7.3.1 Plano de Aula
10o Encontro - 29 de junho de 2019
P´ublico Alvo: Alunos do Ensino M´edio da Rede P´ublica de Ensino - NRE Cascavel, inscritos no projeto.
Tempo de Execu¸c˜ao: Um encontro com dura¸c˜ao de 4h.
Conte´udo: C´ırculo e Circunferˆencia; Paralelep´ıpedo e Cubo (´area e volume); Cilindro (´area e volume).
Objetivos Gerais: Que os alunos conhe¸cam e aprendam a usar alguns m´etodos para c´alculo de per´ımetro, ´area ou volume dos objetos geom´etricos referidos no item anterior, sendo estes de duas ou trˆes dimens˜oes.
Objetivos Espec´ıficos: Nossos objetivos com rela¸c˜ao a ministra¸c˜ao desta aula ´e que, ao final, os estudantes sejam capazes de:
• calcular o valor da circunferˆencia (ou arco de circunferˆencia) de um c´ırculo a partir do seu raio r ou diˆametro d;
• estimar o valor da ´area do c´ırculo [A◦] a partir da equa¸c˜ao [A◦ = πr2], que ser´a justifi-
cada, isto ´e, obtida por m´etodos n˜ao formais;
• calcular a ´area total das faces e o volume de um Paralelep´ıpedo - idem para o Cubo; • calcular a ´area e o volume ocupado por um Cilindro.
Recursos Did´aticos: GeoGebra, projetor, quadro, giz, aparato circular composto de bar- bantes para obten¸c˜ao da ´area do c´ırculo, objetos circulares de mesmo raio em madeira/EVA, para exemplifica¸c˜ao do Princ´ıpio de Cavalieri, caixas planific´aveis.
Encaminhamento metodol´ogico:
1. Iniciaremos a aula definindo, com o auxilio do projetor e de lˆaminas, c´ırculo e circun- ferˆencia. (15 min)
2. Mostraremos, utilizando o aparato com barbantes, como ´e poss´ıvel obter a f´ormula para o c´alculo da ´area do c´ırculo “esticando” os barbantes que comp˜oem as “circunferˆencias internas” do aparato, transformando o c´ırculo em um triˆangulo retˆangulo. Como j´a s˜ao conhecidos os m´etodos para o c´alculo de ´area dos triˆangulos (sup˜oe-se), ser´a poss´ıvel assim determinar a f´ormula para o c´alculo da ´area do c´ırculo. J´a usaremos tamb´em o pr´oprio aparato como exemplo fazendo uso de suas medidas. (10 min)
3. Explicaremos o significado de volume atrav´es das lˆaminas como medida de compara¸c˜ao entre unidades de ocupa¸c˜ao do espa¸co. (15 min)
4. Falaremos do Princ´ıpio de Cavalieri que ser´a ´util na obten¸c˜ao do paralelep´ıpedo com o uso das lˆaminas. (15 min)
5. Aplicaremos uma atividade para que os discentes estimem o valor dos volumes de um cilindro reto e de um obl´ıquo, utilizando os objetos circulares de madeira/EVA para que possam facilitar sua visualiza¸c˜ao, como uma forma de aplica¸c˜ao do Princ´ıpio de Cavalieri. (20 min)
6. Aplicaremos uma segunda atividade em que pediremos aos alunos que planifiquem os s´olidos (caixas) e calculem suas respectivas ´areas e volumes. (20 min)
7. Apresentaremos a eles alguns poliedros e comentaremos sobre a forma de obten¸c˜ao da f´ormula da pirˆamide como sendo 1/3 da ´area do poliedro de base correspondente. (15 min)
8. Entregaremos a eles uma lista de exerc´ıcios. (1h) 9. Faremos a corre¸c˜ao da lista de exerc´ıcios. (30 min)
Avalia¸c˜ao: Os alunos ser˜ao avaliados por suas participa¸c˜oes nas atividades propostas, bem como por suas resolu¸c˜oes da lista de exerc´ıcios.
Referˆencias
[1] BONGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO, Ol´ımpio Rudinin Leite; LAUREANO, Jos´e Luiz Tavares. Matem´atica - Volume ´Unico. 2o grau. ´Atica. 6a ed. 1998.
[2] DOLCE, Osvaldo; POMPEO, Jos´e Nicolau. Fundamentos de matem´atica elemen- tar, 10: geometria espacial, posi¸cao e m´etrica. Atual, 1993.
Universidade Estadual do Oeste do Paran´a - UNIOESTE
Campus Cascavel
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - CCET
Colegiado de Matem´atica
Atividade
Nomes:
1. Planificar as embalagens e preencher os dados da tabela conforme solicitado: Tab. 7 – Modelo de tabela para a atividade de Planifica¸c˜ao
Nome da Embalagem Nome do s´olido geom´etrico Figura plana obtida ´ Area da figura planificada
Per´ımetro Volume do s´olido
Universidade Estadual do Oeste do Paran´a - UNIOESTE
Campus Cascavel
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - CCET
Colegiado de Matem´atica
Promat 2019
10o
Encontro - Circunferˆencia e C´ırculo + S´olidos
Lista de Exerc´ıcios
“Eu n˜ao falhei. S´o descobri 10 mil caminhos que n˜ao eram os certos” Thomas Edison 1. (ENEM 2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas est˜ao as planifica¸c˜oes dessas caixas. Quais ser˜ao os s´olidos geom´etricos que Maria obter´a a partir dessas planifica¸c˜oes?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirˆamide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirˆamide.
c) Cone, tronco de pirˆamide e pirˆamide. d) Cilindro, tronco de pirˆamide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
2. (ENEM 2010) Uma f´abrica produz barras de chocolates no formato de paralelep´ıpedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelep´ıpedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as caracter´ısticas das figuras geom´etricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tˆem o formato de cubo ´e igual a:
a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm
d) 24 cm e) 25 cm
3. (ENEM 2009) Uma empresa que fabrica esferas de a¸co, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transport´a-las. Sabendo que a capacidade da caixa ´e
de 13.824 cm3, ent˜ao o n´umero m´aximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa ´e igual a: a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32
4. (OBMEP) Determine os volumes dos cilindros abaixo:
5. (ENEM 2015) Uma f´abrica de sorvetes utiliza embalagens pl´asticas no formato de parale- lep´ıpedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de confec¸c˜ao do sorvete, uma mistura ´e colocada na embalagem no estado l´ıquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistˆencia cremosa. Inicialmente ´e colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1000 cm3 e, ap´os essa mistura ficar cremosa, ser´a adici-
onada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume m´aximo, em cm3, da mistura sabor morango que dever´a ser colocado na embalagem ´e: a) 450
b) 500 c) 600
d) 700 e) 1000
6. (ENEM 2018) A figura mostra uma pra¸ca circular que cont´em um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os c´ırculos que definem a pra¸ca e o chafariz s˜ao concˆentricos. O passeio ter´a seu piso revestido com ladrilhos. Sem condi¸c˜oes de calcular os raios, pois o chafariz est´a cheio, um engenheiro fez a seguinte medi¸c˜ao: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distˆancia entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso,
obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m. Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da ´area do passeio, em metro quadrado. A medida encontrada pelo engenheiro foi:
a) 4π b) 8π c) 48π d) 64π e) 192π
7.3.2 Relat´orio
10o Encontro - 29 de junho de 2019
Come¸camos a aula definindo circunferˆencia e c´ırculo dando ˆenfase para a diferen¸ca entre eles. Passamos ent˜ao um v´ıdeo explicativo que mostra uma forma intuitiva de obter a f´ormula para o c´alculo da ´area do c´ırculo, j´a que n˜ao foi poss´ıvel utilizar o aparato conforme previsto por conta da dificuldade que obtivemos em constru´ı-lo. Contudo utilizamos alguns c´ırculos em EVA, que emprestamos de nossos colegas, feitos com cortes tais que, era poss´ıvel transformar os c´ırculos em retˆangulos e, assim, obtermos suas ´areas, o que era apresentado no v´ıdeo.
Falamos tamb´em sobre o significado das medidas de volume visto que n˜ao era poss´ıvel levantar uma discuss˜ao sobre o tema. Mostrando imagens animadas que exemplificavam como o volume total de uma regi˜ao no espa¸co podia ser medida por compara¸c˜ao com uma unidade de volume.
Explicamos o princ´ıpio de Cavalieri que viria a ser ´util na sequˆencia da aula atrav´es das lˆaminas.
A atividade que envolvia objetos circulares de madeira n˜ao foi aplicada por falta de tempo. No entanto, a atividade de planifica¸c˜ao foi aplicada. Os alunos se empolgaram bastante com a atividade e se esfor¸caram muito pra obterem as respostas para as medidas solicitadas.
Ao fim da atividade, falamos sobre como obtemos os volumes de objetos obl´ıquos, pirˆamides e de esferas utilizando o princ´ıpio de Cavalieri.
Aplicamos ent˜ao a lista de exerc´ıcios e fomos auxiliando conforme iam tendo d´uvidas. Surgiram muitos questionamentos. Um exerc´ıcio chamou aten¸c˜ao pois parecia sugerir que n˜ao apenas c´alculos, mas uma boa dose de interpreta¸c˜ao seria mais ´util na resolu¸c˜ao. O exerc´ıcio tratava da disposi¸c˜ao de esferas de a¸co em uma caixa c´ubica de volume pr´e-especificado. Os c´alculos levavam os alunos a errarem a quest˜ao por n˜ao levarem em considera¸c˜ao os espa¸cos que necessariamente ficariam vazios entre as esferas dentro da caixa. Isso causou um pouco de confus˜ao na mente de alguns alunos que gostavam apenas de aplicar valores em f´ormulas previamente dadas.
N˜ao foi poss´ıvel corrigir as quest˜oes, mas solicitamos aos alunos que nos contatassem caso tivessem dificuldades nos exerc´ıcios ou caso quisessem conferir suas respostas.
8
Considera¸c˜oes Finais - PROMAT
No in´ıcio das atividades sentimos um pouco de nervosismo e ansiedade sobre como pode- riam decorrer as aulas que seriam ministradas. Criamos at´e uma certa expectativa e ficamos com medo ao pensar na possibilidade de n˜ao sermos capazes de preparar as aulas pela falta de experiˆencia no assunto.
Entretanto, logo ap´os a primeira aula, todo esse nervosismo passou, a partir da´ı, s´o quer´ıamos que tudo acabasse logo. O esgotamento mental e f´ısico causado pela prepara¸c˜ao das aulas, que ´e at´e ent˜ao uma atividade nova e um tanto complicada, influenciou diretamente sobre esse pensamento. As complica¸c˜oes provocadas pelo novo logo se resolveram e passamos, gradualmente, a adquirir certa pr´atica nestas tarefas. Fomos aos poucos construindo nossos acervos de exerc´ıcios e materiais did´aticos e tudo come¸cou a ficar mais f´acil, por´em n˜ao menos desafiador.
Um espa¸co no tempo ent˜ao se abre, e ele se torna ´util para que possamos pensar em ativi- dades diferentes que possam vir a ajudar (especificamente nossos alunos) no desenvolvimento das aulas seguintes.
Ao fim desta parte da pr´atica, nossos sentimentos ent˜ao s˜ao de saudade (meio inesperada e um tanto inusitada) e satisfa¸c˜ao pela conclus˜ao desta parte da disciplina.
Parte II. Dia Nacional da Matem´atica
9
Sobre o Dia da Matem´atica
Este projeto tem por objetivo descrever as atividades a serem desenvolvidas em come- mora¸c˜ao ao Dia Nacional da Matem´atica, elaborado como trabalho complementar da dis- ciplina de Metodologia e Pr´atica de Ensino de Matem´atica – Est´agio Supervisionado I; do curso de Licenciatura em Matem´atica da Universidade Estadual do Oeste do Paran´a, campus Cascavel.
O projeto baseia-se em elabora¸c˜ao e aplica¸c˜ao de atividades diferenciadas envolvendo a matem´atica, para turmas do 6o ao 9o ano do per´ıodo matutino e vespertino. As atividades
descritas foram desenvolvidas no Col´egio Estadual Olinda Truffa de Carvalho e tiveram por finalidade divulgar o Dia Nacional da Matem´atica, bem como desenvolver com os alunos atividades l´udicas mostrando que a matem´atica pode sim proporcionar brincadeiras bastante divertidas que contribuam com o aprendizado.
A elabora¸c˜ao deste justifica-se pela necessidade cada vez maior de atualizar os modelos de ensino vigentes buscando resgatar o interesse, cada vez mais escasso, dos alunos pela matem´atica. Al´em disto, pretende-se divulgar o dia 06 de maio como o Dia Nacional da Matem´atica, apresentando a lei no 12.835, sancionada em 26 de junho de 2013, que instituiu
oficialmente esta data e a rela¸c˜ao deste dia com a hist´oria de Malba Tahan. Vale ressaltar que a realiza¸c˜ao deste projeto estava prevista para o referente dia 06 de maio, no entanto, devido ao cronograma da disciplina as atividades foram adiadas e ser˜ao realizadas no dia 30 de maio de 2019, simbolizando o Dia Nacional da Matem´atica.
Desde os prim´ordios dos processos educativos formais e suas institui¸c˜oes respons´aveis, a Matem´atica se constituiu no senso comum como uma das disciplinas mais dif´ıceis para os estu- dantes devido a sua complexidade, abstra¸c˜ao e desalinhamento com o cotidiano, dificultando sua compreens˜ao. Contudo, Almeida (2006) contradiz tal ideia, afirmando que a Matem´atica ´e simples enquanto alguns dizem se tratar de uma disciplina complexa (concep¸c˜ao dos alu- nos), mesmo que, desde o Movimento da Matem´atica Moderna de 1970, muitos estudantes n˜ao se identifiquem com ela. Entretanto, ´e poss´ıvel argumentar que quando a Matem´atica ´e trabalhada e abordada pelo professor a partir de um olhar mais cr´ıtico e investigativo, possibilitando uma forma pr´atica, contextualizada e l´udica, a disciplina passa a desenvolver nos discentes, n˜ao apenas o racioc´ınio l´ogico, mas principalmente o interesse, a curiosidade e o desejo de saber mais sobre suas fun¸c˜oes.