Plano de Aula - Polinˆ omios e Equa¸c˜ oes

6.1 Polinˆ omios e Equa¸c˜ oes

6.1.1 Plano de Aula

4o _{Encontro - 11 de maio de 2019}

Público Alvo: Alunos do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE Cascavel, inscritos no projeto.

Tempo de Execu¸c˜ao: Um encontro com dura¸c˜ao de 4 horas.

Objetivo Geral: Levar o aluno a reconhecer, interpretar e resolver problemas e opera¸cões envolvendo equa¸cões e polinômios.

Objetivos Espec´ıficos: Ao se trabalhar com equa¸c˜oes e polinˆomios, objetiva-se que o aluno seja capaz de:

• Manifestar os conhecimentos prévios sobre equa¸cões e polinômios através da aplica¸cão do jogo;

• Reconhecer equa¸cões e inequa¸cões; • Identificar os elementos de uma equa¸cão; • Resolver problemas por meio de equa¸cões; • Reconhecer polinômios;

• Identificar o grau, operar e determinar a raiz de um polinômio, aplicar a divisão através do método da chave e Briot Rufini.

Conteúdo: Equa¸cões e polinômios.

Encaminhamento Metodol´ogico:

1. Os alunos serão divididos em duplas, porém a atividade será individual.

2. Orientaremos aos alunos os procedimentos da atividade que será um bingo. Entregaremos as duas cartelas para cada aluno que contém as equa¸cões/opera¸cões e uma folha para resolu¸cão que será recolhida e utilizada como atividade avaliativa.

O bingo consiste em duas cartelas onde uma delas tem somente equa¸cões e na outras apenas opera¸cões com polinômios, ao cantar as equa¸cões os alunos deverão identificar a qual cartela pertence a resposta. Para isso, eles devem resolver as equa¸cões na folha entregue. Quando obtivermos o ganhador, corrigiremos suas cartelas para confirmar suas respostas e entregaremos um brinde ao vencedor (bombom). (35 min)

3. Concluiremos a atividade solicitando aos alunos a diferen¸ca entre as cartelas, que dificul- dades eles encontraram nas resolu¸cões e discutiremos com eles o objetivo da utiliza¸cão do jogo como base para que os alunos expressem seus conhecimentos prévios sobre equa¸cões e polinômios e assim introduziremos os conteúdos que serão trabalhados no dia. (10 min) 4. Defini¸cão de equa¸cões através das lâminas. (20 min)

5. Aplica¸c˜ao de exerc´ıcios relacionados a equa¸c˜ao. (30 min) 6. Intervalo. (20 min)

7. Corre¸c˜ao dos exerc´ıcios de equa¸c˜ao. (15 min)

8. Defini¸cão de polinômios através das lâminas e exemplos resolvidos no quadro. (25 min) 9. Aplica¸cão de exerc´ıcios relacionados a polinômios. (40 min)

10. Corre¸c˜ao dos exerc´ıcios. (20 min)

Avalia¸cão: A avalia¸cão será realizada no decorrer das atividades, a participa¸cão dos alunos, e as resolu¸cões no quadro, onde poderemos verificar a fixa¸cão dos conteúdos pelos alunos. Os alunos serão avaliados também através da atividade I (resolu¸cão das equa¸cões/opera¸cões do bingo) que será recolhida.

Referˆencias

[1] GIOVANNI JUNIOR, J.R. CASTRUCCI, B. A conquista da matem´atica. 6o ano. Ed. renovada. S˜ao Paulo: FTD, 2009.

[2] GIOVANNI JUNIOR, J.R. CASTRUCCI, B. A conquista da matem´atica. 7o _{ano. Ed.}

renovada. S˜ao Paulo: FTD, 1998.

[3] JAKUBOVIC, J. LELLIS, M. Matem´atica na medida certa. 6oano. 3o Ed. S˜ao Paulo: Scipione, 1995.

[4] PROVAS ENEM. Dispon´ıvel em: http://portal.inep.gov.br/provas-e- gabaritos. Acessado em: 06 abr. 2019.

[5] PROVAS OBMEP. Dispon´ıvel em: http://www.obmep.org.br/provas.htm. Aces- sado em: 06 abr. 2019.

[6] EQUAC¸ ˜OES. Dispon´ıvel em: https://pt.khanacademy.org/math/algebra/one- variable-linear-equations/alg1-intro-equations/a/introduction-to-

Bingo

Bingo dos Polinômios O bingo é constitu´ıdo de 20 opera¸cões que serão sorteadas (pedras cantadas) e as cartelas contêm oito respostas e um coringa, porém, para ganhar eles devem acertar quem é a pessoa/figura que está no coringa. As opera¸cões foram divididas em quatro grupos: adi¸cão, subtra¸cão, multiplica¸cão e a divisão. A Tabela 3 mostra as opera¸cões entre os polinômios com suas respectivas respostas, a Tabela 4 mostra apenas opera¸cões entre polinômios e a Figura 4 é um exemplo das cartelas utilizadas no bingo.

ADIÇ ÃO SUBTRAÇ ÃO

OPERAÇ ÃO RESPOSTA OPERAÇ ÃO RESPOSTA (2x2_{− 9x) + (3x}2_{+ 7x)} _(5x2_{− 2x)} _(5x2_{+ 2) − (3)} _(5x2_{− 1)}

(5x2_{+ 8) + (−2y + 2)} _(3x2_{+ 10)} _{(4x + 3) − (5x}2_{− 1)} _(−5x2_{+ 4x + 4)}

(6y − 4) + (−2y + 2) (4y − 2) (2x2_{+ 2x) − (x}2_{+ x)} _(x2_{+ x)}

(5x2− 7x) + (2x2_{− 1)} _(7x2_{− 7x − 1)} _{(9 + 2x) − (3)} _{(9 + 2x − 3)}

(−4x + 3y) + (6x − 2y − 9) (2x + y − 9) (4x2_{+ 2y) − (3y + 5)} _(4x2_{− y − 5)}

MULTIPLICAÇ ÃO DIVIS ÃO

OPERAÇ ÃO RESPOSTA OPERAÇ ÃO RESPOSTA (2x − 3) · (4) (8x − 12) (x2− 4)/(x − 2) (x + 2) (x + 2) · (x + 2) (x2_{+ 4x + 4)} _(x2_{− 9)/(x − 3)} _{(x + 3)}

(3x2+ 2) · (3y) (9x2y + 6y) (x2− 16)/(x − 4) (x + 4) (2x + 3a) · (3x) (6x2_{+ 9xy)} _(x2_{− 25)/(x − 5)} _{(x + 5)}

(x − 3) · (x + 3) (x2− 9) (x2− 36)/(x − 6) (x + 6) Tab. 3 – Opera¸c˜oes entre polinˆomios + Respostas

(2x2− 9x) + (3x2_{+ 7x)} _(5x2_{+ 2) − (3)} _{(2x − 3) · (4)} _(x2_{− 4)/(x − 2)}

(5x2_{+ 8) + (−2x}2_{+ 2)} _{(4x + 3) − (5x}2_{− 1)} _{(x + 2) · (x + 2)} _(x2_{− 9)/(x − 3)}

(6y − 4) + (−2y + 2) (2x2+ 2x) − (x2+ x) (3x2+ 2) · (3y) (x2− 16)/(x − 4) (5x2_{− 7x) + (2x}2 _{− 1)} _{(9 + 2x) − (3)} _{(2x + 3y) · (3x)} _(x2_{− 25)/(x − 5)}

(−4x + 3y) + (6x − 2y − 9y) (4x2+ 2y) − (3y + 5) (x − 3) · (x + 3) (x2− 36)/(x − 6) Tab. 4 – Tabela de opera¸c˜oes entre Polinˆomios

BINGO

(5x

− 2x)

(x + 2)

(3x

+ 10)

(5x

− 1)

(x

+ x)

(8x − 12)

(x + 4)

(9x

y + 6y)

Fig. 4 – Modelo I de cartela do Bingo

ADIÇ ÃO SUBTRAÇ ÃO

EQ/INEQUAÇ ÃO RESPOSTA EQ/INEQUAÇ ÃO RESPOSTA 2A − 4 = 0 A = 2 3x − 9 = 0 x = 3 x + 2 = 7 (x = 5 y − 5 = 1 y = 6 2y + 3y = 10 y = 2 5y − 2y = 6 y = 2 2x + 3 < 5 x < 1) 4y − 3 < 1 y < 1 2x + 6 > 2 x > −2 2x − 9 > 3 x > 6 MULTIPLICAÇ ÃO DIVIS ÃO

EQ/INEQUAÇ ÃO RESPOSTA EQ/INEQUAÇ ÃO RESPOSTA (3x) · (4x + 1) 12x2 _{+ 3x} _{(2x + 4)/2 = 1} _{x = −1}

(2y + 1) · (3y) 6y2_{+ 3y} _{(6x − 4)/2 = −8} _{x = −2}

(x + 2) · (x − 2) x2_{− 4} _{(5x + 3)/2 < (2x − 1)} _{x < −5}

(3x − 3) · (3) < 18 x < 3 (6x + 6)/3 < 14 x < 6 (3x + 6) · (2) > 0 x > −2 (−x + 6)/2 = 2 x = 2

Tab. 5 – Equa¸cões/inequa¸cões com solu¸cões Bingo das Equa¸cões Tabela de equa¸cões/inequa¸cões

2A − 4 = 0 3x − 9 = 0 (3x) · (4x + 1) (2x + 4)/2 = 1 x + 2 = 7 y − 5 = 1 (2y + 1) · (3y) (6x − 4)/2 = −8 2y + 3y = 10 5y − 2y = 6 (x + 2) · (x − 2) (5x + 3)/2 < 2x − 1

2x + 3 < 5 4y − 3 < 1 (3x − 3) · (3) < 18 (6x + 6)/3 < 14 2x + 6 > 2 2x − 9 > 3 (3x + 6) · (2) > 0 (−x + 6)/2 = 2

Tab. 6 – Tabela de equa¸c˜oes/inequa¸c˜oes Modelo de cartela usada no Bingo

BINGO

x = 2

x = −1

y = 2

x = 3

x < 1

12x

+ 3x

x < −5

x

− 4

Apostila de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes

EQUAC¸ ˜OES

Equa¸cão: Toda senten¸ca matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa senten¸ca, é denominada equa¸cão. Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.

Membros e termos de uma equa¸cão: uma equa¸cão, assim como uma igualdade possui dois membros: o que está colocada a esquerda do sinal de igualdade é o primeiro membro e o que está à direita do sinal de igualdade é o segundo membro da equa¸cão. Cada parcela de uma equa¸cão denomina-se termo dessa equa¸cão.

2x − 8

|

{z

}

1 membro

= 3x − 10

|

{z

}

2 membro

2x

|{z}

−8

|{z}

= 3x

|{z}

−10

|{z}

|

{z

}

termos da equa¸c˜ao

Raiz de uma equa¸cão: é o valor da incógnita que a transforma numa senten¸ca matemática fechada e verdadeira. Resolver uma equa¸cão é encontrar uma raiz.

Exemplo: 5x = 10 + 5 → 5x = 15 → x = 15/5 → x = 3, logo 3 é a raiz da equa¸cão. Principio da igualdade: uma equa¸cão não se altera quando adicionamos, subtra´ımos, multiplicamos ou dividimos um mesmo numero a cada um de seus membros. Podemos passar (transpor) um termo de um membro para o outro desde que troquemos seu sinal ou sua opera¸cão (opera¸cão inversa).

Exemplo: 5x + 3 = 38

Pelo principio aditivo das igualdades podemos adicionar −3 a cada um dos membros da equa¸c˜ao:

• 5x + 3 = 38 → 5x + 3 − 3 = 38 − 3 → 5x = 35

Pelo principio multiplicativo das igualdades podemos dividir por 5: • 5x + 3 = 38 → 5x : 5 = 35 : 5 → x = 5

Equa¸c˜ao de 2o _{grau: Equa¸c˜}_{ao do 2}o _{grau na inc´}_{ognita x ´}_{e toda igualdade do tipo:}

ax2 _{+ bx + c = 0 onde a, b, c s˜}_{ao n´}_{umeros reais e a ´}_{e n˜}_{ao nulo (a 6= 0). A equa¸c˜}_{ao ´}_e

chamada de 2o grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2.

Incompleta: quando a equa¸c˜ao de 2o grau for incompleta temos trˆes casos: • Com b = c = 0, tem-se ax2 _{= 0.} Exemplo: 3x2 _{= 0 logo x = 0 e S = 0;} • Com c = 0 e b 6= 0, tem-se ax2_{+ bx = 0.} Exemplo: 3x2 _{− 12 = 0 → x(3x − 12) = 0 → x = 0 ou x = 3x − 12 = 0 → x = 4,} logo S = {0, 4}; • Com b = 0 e c 6= 0, tem-se ax2_{+ c = 0.} Exemplo: x2_{− 4 = 0 → x}2 _{= 4 → x = ±}√_{4, logo S = {−2, 2}.}

Completa: A resolu¸cão é obtida através da formula de Bhaskara.

F´ormula de Bhaskara x =

−b ±

√

b2

_{− 4ac}

2a

Em que b2_{− 4ac ´e dito ser o valor delta (ou ∆).}

b2

− 4ac = ∆

Natureza das ra´ızes da equa¸c˜ao em fun¸c˜ao do sinal de ∆: • ∆ > 0 duas ra´ızes reais e distintas;

• ∆ < 0 duas ra´ızes complexas; • ∆ = 0 duas ra´ızes reais e iguais.

INEQUAC¸ ˜OES

Inequa¸cão: é toda equa¸cão do 1 grau que é expressa por uma desigualdade entre expressões algébricas que envolvem opera¸cões com números:

• a > b (a é maior do que b) Exemplo: 7 > 5 (7 é maior que 5) • a < b (a é menor que b) Exemplo: 3 < 6 (3 é menor que 6)

• a 6 b (a é menor ou igual que b) Exemplo: x 6 1 (x é menor ou igual que 1) • a > b (a é maior ou igual que b)

Exemplo: y > 4 (y ´e maior ou igual a 4)

Inequa¸c˜ao de 1o _{grau: ´}_{e uma desigualdade condicionada em qual a inc´}_{ognita ´}_{e de 1}o _grau.

Exemplos: 2x > 4; x > 4/2; x > 2

Inequa¸c˜ao de 2o _{grau: s˜}_{ao resolvidas utilizando o teorema de Bhaskara. O resultado deve}

ser comparado ao sinal da inequa¸c˜ao, com o objetivo de formular o conjunto solu¸c˜ao. Exemplo: 3x2_{+ 10x + 7 < 0; S = {x ∈ R; −7/3 < x < −1}} ∆ = b2− 4ac = 100 − 4 · 3 · 7 = 100 − 84 = 16 ⇒ x = −10 ± √ 16 6 ⇒ x = −10 ± 4 6 ⇒ x = −6/6 = −1 ou x = −14/6 = −7/3 x −7/3 −1

Apostila de Polinˆomios

POLIN ˆOMIOS

Monômios: Denominamos monômio quaisquer expressões algébricas representadas por um número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas. Polinômios: Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de opera¸cões entre eles.

Classifica¸c˜ao de polinˆomios

• Monˆomios: apresentam apenas um termo. Exemplo: 2y

• Binˆomios: apresentam dois termos. Exemplo: x3_{+ x}

• Trinˆomios: apresentam trˆes termos. Exemplo: x2− 6x + 9

Grau de um Polinômio: O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.

Exemplo: O polinˆomio −5x4_{+ 14x}7_{− 7x}5 _´_{e do grau 7, pois o seu termo de maior grau}

é o segundo, que tem grau 7. Opera¸cões com Polinômios

Adi¸c˜ao

(−2x

+ 5x − 2) + (−3x

+ 2x − 1) =

−2x

_{+ 5x − 2 − 3x}

_{+ 2x − 1 =}

−2x

_{+ 7x − 3x}

_{− 3 =}

−3x

_{− 2x}

_{+ 7x − 3}

Subtra¸c˜ao

(5x − 2x

− 2) − (−3x

_{+ 2x − 1) =}

5x − 2x

− 2 + 3x

_{− 2x + 1 =}

−2x

_{+ 3x + 3x}

_{− 1 =}

3x

− 2x

_{+ 3x − 1}

• Adi¸cão e Subtra¸cão: A soma ou subtra¸cão de dois polinômios é feita, adicionando os termos semelhantes de mesmo grau dos polinômios.

• Multiplica¸cão: No produto de dois polinômios, aplica-se a propriedade distributiva da multiplica¸cão em rela¸cão a adi¸cão ou subtra¸cão.

Divisão polinômio por monômio: Na divisão de um polinômio por um monômio, não nulo, devem-se dividir cada termo do polinômio por esse monômio.

Exemplo: 12x3 + 4x2− 8x 4x = 12x3 4x + 4x2 4x − 8x 4x = 3x2_{+ x − 2}

ou utilizando o m´etodo da chave.

Divisão polinômio por polinômio: A divisão pode ser feita por meio de al- goritmo simples que simula a divisão de números inteiros. Exemplos:

x3 + 4x2+ x − 6 x + 2 −x3 _{− 2x}2 _x2 + 2x − 3 | {z } quociente Q(x) 2x2_{+ x − 6} −2x2_{− 4x} −3x − 6 +3x + 6 0 −→ resto R(x)

• Dispositivo pr´atico de Briot-Ruffini ´

E uma ferramenta utilizada para calcular o quociente Q(x) e o resto R(x) quando dividimos o polinômio F (x) por G(x). A única restri¸cão quanto à utiliza¸cão do dispositivo ´

e que G(x) deve ser da forma (x − a), ou seja, de grau 1.

Exemplo: A divis˜ao de P (x) = 3x5_{− 2x}4_{+ 3x}2_{+ 1 por (x − 2).}

1o_{- Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo (ordenadamente do}

termo de maior grau para o termo de menor grau, completando com zero os termos que n˜ao aparecem no dispositivo:

3o_{- Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com}

o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste:

4o_{- Multiplicamos a raiz do divisor pelo n´}_{umero colocado abaixo do 2}o _{coeficiente e}

somamos o produto com o 3o _{coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e}

assim sucessivamente:

5o- Fazemos um tra¸co entre o último e o penúltimo números obtidos. O último número ´

e igual ao resto da divisão e os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente:

Universidade Estadual do Oeste do Paran´a - UNIOESTE

Campus Cascavel

Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - CCET

Colegiado de Matem´atica

Promat 2019

4o

Encontro - Polinˆomios e Equa¸c˜oes

Lista de Exerc´ıcios de Equa¸c˜oes

1. Transforme os problemas em equa¸c˜oes e os resolva.

a) Qual ´e o n´umero que, quando somado a 3/4, resulta em 1/2? b) Por quanto devemos multiplicar 2/3 para obter 5/4?

c) Dividindo um número por 2 e somando o resultado a 5, obtemos 8. Que número é esse?

2. Simplifique as express˜oes abaixo, reduzindo os termos semelhantes: a) (3x + 2) + (5x − 4) =

b) (2y − 3) − (4y − 5) =

c) (−5z + 2x − 6) + 3(z + 4x + 2) = d) −2(a − 2b − 3ab) − 4(b + 2a − 2ab) = 3. Resolva as equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes abaixo:

a) x + 12 = 2x − 5 b) 3y + 4 = −9y + 14 c) 2(x − 3) = 4(2x + 1) d) −3x + 2 = −7 e) x + 1 > −1 f) 2(3x + 1) < 4(5 − 2x) g) 1 < 2x < 3 h) −6 6 −2(x − 1) 6 0

4. Mariana, Luciana e Fabiana gastaram, juntas, R$53, 00 em uma lanchonete. Mariana, a mais faminta, comeu uma sobremesa, gastando R$5, 00 a mais que Luciana. Por sua vez, Fabiana, de regime, pagou apenas 2/3 do valor gasto por Luciana. Quanto cada uma das amigas desembolsou na lanchonete?

5. (ENEM 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão

em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminu´ıa em 1, 2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminu´ıa 1, 5 m. Querendo atingir a meta de 17, 4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcan¸cada no primeiro salto teria de estar entre quais intervalos?

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Encontro - Polinˆomios e Equa¸c˜oes

Lista de Exerc´ıcios de Polinˆomios

1. Efetue as opera¸c˜oes:

a) (2x2− 9x + 2) + (3x2_{+ 7x − 1) =} b) (5x2_{+ 5x − 8) + (−2x}2_{+ 3x − 2) =} c) (5x2_{− 4x + 7) − (3x}2 _{+ 7x − 1) =} d) (6x2− 6x + 9) − (3x2 _{+ 8x − 2) =} e) (12x2− 8x) : (2x) = f) (3y3_{+ 6y}2_{) : (3y) =} g) (4x − y)(2y + x) = h) (x + 1)2 + (x − 1)2 + 2(x + 1)(x − 1) = 2. Dividindo-se o polinˆomio x4_{+ 2x}3_{− 2x}2_{− 4x − 21 por (x + 3), obtˆem-se:}

a) x3_{− 2x}2_{+ x − 12 com resto nulo;}

b) x3_{− 2x}2_{+ 3 com resto 16;}

c) x3_{− x}2_{− 13x + 35 e resto 84;}

d) x3− x2_{− 3x + 1 com resto 2;}

e) x3_{− x}2_{+ x − 7 e resto nulo.}

3. O lucro de determinado produto vendido por uma empresa é dado pela expressão algébrica x2_{+ 10x + 4000. Caso sejam vendidas 200 unidades do produto qual dever´}_{a ser o lucro?}

4. (ENEM 2010). Uma escola recebeu do governo uma verba de R$1000, 00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$0, 65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$0, 65, um de R$0, 60 e um de R$0, 20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo poss´ıvel de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$0, 65 foram comprados?

5. Um grupo de 50 pessoas fez um or¸camento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$510, 00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem n˜ao havia ainda contribu´ıdo pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$7, 00. De acordo com essas informa¸c˜oes, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

No documento Relatório da disciplina: Metodologia e Prática do Ensino de Matemática: Estágio Supervisionado I (páginas 46-62)