Conclusões e Sugestões
No presente trabalho foi proposta uma relação constitutiva contínua para a pressão como função da saturação, como uma continuação do trabalho de Saldanha da Gama et al. [69], que identificava a transição entre escoamentos insaturados e saturados, impondo uma restrição física associada ao enchimento de uma matriz porosa insaturada: a porosidade nominal como um limite superior para a fração de fluido. Essa restrição imposta em [69] faz com que a hiperbolicidade do sistema seja perdida quando a saturação é atingida.
A metodologia proposta consiste em supor um meio poroso levemente deformável, com uma deformação tão pequena que não seja necessário analisar o movimento do
constituinte sólido. Ou seja, a física do escoamento é preservada. No entanto, a deformação do meio poroso permite definir uma nova equação constitutiva para a pressão do constituinte fluido. A relação constitutiva para a pressão é uma função contínua da saturação, e é definida de forma que o sistema hiperbólico resultante permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é atingida. Na verdade, o modelo matemático permite uma pequena supersaturação da matriz porosa, correspondendo a admitir uma matriz porosa fracamente deformável.
Foram obtidas as soluções completas para o problema de Riemann associado ao modelo proposto. A partir da solução do problema de Riemann, foi possível analisar resultados numéricos para os casos choque-1/choque-2, choque-1/rarefação-2, rarefação- 1/choque-2 e rarefação-1/rarefação-2. Esses resultados, quando comparados com resultados propostos na literatura, se mostrou eficiente para tratar escoamentos insaturados e saturados. Além disso, esses resultados se mostraram realistas ao abordar problemas dessa natureza, uma vez que foram obtidos valores para a pressão próximos de valores reais, sem que fosse necessário supor uma supersaturação exagerada (saturação obtida somente ultrapassava discretamente a porosidade).
O modelo proposto permitiu implementar o método de Glimm para o sistema hiperbólico estudado, utilizando a solução do problema de Riemann associado. Dessa forma, foi possível analisar a variação das propriedades dos escoamentos ao longo do tempo.
Com o método de Glimm foi possível realizar simulações numéricas para os casos choque-1/choque-2, choque-1/rarefação-2, rarefação-1/choque-2 e rarefação-1/rarefação-2.
Além disso, foi possível comparar a evolução das propriedades do escoamento para diferentes valores da constante proposta cW.
A partir dos resultados numéricos obtidos com o método de Glimm, observou-se que o modelo proposto gerou valores mais realistas para as propriedades intermediárias, isto é, as propriedades do escoamento entre duas descontinuidades. Além disso, utilizando o modelo proposto, verificou-se que as velocidades de propagação das descontinuidades aumentavam quando a saturação era atingida.
Foi observado que, o aumento da constante definida cW permitiu que o modelo estudado produzisse resultados mais realistas, de forma que os escoamentos, quando atingiam a saturação, também apresentavam altos valores para a pressão e velocidades de propagação de descontinuidades mais altas.
Nos resultados obtidos, foram encontrados valores bastante elevados para a pressão, os quais podem ser utilizados como uma forma de verificar a fratura em um meio poroso. Se for estabelecido um critério para a ocorrência de uma fratura (um valor de pressão máxima, por exemplo), pode-se analisar os valores da pressão, de forma que se garanta a não ocorrência de quebra (fratura) do meio poroso. A partir do momento em que ocorre a quebra, as equações diferenciais deixam de ser aplicáveis e o problema mecânico deve ser reformulado.
Como sugestões para trabalhos futuros, a primeira será implementar o método de Glimm para resolver problemas de valor inicial e de contorno mais realistas, aproveitando todas as potencialidades do método.
Outras sugestões para trabalhos futuros seriam não desprezar o atrito ou o aquecimento decorrentes do escoamento. Esse tipo de problema envolve a redefinição do tensor das tensões e, principalmente, levar em conta o termo darciano na força de interação entre os constituintes da matriz porosa, para o caso de se considerar o atrito, e a inclusão de equações diferencias adicionais (conservação da energia) tanto para o constituinte fluido como para o constituinte sólido, para solucionar o problema com variação de temperatura. Destaca-se que, para solucionar o problema com atrito pode-se utilizar uma técnica de fatoração do operador, como aquela utilizada em [3]. No caso de se considerar um problema de convecção forçada, a solução do problema hidrodinâmico pode ser usada como dado de entrada para o problema térmico, que pode ser aproximado por diferenças finitas [2].
Uma outra sugestão seria tratar adequadamente a classe de problemas considerados nesse trabalho, permitindo-se relações não-convexas entre a pressão e a saturação. Para tal, pretende-se utilizar o procedimento proposto em [80]. Quando a relação entre a pressão e a saturação não é convexa, o problema de Riemann associado requer procedimentos mais complexos para a sua solução, pois não é garantido o mesmo comportamento para cada autovalor entre dois estados, devido à mudança de sinal na segunda derivada da pressão. Esse procedimento é ilustrado em [80].
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