,0. e c_W=1, c_W=10 e c_W=100. …... 115 Figura 5.18 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso

Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem

restrição c_W=1 , e ψ_E=0,2, ψ_D=1,15 e ω_E=ω_D=0,0. …... 118 Figura 5.19 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso

Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição c_W=1 , e ψ_E=0,2, ψ_D=1,15 e ω_E=ω_D=0,0. …... 119 Figura 5.20 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição

cW=1, e ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. …... 120

Figura 5.21 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100,

ψ_E=0,2, ψ_D=1,15 e ωE=ωD=0,0. …... 122

Figura 5.22 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2, considerando os problemas com cW=1, cW=10,

Figura 5.23 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100,

ψ_E=0,2, ψ_D=1,15 e ω_E=ω_D=0,0. …... 124 Figura 5.24 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição

cW=1, e ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. …... 127

Figura 5.25 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem

restrição c_W=1 , e ψ_E=1,15, ψ_D=0,2 e ω_E=ω_D=0,0. …... 128 Figura 5.26 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,

considerando os problemas com restrição c_W=10 e sem restrição

c_W=1, e ψ_E=1,15, ψ_D=0,2 e ω_E=ω_D=0,0. …... 129 Figura 5.27 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100,

ψ_E=1,15, ψ_D=0,2 e ω_E=ω_D=0,0. …...131 Figura 5.28 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso

Rarefação-1/Choque-2, considerando os problemas com c_W=1, c_W=10,

c_W=100, ψ_E=1,15, ψ_D=0,2 e ω_E=ω_D=0,0. …... 132 Figura 5.29 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,

considerando os problemas com c_W=1, c_W=10, c_W=100,

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Condições para as possíveis soluções para o problema (3.15)-(3.18) … 54 Tabela 3.2 - Determinação das Soluções para o problema de Riemann …... 67 Tabela 5.1 - Alguns resultados envolvendo a solução Choque-1/Choque-2 associada à equação (5.1) …... 88 Tabela 5.2 - Alguns resultados obtidos com ω_E=ω_D=0 e ψ_E> ψ_D (Rarefação-1/Choque-2) …... 97 Tabela 5.3 - Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE< ψD

Lista de Símbolos

a - Velocidade máxima de propagação, em valor absoluto, da descontinuidade

considerando todos os problemas de Riemann no tempo tn

A - Área da superfície da Região R

A(u) - Matriz Jacobiana de f(u)

c_W, c - Constantes da relação constitutiva entre pressão e fração de fluido

c_W - Constante da relação constitutiva entre pressão e saturação

D - Coeficiente de difusão

D - Matriz diagonal, cujos componentes são os autovalores

λ

D_F - Parte simétrica do gradiente da velocidade do constituinte fluido

f_α - Forças externas agindo no constituinte α de uma mistura, medidas por unidade

de massa de α

f_F - Forças externas (por unidade de massa) agindo no constituinte fluido

f - Força de corpo externa total

f₁ - Saturação dentro da onda de rarefação-1

f₂ - Saturação dentro da onda de rarefação-2

f(u) - Fluxo de u

F(ψ*) - Função usada para determinar ψ* numericamente

g₁ - Velocidade dentro da onda de rarefação-1

g₂ - Velocidade dentro da onda de rarefação-2

I - Tensor identidade

j_α - Momentum Linear fornecido a α devido a reações químicas e/ou mudanças de

fase com outros constituintes

j_F - Momentum Linear fornecido ao constituinte fluido devido a reações químicas

- com outros constituintes

k - Número de divisões espaciais do domínio para aplicar o método de Glimm

K - Porosidade específica do meio poroso

m₁ - Número inteiro primo

m₂ - Número inteiro primo

m_α - Taxa temporal de produção de massa do constituinte α surgindo a partir da reação com os outros constituintes

m_F - Taxa temporal de produção de massa do constituinte fluido surgindo a partir da reação com os outros constituintes

n - Vetor unitário normal à superfície ∂R

n_i - Sequência de números primos gerados para distribuir mais uniformemente os valores aleatórios do método de Glimm

p - Pressão adimensional

^

p - Pressão

p - Pressão

p_α - Força difusiva exercida em um constituinte α pelos demais constituintes

p_D - Pressão inicial à direita (x > 0)

p_* - Pressão no estado intermedário (*)

p_F - Fonte de Momentum Linear que atua sobre o constituinte fluido devido à sua

interação com os demais constituintes da mistura

R - Região arbitrária fixa dentro de uma mistura

R _{- Matriz cujas colunas são os autovetores R}i 

à direita de A(u)

Ri  _{- Autovetores à direita de A(u)}

s_i - Velocidade de propagação de choques

t - Instante de tempo

T_α - Tensor Parcial de Tensões agindo no constituinte α de uma mistura

T_F - Tensor parcial de tensões associado ao constituinte fluido

T - Tensor Parcial de tensões atuando sobre a mistura

u - Vetor com as variáveis do problema a ser resolvido

u₀ - Solução fraca de um sistema hiperbólico

u_E - Vetor com condições iniciais à esquerda (x < 0)

u_D - Vetor com condições iniciais à direita (x > 0)

v_α - Velocidade do constituinte α de uma mistura

v_F - Velocidade do constituinte fluido na mistura

v - Componente na direção x da velocidade do constituinte fluido

v_i - Variáveis características

V - Volume da Região R

V - Vetor das variáveis características

V₀ - Vetor de condições iniciais das variáveis características

x - Vetor posição

α - Constituinte qualquer de uma mistura

δ _{- Número muito pequeno}

Δ_{t - Intervalo de tempo utilizado para aplicar o método de Glimm}

Δ_{x - Comprimento das divisões espaciais do domínio para aplicar o método de}

Glimm

ξ _{- Variável de similaridade}

ρ_α - Densidade do constituinte α de uma mistura ρf - Densidade mássica real do fluido

ρF - Densidade mássica do constituinte fluido

ρ _{- Densidade de uma mistura}

∂R - Superfície da região R

ψ _{- Saturação}

ψ_{C - Constante positiva}

ψ_{D - Saturação inicial à direita (x > 0)} ψ_{E - Saturação inicial à esquerda (x < 0)} ψ_{* - Saturação no estado intermediário (*)}

φ _{- Fração de fluido}

θ - Número gerado aleatoriamente entre -1 e +1

ε _{- Porosidade da matriz porosa}

μ_{f - Viscosidade do fluido}

λ _{- Constante positiva}

λ

ω _{- Velocidade adimensional}

ω_{C - Constante positiva}

ω_{D - Velocidade inicial à direita (x > 0)} ω_{E - Velocidade inicial à esquerda (x < 0)} ω_{* - Velocidade no estado intermediário (*)}

Capítulo 1

Introdução

1.1. Considerações Iniciais

O presente trabalho apresenta um estudo de escoamentos em meios porosos, considerando a transição insaturado/saturado, e apresentando uma nova relação constitutiva contínua para a pressão como função da saturação, porém não diferenciável.

Entre as aplicações práticas de fenômenos de transporte em meios porosos, os escoamentos subterrâneos, os processos de recuperação de petróleo, a contaminação de solos por resíduos tóxicos, o armazenamento de lixo nuclear em profundas camadas rochosas do leito marítimo e a dispersão de poluentes, podem ser mencionados como

exemplos. O interesse crescente relacionado a tais fenômenos pode ser explicado pela importância dada a problemas que impactam na auto-suficiência energética e no meio ambiente [1-4].

Os escoamentos em meios porosos, em muitos casos, podem ser tratados como uma mistura líquido-gás-sólido. No presente trabalho, a matriz porosa é considerada levemente deformável, de forma a dar origem a uma nova relação constitutiva entre pressão e saturação. Além disso, é considerado que a deformação da matriz porosa é tão pequena que não é levada em conta. Desta forma não é necessário satisfazer as equações de movimento para o constituinte sólido da mistura. Além disso, como o constituinte gasoso tem, por hipótese, uma densidade muito pequena, quando comparada à do líquido, sendo incluído apenas para levar em conta a compressibilidade da mistura, é necessário resolver as equações de movimento somente para o constituinte líquido da mistura.

A ferramenta utilizada para obter um modelo mecânico que represente tais escoamentos foi a Teoria Contínua de Misturas. Combinando esta teoria com hipóteses constitutivas apropriadas, obtém-se uma descrição matemática do problema. Essa descrição é representada por um sistema hiperbólico não-linear de equações diferenciais parciais, representando as equações de massa e de momentum linear (combinadas às relações constitutivas pertinentes) para o constituinte líquido e para a mistura.

A descrição de grande parte dos fenômenos de transporte envolve a aplicação de equações diferenciais parciais elípticas ou parabólicas que, em geral, admitem soluções regulares e cujas simulações podem ser implementadas através de métodos numéricos conhecidos, tais como elementos finitos, volumes finitos ou diferenças finitas.

certos fenômenos do transporte, uma vez que a propagação de qualquer quantidade ou informação presente nestes fenômenos pode ser caracterizada por uma velocidade finita. No entanto, tais sistemas podem não admitir soluções regulares, mas sim soluções descontínuas, que se caracterizam por soluções generalizadas envolvendo ondas de choque, o que requer o emprego de ferramentas numéricas específicas, tais como o esquema de Glimm [5] ou o esquema de Godunov [6] para tratar a natureza descontínua do problema. Assim, um dos grandes desafios que envolvem o tratamento de soluções descontínuas reside no fato que técnicas analíticas eficientes que predominam na teoria de equações diferenciais parciais dissipativas não podem ser diretamente aplicadas àquelas situações.

A relação constitutiva proposta para a pressão permite que a saturação da matriz porosa seja alcançada e o sistema de equações diferenciais parciais não-lineares, permaneça hiperbólico mesmo quando a supersaturação é atingida. Dessa forma é possível empregar o Método de Glimm para o problema estudado.

O Método de Glimm [5], que é um esquema de escolha aleatória, especialmente desenvolvido para tratar de problemas envolvendo propagação de descontinuidades e ondas de choque, tem sido usado para descrever fenômenos distintos caracterizados por velocidades de propagação finitas. Exemplos são os estudos das equações de águas rasas do problema de quebra de barragem [7], propagação de onda em tubulações elasto-visco-plásticas [8], escoamentos de gases em tubulações [9], propagação de ondas em fluidos [10], redução de vazios de ar em concreto asfáltico [11], transporte de poluentes na atmosfera [12-14] e escoamentos em meios porosos insaturados [1-2].

Para a utilização do Método de Glimm, no entanto, é necessário conhecer a priori, a solução do problema de Riemann associado ao sistema hiperbólico originado pelo modelo

proposto. A solução do problema de Riemann associado a um sistema hiperbólico é uma ferramenta importante em muitos campos de pesquisa distintos como escoamentos magneto-gás-dinâmicos, escoamentos bifásicos compressíveis isoentrópicos não ideais, sistemas hiperbólicos não conservativos modelando elasto-dinâmica, ou um modelo hiperbólico incompressível para fluidos, por exemplo. Algumas aplicações podem ser vistas em [15-21].

Em resumo, este trabalho propõe uma descrição via Teoria de Misturas para o escoamento unidimensional transiente de um fluido através de uma matriz porosa, com transição insaturado/saturado, considerando a matriz porosa como levemente deformável, sempre dando origem a um sistema de equações hiperbólico não-linear, que tem como incógnitas a velocidade e a saturação do constituinte líquido. Dessa forma, após obter a solução completa do problema de Riemann associado, pode-se aplicar o método de Glimm ao modelo proposto, obtendo-se evolução da solução do problema com o tempo para quaisquer condições iniciais.

O modelo utilizado nesse trabalho (escoamento unidimensional em uma matriz porosa), apesar de simplificado, serve como base para a descrição de situações práticas muito comuns e importantes, como, por exemplo, escoamentos em reservatórios de petróleo, ou contaminação do solo por poluentes. Na abordagem empregada no presente trabalho supõe-se que uma das direções do escoamento é de ordem de grandeza superior às demais, o que justifica empregar uma abordagem unidimensional.

1.2. Revisão Bibliográfica

1.2.1. Teoria de Misturas

Neste trabalho, os escoamentos em meios porosos são descritos empregando uma modelagem de Teoria de Misturas, uma generalização da Mecânica do Contínuo clássica, especialmente desenvolvida para tratar fenômenos multifásicos [4].

O primeiro trabalho conhecido, no qual foi estudado escoamento através de meios porosos foi publicado por Darcy em 1856 [22], no qual foi postulada a conhecida lei de Darcy. Com esta lei é possível estudar a porosidade, a vazão da água e a permeabilidade em aquíferos. Ao longo da história alguns autores publicaram trabalhos empregando a lei de Darcy, dentre os quais podemos citar Sundaravadivelu e Tso [23], que estudaram a influência da viscosidade na transferência de calor por convecção forçada. Estes autores estudaram analiticamente o problema empregando a lei de Darcy e concluíram que o perfil de velocidade é fortemente afetado pela variação das características da matriz porosa e da viscosidade do fluido.

O trabalho analítico publicado por Kelly [24], apresenta as tradicionais equações de balanço de massa, momentum, energia e entropia além de introduzir equações de balanço de carga elétrica e fluxo magnético, considerando reações químicas. Neste trabalho são introduzidos termos que levam em conta a interação entre os constituintes existentes antes ou depois dessas reações. O autor afirma que as equações postuladas por ele são as mais gerais existentes na literatura.

A Teoria de Misturas foi empregada por Bowen [25] para apresentar modelos que descrevem a mistura de sólidos e fluidos. Os modelos propostos foram postulados a partir da cinemática e das equações de balanço de massa e de momentum. Também é feita uma análise termodinâmica para os casos de mistura de sólidos elásticos incompressíveis e fluidos incompressíveis, mistura de sólidos rígidos e fluidos incompressíveis.

Saldanha da Gama e Martins-Costa [26] simularam a transferência de momentum e de energia num meio poroso insaturado por um fluido incompressível, modelado via Teoria de Misturas levando a uma descrição matemática de quarto equações diferenciais não lineares. A simulação do problema foi feita através da aplicação de um esquema de Glimm, combinado a uma técnica de fatoração do operador para o problema hidrodinâmico, que permite transformar um problema complexo em dois sequenciais mais simples.

Jiang e Ren [27] postularam equações para um fluido bidimensional escoando através de um meio poroso, a partir do modelo de Darcy. O problema foi estudado considerando as condições de contorno postuladas em [28-31] a fim de calcular aproximações numéricas que permitissem a comparação com resultados experimentais, permitindo observar que o modelo proposto apresenta boa exatidão.

O estudo de múltiplos fluidos imiscíveis escoando através de um meio poroso foi estudado por Wei e Muraleetharan [32], usando a Teoria de Misturas. Os autores provaram que a Teoria de Misturas pode ser deduzida a partir do princípio de potências virtuais.

Hanyga [33] empregou a Teoria de Misturas para estudar o escoamento de dois (ou mais) fluidos imiscíveis através de uma matriz porosa. Foram introduzidas equações constitutivas para a energia, o tensor tensão, o momentum e o fluxo de calor. Efeitos como

a capilaridade e as forças de arrasto responsáveis pelo aumento da difusão foram incluídos na formulação apresentada para descrever o problema.

Massoudi [34] explicou a importância das condições de contorno para resolver problemas empregando a Teoria de Misturas. O trabalho estuda o caso de misturas de um sólido e um líquido. O caso de condições de contorno nas paredes sólidas foi estudado, sendo introduzida uma velocidade de deslizamento, considerando que, de fato, alguns fluidos escorregam na parede.

A Teoria de Misturas foi empregada por Ristinmaa et al. [35] para estudar o escoamento em um sólido poroso termoelasto-plástico. No modelo proposto são consideradas as trocas de massa entre as fases líquida e vapor. As equações de balanço de massa, de momentum e também a equação da energia livre de Helmholtz foram postuladas para cada fase. Foram considerados os efeitos térmicos, os efeitos da deformação tanto na fase sólida quanto na fase líquida, da difusão e condução, evolução plástica e a troca de massa. Como resultados, foram obtidas as curvas de equilíbrio considerando os seguintes casos: que o sólido absorve massa, que o sólido cede massa e que o sólido nem absorve nem cede massa.

Um modelo macroscópico, considerando rochas insaturadas e isotérmicas, foi postulado por Chen e Hicks [36], que usaram a teoria de Biot e elementos de não equilíbrio termodinâmico para obter um modelo que considera três fases: sólida, líquida e gasosa. Esses autores afirmam ser possível com seu modelo descrever o grau de saturação, a pressão nos poros, a tensão e a deformação em função do tempo e da distância.

Outra relação que dever ser levada em conta no escoamento através de meios porosos é a relação entre porosidade e permeabilidade. Na bibliografia encontram-se

estudos deste tipo onde a equação de Kozeny-Carman é empregada [37-40]. Essa expressão que relaciona a porosidade e a permeabilidade requer uma constante que depende do material e do tamanho dos grãos que compõem a matriz porosa. Esta constante tem um papel fundamental na aplicação da equação, o valor deste parâmetro muda para cada tipo de material poroso.

Os modelos matemáticos obtidos a partir da Teoria de Misturas podem resultar em sistemas hiperbólicos de equações diferenciais. Tais sistemas possuem soluções e implementações numéricas muito características, uma vez que essas podem ser descontínuas. A solução de tais sistemas envolve a solução do Problema de Riemann associado ao sistema, que é utilizada como dado de entrada para o Método de Glimm.

1.2.2. O Problema de Riemann e o Método de Glimm

O estudo matemático de soluções descontínuas teve início com o trabalho pioneiro de Riemann [41], que primeiro resolveu um problema de valor inicial, para as condições isoentrópicas unidimensionais de Euler. Riemann estudou a solução das equações de Euler para um tubo longo contendo gás, inicialmente a condições diferentes de densidade e pressão, separados por uma membrana. Após o rompimento dessa membrana, ele observou que o comportamento do gás era tal que suas propriedades apresentavam ondas (choques ou rarefações) ao longo do comprimento do tubo. Esse problema hoje é conhecido por seu nome e desempenha um papel essencial na análise numérica e computacional de soluções descontínuas.

Inúmeros métodos para resolver as equações de Euler foram propostos desde o início dos anos cinquenta, quando Courant et al. [42] e Lax [43] desenvolveram métodos de primeira ordem de precisão, sendo este último um dos primeiros a utilizar a ideia de diferenças finitas para provar a existência de soluções fracas, obtendo soluções auto-similares para o problema de Riemann e o conceito de admissibilidade para choques, o qual hoje leva seu nome. Posteriormente, diversos outros métodos foram propostos, como os de Lax e Wendroff [44] e MacCormack [45], os quais foram desenvolvidos empregando esquemas centrados e ambos apresentam segunda ordem de precisão no tempo e no espaço. Entretanto, os esquemas centrados não levam em consideração as características físicas de direção de propagação de informações presentes no escoamento.

A partir da metade do século passado, o estudo analítico da teoria de leis de conservação teve um grande desenvolvimento devido a renomados matemáticos, como Hopf [46], um dos precursores na utilização do método de viscosidade nula, seguido por Oleinik [47], que provou existência, unicidade, comportamento assintótico e decaimento de soluções para equações escalares em uma variável espacial.

Em 1959, Godunov [6] propôs um esquema upwind de primeira ordem de precisão, como uma extensão aos métodos desenvolvidos por Courant et al. [42] para sistemas hiperbólicos não lineares de leis de conservação, no qual resolve um problema de Riemann exato para cada intervalo da malha, em função das descontinuidades dos valores das variáveis de estado nas interfaces desta mesma malha. Nesta mesma linha, podemos citar os esquemas de Engquist e Osher [48], Osher [49] e Roe [50], que são métodos de separação de diferenças de fluxos.

Em 1965, Glimm [5] introduziu o Método de Escolha Aleatória (Random Choice

Method). Este esquema surge como uma prova construtiva da existência de soluções para

uma classe de sistemas hiperbólicos não lineares de leis de conservação, onde se provou a existência global de soluções para estes sistemas. Glimm amostrou a solução de um problema de Riemann de forma a obter a solução de escoamentos com descontinuidade para um tempo qualquer. Em 1976, Chorin [51] implementou com sucesso uma versão modificada deste esquema como uma ferramenta computacional para resolver as equações de Euler de dinâmica de gases. Além disso, Chorin propôs uma alteração no processo de amostragem, de forma a distribuir uniformemente as amostras, dando origem a resultados mais precisos. Outros exemplos de aplicação com sucesso do Método de Glimm podem ser encontrados em [52,53].

Entre as principais características do método de Glimm estão a sua capacidade de não dissipar o choque, preservando, assim, a sua magnitude e posição, além do baixo custo computacional se comparado a outros métodos de aproximação de problemas não lineares como o método de elementos finitos associado a uma técnica de captura de choques, por exemplo. Além disto, quando o comprimento dos passos tomados em relação à variável espacial tende a zero, a aproximação obtida tende a solução exata do problema, considerando, neste caso, a sua solução fraca [3, 52].

Atualmente, vários matemáticos chineses têm dado relevantes contribuições ao problema de Riemann e problemas correlatos. Basta ver, por exemplo, os trabalhos de Gu et al. [54] e Ding et al. [55], bem como as contribuições mais recentes em Chang e Hsiao [56], Ding e Liu [57], Li et al. [58] e Li e Yu [59].

1.2.3. Escoamentos com restrição em meios porosos

O problema de Riemann e o Método de Glimm são ferramentas importantes na resolução de problemas de escoamentos em meios porosos, os quais podem apresentar propagação de descontinuidades. Buscando encontrar modelos fisicamente realistas para tais problemas, foram desenvolvidos sucessivos modelos para o preenchimento de um meio poroso utilizando Teoria de Misturas [60, 61].

Daganzo [62], Aw e Rascle [63], Berthelin e Bouchut. [64], Colombo e Goatin [65], Berthelin et al. [66], Herty e Schleper [67], e Colombo et al. [68] utilizaram modelos de escoamento de tráfico (traffic flow models) para estudar escoamentos com restrição e propagação de descontinuidades. Esse modelos, no entanto, podem apresentar resultados não realistas, tais como densidades negativas [69].

Bouchut et al. [70] discutiram escoamentos bifásicos de um gás e um líquido, e propuseram um modelo a partir de uma restrição para a fração volumétrica. A metodologia proposta pelos autores captura as fortes diferenças entre a dinâmica de regiões congestionadas e livres, assim como permite determinar sua transição.

Rossmanith [71] utilizou um método de volumes finitos, baseado em um método de propagação de ondas, empregando um artefato de restrição para aproximar um sistema de equações hiperbólicas não-lineares para problemas de hidrodinâmica magnética, sujeito a ondas de choque e outras descontinuidades.

Saldanha da Gama [72], propôs uma restrição ao sistema hiperbólico, na qual a rigidez da matriz porosa e a incompressibilidade do fluido dão origem a uma relação constitutiva para a pressão parcial do constituinte líquido que leva em conta uma fronteira

geométrica, a qual admite soluções realistas. A relação constitutiva para a pressão parcial é uma restrição geométrica unilateral para a fração do fluido, válida em todo o domínio. Na sequência, Martins Costa e Saldanha da Gama [73] consideraram uma restrição geométrica unilateral para a fração do fluido em uma vizinhança conveniente da porosidade, garantindo continuidade para a pressão e sua primeira derivada e calcularam analiticamente os Invariantes de Riemann associados com o problema.

Després et al. [74] observaram que entender as restrições impostas aos modelos matemáticos e o desenvolvimento de soluções para equações diferenciais parciais não lineares permanecem grandes desafios até os dias atuais. Esses autores apresentaram um desenvolvimento matemático para soluções fracas de sistemas hiperbólicos com restrições, com a finalidade de modelar a plasticidade compressível com choques, a qual dá origem a soluções descontínuas. Os modelos foram propostos nos sistemas de Friedrich com uma restrição geral convexa, provando que essas soluções fracas são únicas.

Saldanha da Gama et al. [69] impuseram matematicamente uma restrição geométrica unilateral e apresentaram a solução exata de um Problema de Riemann não linear com restrição, garantindo que o maior valor da fração do fluido fosse a porosidade e identificando claramente a transição do escoamento insaturado para o escoamento saturado. No entanto, quando a saturação era alcançada o problema deixava de ser hiperbólico impedindo, por exemplo, a utilização do esquema de Glimm, que permite obter soluções numéricas para quaisquer condições iniciais. Em outras palavras, o esquema de Glimm só poderia ser aplicado antes da saturação ser atingida. Para superar essa deficiência, o presente trabalho empregará um artifício matemático: permitir uma pequena saturação – levando a fração do fluido a exceder levemente a porosidade. Isso é equivalente a permitir

uma saturação muito pequena na matriz porosa. Este artifício matemático garante que o problema permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é alcançada. É importante notar que a descrição hiperbólica permite implementar um método como o de Glimm para avançar no tempo (qualquer condição inicial pode ser considerada).

1.3. Objetivos

O presente trabalho foi motivado por [69] no qual a transição entre escoamentos insaturados e saturados foi identificada e uma restrição física associada ao enchimento de uma matriz porosa insaturada foi imposta: a porosidade nominal como um limite superior para a fração de fluido. A referida restrição imposta em [69] fazia com que a hiperbolicidade do sistema fosse perdida quando a saturação era atingida. No presente trabalho é apresentada uma restrição que permite definir uma relação constitutiva inédita para a pressão, a qual garante que o problema permaneça hiperbólico mesmo para escoamentos saturados.

Utilizando a relação constitutiva proposta, foi simulado o enchimento de uma matriz porosa unidimensional, que representa problemas práticos nos quais uma das dimensões é muito maior que as outras, como é o caso de escoamentos em reservatórios de petróleo ou o caso da contaminação do solo por poluentes.

A descrição utilizada é feita de um ponto de vista da Teoria de Misturas e trata o escoamento como uma superposição de constituintes contínuos – um constituinte gasoso com densidade muito baixa (que permite considerar a compressibilidade da mistura como um todo), um constituinte líquido (representando um fluido newtoniano), que é denotado

como constituinte fluido e um constituinte sólido (que representa a matriz porosa quase indeformável).

Em geral, quando o escoamento torna-se saturado, o modelo matemático deixa de ser hiperbólico. Neste trabalho considera-se uma matriz porosa fracamente deformável, de tal forma que a fração de fluido pode ser ligeiramente maior que a porosidade, admitindo uma pequena supersaturação, que equivale a permitir uma deformação muito pequena na matriz porosa, de modo a poder considerar uma relação constitutiva contínua e convexa para a pressão. Este artifício matemático garante que o problema permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é atingida, além disso, a física do problema é preservada.

A vantagem do problema permanecer hiperbólico é a possibilidade de empregar uma metodologia apropriada para simular sistemas hiperbólicos, como o método de Glimm, e marchar no tempo através da solução de um certo número previamente determinado de problemas de Riemann.

O Capítulo 2 apresenta o Modelo Mecânico do problema discutido nesta tese. Inicialmente são apresentados os conceitos de Teoria de Misturas e, em seguida, as hipóteses constitutivas empregadas, permitindo o desenvolvimento equações do Modelo Mecânico para o problema analisado.

No Capítulo 3, a solução completa para o problema de Riemann associado é apresentada e, no Capítulo 4 é apresentado o procedimento adotado para a implementação do método de Glimm ao modelo matemático proposto.

No capítulo 5 são apresentados os resultados numéricos e, por fim, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho e algumas sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

Capítulo 2

MODELAGEM MECÂNICA

2.1. Introdução

Nesse capítulo serão apresentadas as equações básicas da teoria contínua de misturas, empregada na descrição do processo de enchimento de um meio poroso insaturado por um líquido. Quando descreve-se o comportamento de materiais tais como água, borracha ou polímeros, os mesmos são observados como um único meio contínuo, no entanto, existem muitas substâncias, como por exemplo, misturas de gases ideais, misturas de líquidos, líquidos com bolhas, suspensões, meios porosos ou ligas metálicas, para as quais seria mais apropriado assumir que o meio consiste de mais de um constituinte. Dessa

forma, serão apresentadas as equações para o Balanço de Massa e Balanço de Momentum Linear para cada um dos constituintes e para uma mistura qualquer.

Uma das formas de apresentar as equações para as leis de balanço para um único constituinte envolve a introdução do conceito de região material. Essa região é definida de forma que a mesma sempre contenha as mesmas partículas assim, em geral, a fronteira dessa região varia com o tempo. Esse método pode ser estendido para a dedução de equações de balanço para misturas.

Uma forma alternativa de apresentar as equações de balanço para um único constituinte é utilizar uma região arbitrária fixa e regular no espaço. Essa segunda alternativa também pode ser aplicada para misturas e será utilizada nas subseções seguintes. Nas próximas subseções será considerada uma região fixa R de volume V delimitada por uma superfície ∂R também regular de área A. Todas as equações são deduzidas para o instante de tempo t e todos os campos são funções de x e t. Quando considerado um constituinte da mistura, será suposto que o mesmo pode ser isolado do restante da mistura, desde que o efeito dos demais constituintes sobre o mesmo seja considerado.

2.2. Balanço de Massa

A ocorrência de reações químicas e/ou mudanças de fase entre os constituintes pode alterar a quantidade de qualquer um dos constituintes presentes na mistura. Consequentemente a massa de um constituinte α não necessariamente é conservada e o balanço de massa para esse constituinte pode ser escrito como [60]

∂

∂t

∫

∫

∫

sendo m_α a taxa temporal de produção de massa do constituinte α surgindo a partir da reação com os outros constituintes, n é o vetor unitário normal à superfície ∂R, apontando para fora da mesma, ρ_α é a densidade do constituinte α de tal forma que a densidade da mistura é dada por ρ=

∑

α

ρ_α e v_α é a velocidade do constituinte α.

Para a mistura como um todo, postula-se a conservação de massa. Em outras palavras, enquanto consideramos o intercâmbio de massa entre os constituintes, para a mistura, a criação de massa adicional não ocorre [60]. A equação (2.2) a seguir apresenta a conservação de massa para a mistura

∂ ∂t

∫

∑

∫

∑

As equações (2.1) e (2.2) são as formulações integrais para o balanço de massa de um constituinte e para a mistura, respectivamente. Para obter essas equações em sua forma diferencial, é necessário utilizar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss1_{). Aplicando}

o Teorema da Divergência à equação (2.1), tem-se

1 O Teorema de Gauss converte uma integral de superfície em uma integral de volume, da seguinte forma:

∫

[

∂t + ∇⋅

(

)

]

Como R é uma região arbitrária fixa sendo ocupada integralmente pela mistura e, considerando que o integrando é um campo regular na região R, tem-se que

∂ρ_α

∂t ∇⋅





A equação (2.4) é a equação diferencial para o Balanço de Massa de um constituinte em uma mistura.

Aplicando procedimento semelhante à equação (2.2), tem-se

∂ρ

∂t+ ∇⋅(ρ v )=0 . (2.5)

sendo v a velocidade do baricentro da mistura, e ρ a densidade de mistura, definidos por (2.6) e (2.7), respectivamente v ρ=

∑

_∑

Realizando a soma em (2.4) observa-se que uma equação equivalente para a equação (2.5) é

∑

α

m_α=0 (2.8)

As equações (2.6) e (2.8) são formas equivalentes do Balanço de Massa para a mistura.

2.3. Balanço de Momentum Linear

Antes de deduzir a equação do Balanço de Momentum Linear para um dado constituinte α, consideremos as forças agindo nesse constituinte na região R. Assim como as força de campo (como, por exemplo, o campo gravitacional), devem ser levados em consideração os efeitos da mistura fora da região R. Isso é feito mediante um tensor

T_α(n , x , t) definido em toda a região R, que expressa localmente o estado de tensão decorrente da força de contato exercida sobre o constituinte α pelo exterior a ∂R. Esse tensor é chamado Tensor Parcial de Tensões e possui uma função na Teoria das Misturas, análoga ao Tensor Tensão na Mecânica do Contínuo. Dois outros efeitos a serem considerados no balanço de Momentum Linear de α são (1) o Momentum Linear fornecido a α devido a reações químicas e/ou mudanças de fase com outros constituintes e (2) a transferência de Momentum Linear devido a outras interações, como por exemplo, o movimento relativo entre os constituintes e os efeitos devido a uma distribuição não

uniforme de um constituinte no interior de outro constituinte. De acordo com essas observações, a equação do Balanço de Momentum Linear para o constituinte α fica da forma da equação (2.9) a seguir

∂

∂

t

∫

ρ

v

dV+

∫

(

ρ

v

v

)

⋅

n dA−

∫

m

j

dV=

∫

(

ρ

f

+

p

)

dV+

∫

T

⋅

n dA .

sendo que f_α representa as forças externas agindo no constituinte α, medidas por unidade de massa de α. O terceiro e o quinto termos da equação (2.9) contabilizam os efeitos mencionados em (1) e (2) acima, tendo j_α dimensões de velocidade e p_α é a força difusiva exercida em α pelos demais constituintes. Observa-se que, quando não ocorrem reações químicas e/ou mudanças de fase na mistura

₍

₎

j_α não figuram na teoria.

Como foi suposta conservação de massa para a mistura (equação (2.5)) e que a força p_α é um efeito interno, o qual não afetará a mistura como um todo, a equação que representa o balanço de Momentum Linear para a mistura é dada por

∂ ∂t

∫

∑

∫

∑



_

∫

∑

∫

∑

∫

[

∂t + ∇⋅

(

)

(

)

]

Como R é uma região arbitrária fixa no interior da mistura e, considerando que o integrando é regular na região R, tem-se que

∂ρ_αv_α

∂t  ∇⋅





que é a equação do Balanço do Momentum Linear para um constituinte α da mistura. Aplicando-se um procedimento semelhante à equação (2.10) obtém-se a equação do Balanço de Momentum Linear para a Mistura, dada pela equação (2.13) a seguir

∑

[

]

∑

ρ a força de corpo externa total e T=

∑

sobre a mistura.

Somando (2.12) para todos constituintes, obtém-se uma equação equivalente a (2.13), dada por

∑

α

(

2.4. Modelo Mecânico Considerado

No presente trabalho, o modelo mecânico considera um escoamento isotérmico de uma mistura de três constituintes quimicamente não reagentes: um constituinte gasoso com densidade muito pequena (inserido para levar em conta a compressibilidade do constituinte líquido), um constituinte sólido fracamente deformável e um líquido newtoniano, que a partir de agora será denominado como constituinte fluido. É importante ressaltar que o comportamento do constituinte sólido não é considerado, por ser ele suposto fracamente deformável. Além disso, o componente gasoso é considerado um gás muito rarefeito, sendo incluído apenas para considerar a compressibilidade do constituinte fluido, não sendo necessário, portanto, resolver as equações de conservação para esse constituinte. Sob estas hipóteses basta resolver equações de conservação de massa (equação (2.4)) e Momentum Linear (equação (2.12)) para o constituinte fluido [60, 61]

∂ρ_F

∂t ∇⋅





∂ρ_Fv_F

∂t ∇⋅





sendo que ρ_F representa a densidade mássica do constituinte fluido (razão local entre a massa do constituinte fluido e o volume correspondente de mistura), v_F é a velocidade do constituinte fluido na mistura, TF é o tensor parcial de tensões associado ao constituinte

fluido, p_F é a fonte (fornecimento) de Momentum Linear que atua sobre o constituinte fluido devido à sua interação com os demais constituintes da mistura. O termo j_F

representa o Momentum Linear fornecido ao constituinte fluido devido a reações químicas com outros constituintes e mF a produção de massa do constituinte fluido surgindo a

partir da reação com os outros constituintes.

Como no presente trabalho os constituintes da mistura são considerados como não reagentes, tem-se que m_F=0. Além disso, será considerado que o efeito das forças externas é desprezível em relação às forças causadas pela pressão e pelo escoamento, assim

f_F=0. A partir dessas simplificações, as equações (2.15) e (2.16) podem ser reescritas como

∂ρ_F

∂t + ∇⋅

(

)

∂ρ_Fv_F

∂t + ∇⋅

(

)

Além disso, no presente trabalho o tensor parcial de tensões é suposto simétrico, satisfazendo, assim, automaticamente o Balanço de Momentum Angular para cada constituinte e, consequentemente, para a mistura.

A fração de fluido φ é definida como a razão entre a densidade mássica real do fluido (de um ponto de vista de Mecânica do Contínuo) e a densidade mássica do constituinte fluido (de um ponto de vista de Teoria de Misturas), e a saturação ψ é

definida como a razão entre a fração de fluido e a porosidade da matriz porosa ε, portanto, tem-se: φ=ρ_ρF f (2.19) ψ=φ_{ε =ρ}ρF fε (2.20)

sendo ρ_f a densidade mássica real do fluido (de um ponto de vista de Mecânica do Contínuo), enquanto ρF representa a densidade mássica do constituinte fluido (de um

ponto de vista de Teoria de Misturas, que é a razão local entre a massa constituinte fluido e o volume correspondente de mistura). É importante notar que se o constituinte sólido, que representa a matriz porosa fosse suposto indeformável (rígido), então 0<ψ⩽1. Como é admitido que a matriz porosa seja fracamente deformável, não é necessário satisfazer a restrição ψ⩽1. Observa-se que ψ não é ilimitado. Ou seja, ele apenas ultrapassa

discretamente a unidade. Assim ψ=1+δ , sendo δ≪1.

O Modelo Mecânico é obtido combinando-se as equações de conservação de Massa e Momentum Linear para o constituinte fluido (equações (2.17) e (2.18) respectivamente) com relações constitutivas para o tensor parcial de tensões (T) e o termo de fonte de momentum ( p_F).

Inicialmente a relação entre a fonte de Momentum Linear é considerada [26, 60, 75]. Esse termo usualmente é escrito como um termo relacionado com a velocidade do constituinte fluido e um termo relacionado com o gradiente da fração de fluido. De acordo com [76], as equações clássicas de Darcy consideram as forças de arrasto que surgem a

partir da velocidade relativa entre os constituintes de uma mistura. Assim, o termo relacionado com a velocidade do constituinte fluido é usualmente chamado termo darciano. O termo relacionado com o gradiente da fração de fluido representa o efeito das forças capilares que surgem devido a distribuição uniforme do fluido na matriz porosa não-saturada. Dessa forma o termo p_F é dado por [1]

p_F=−μf

K φ

2

v_F−μfD

K ∇ φ (2.21)

sendo μ_f a viscosidade do fluido, K a porosidade específica do meio poroso (ambas medidas sob um ponto de vista de Mecânica do Contínuo), e D é um coeficiente de difusão (análogo ao coeficiente de difusão de massa). Neste trabalho o termo darciano é desprezado, portanto p_F depende apenas do gradiente de concentração.

A seguinte relação é assumida para o tensor parcial de tensões [1, 2, 26]

TF=−φ ^p I +2 λ φ2μfDF (2.22)

sendo ^p a pressão, I o tensor identidade, μ_f a viscosidade do fluido, λ é um parâmetro sempre positivo que depende da microestrutura da matriz porosa [9] e D_F é a parte simétrica do gradiente da velocidade do constituinte fluido.

De acordo com [77] as tensões normais são dominantes em relação às cisalhantes e às trações interfaciais, permitindo que o tensor parcial de tensões (2.22) seja escrito como

T_F=−φ ^p I . (2.23)

Substituindo as equações (2.20), (2.21) e (2.23) nas equações (2.17) e (2.18), tem-se ∂φ ∂t+ ∇⋅

(

)

[

]

Nesse ponto será considerado que o escoamento ocorre em uma matriz porosa que apresenta uma dimensão muito maior que as demais, como ilustrado na Figura 2.1, a seguir. Nessa figura, o escoamento ocorrerá na direção x e as equações poderão ser modificadas para contemplar apenas as variações nessa direção. Destaca-se que o modelo da Figura 2.1 pode representar um escoamento em um reservatório de petróleo, ou mesmo a dispersão de poluentes no solo.

Redefinindo a pressão ¯p=¯p(φ) como ¯p=_ρp^

f φ+

μ_fD

K ρ_f φ, supondo que todas as

quantidades dependem apenas da posição x e do tempo t, e que a única componente não nula da velocidade do constituinte fluido vF seja v, pode-se reescrever o sistema

não-linear formado pelas equações (2.24) e (2.25) como

∂φ

∂t+ ∂∂x(φv)= 0 (2.26)

∂

∂t(φv)+ ∂∂x

(

2_{+ ¯p)=0 . (2.27)}

Nesse ponto uma relação constitutiva contínua e convexa para a pressão é proposta. A seguinte relação assegura que o problema permaneça hiperbólico para escoamentos insaturados e saturados ¯p=

{

}

sendo que ¯cW>¯c>0 e ε>0 são constantes.

A definição da pressão em (2.28) garante que os autovalores da matriz jacobiana do sistema associado sejam sempre reais e distintos, o que caracteriza um sistema hiperbólico. Isso será melhor explicado no capítulo 3. Além disso, a pressão como definida em (2.28) é função apenas de uma variável, assim sua derivada será denotada por ¯p' .

A figura 2.2 mostra a pressão em função da fração de fluido. Se a matriz porosa fosse considerada rígida, a pressão deixaria de ser uma variável constitutiva para φ⩾ε , pois o valor máximo da fração de fluido para um meio poroso rígido seria φ=ε [69], correspondendo a um meio poroso saturado, quando a pressão seria representada por uma linha vertical ( ¯p⩾¯c2

ε para φ=ε ). Como a supersaturação admitida é muito pequena a

inclinação da parcela na qual φ⩾ε , está muito exagerada.

Figura 2.2. Pressão versus fração do fluido em um escoamento supersaturado através de uma matriz porosa.

Nesse trabalho, a supersaturação φ>ε é permitida, presente na relação constitutiva proposta, equação (2.28). O parâmetro ¯cW é uma constante convenientemente escolhida

de tal forma que, quando ¯cW→∞ a matriz porosa tende a ser rígida e a pressão tende a

por uma linha reta, será suposto que δ>φ−ε⩾0 , sendo δ um número muito pequeno, assim, o parâmetro ¯cW não depende da fração de fluido. De fato, considerar δ muito

pequeno corresponde a considerar o parâmetro ¯cW muito grande, que é o procedimento

adotado no presente trabalho.

O parâmetro ¯cW pode ser escolhido livremente, desde que não seja menor que 1.

Quanto maior o valor desse parâmetro, mais próximo do problema real. No entanto, para as simulações numéricas, esse parâmetro fica limitado, uma vez que, valores elevados para ¯cW geram valores pequenos para φ−ε , sendo esses limitados pela precisão do

computador (que normalmente é em torno de 1 x 10−8

).

A hipótese da supersaturação busca preservar a hiperbolicidade das equações diferenciais parciais, enquanto não descarta qualquer variação não desprezível na permeabilidade e na porosidade. Tal hipótese é válida apenas para pequenas deformações na matriz porosa e dá origem a velocidades de propagação muito altas, quando a fração de fluido é maior ou igual à porosidade. Esse ponto de vista foi baseado nas considerações clássicas de elasticidade infinitesimal (na qual as configurações de referência e deformada são praticamente coincidentes).

Observa-se que, se fosse adotado uma curva parabólica para a pressão, que aproximasse a curva da Figura 2.2, a solução analítica do Problema de Riemann associado seria muito mais complexa, devido à álgebra associada.