6.3.1 Plano de Aula
6o Encontro - 25 de maio de 2019
P´ublico-Alvo: Alunos do 3o ano do Ensino M´edio da Rede P´ublica de Ensino - NRE CAS-
CAVEL, inscritos no projeto.
Tempo de execu¸c˜ao: Um encontro com dura¸c˜ao de 4 horas.
Objetivo Geral: Levar o aluno a conceituar, analisar e representar uma fun¸c˜ao de primeiro grau.
Objetivos Espec´ıficos: Ao se trabalhar com equa¸c˜oes e polinˆomios, objetiva-se que o aluno seja capaz de:
• Estudar o conceito de vari´avel, fun¸c˜ao e gr´afico de uma fun¸c˜ao;
• Analisar pontos de inflex˜ao e zeros de fun¸c˜oes reais apresentadas em gr´aficos; • Reconhecer o gr´afico de uma fun¸c˜ao a partir da sua lei de forma¸c˜ao.
Conte´udo: Fun¸c˜ao de primeiro grau.
Recursos Did´aticos: Giz, quadro, multim´ıdia e material impresso. Encaminhamento metodol´ogico:
1. Iniciaremos a aula com uma atividade avaliativa que ser´a recolhida. O objetivo ser´a fazer com que os alunos revisem o conte´udo de fun¸c˜ao trabalhado na aula anterior. O exerc´ıcio aborda lei de forma¸c˜ao da fun¸c˜ao, o dom´ınio, contradom´ınio e a imagem. A partir da resolu¸c˜ao do exerc´ıcio introduziremos o conceito de fun¸c˜ao polinomial de primeiro grau. (30 min)
2. Recolheremos as atividades e definiremos o conceito de fun¸c˜ao polinomial de primeiro grau atrav´es das lˆaminas. (40 min)
3. Aplica¸c˜ao da lista com exerc´ıcios do Enem e outros vestibulares. (1 h) 4. Intervalo. (20 min)
5. Corre¸c˜ao dos exerc´ıcios. (30min)
6. Aplica¸c˜ao do jogo “trilha das fun¸c˜oes”. Essa ser´a uma atividade avaliativa para testar os conhecimentos adquiridos durante a aula. (1 h)
Avalia¸c˜ao: A avalia¸c˜ao ser´a feita com base na atividade avaliativa, nas resolu¸c˜oes das listas de exerc´ıcios e na participa¸c˜ao nos jogos.
Referˆencias
[1] GIOVANNI JUNIOR, J.R. CASTRUCCI, B. A conquista da matem´atica. 7o ano. Ed. renovada. S˜ao Paulo: FTD, 1998.
[2] IEZZI, G. Matem´atica e Aplica¸c˜oes. Vol. 1, S˜ao Paulo: Editora Saraiva,2010. [3] IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN D.; P´ERIGO R.; ALMEIDA N. de. Ma-
tem´atica: Ciˆencia e Aplica¸c˜oes. Atual Editora, 2005.
[4] DANTE, L. R. Matem´atica. Volume ´Unico. S˜ao Paulo: ´Atica, 2009. PAIVA, M. Ma- tem´atica. Volume ´Unico. S˜ao Paulo: Moderna, 2008.
[5] PROVAS ENEM. Dispon´ıvel em: http://portal.inep.gov.br/provas-e- gabaritos. Acessado em: 20 maio. 2019.
[6] PROVAS OBMEP. Dispon´ıvel em: http://www.obmep.org.br/provas.htm. Aces- sado em: 06 20 maio. 2019.
[7] DRAGON BALL MATEM ´ATICA. Dispon´ıvel em: https://www.soy502. com/articulo/dragon-ball-inspiracion-aprender-matematicas. Acessado em: 20 maio.2019.
[8] APOSTILA DE PRIMEIRO GRAU. Dispon´ıvel em: https://www.ime.usp.br/ ~adao/SC5.pdf. Acessado em: 22 maio. 2019.
[9] APOSTILA FUNC¸ ˜AO DE PRIMEIRO GRAU. Dispon´ıvel em: http:// bd.centro.iff.edu.br/bitstream/123456789/1298/2/Apostila%201.pdf. Acessado em: 22 maio. 2019.
Universidade Estadual do Oeste do Paran´a - UNIOESTE
Campus Cascavel
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - CCET
Colegiado de Matem´atica
Promat 2019
6o
Encontro - Fun¸c˜oes do Primeiro Grau
Atividade I
Aluno:
1. Numa certa cidade operam quatro empresas de t´axis:
• Empresa C cobra pela bandeirada inicial R$ 6, 00 e mais R$ 3, 00 por quilˆometro rodado;
• Empresa D cobra apenas por quilˆometro rodado R$ 4, 00. a) Determine as fun¸c˜oes aplicadas em cada empresa;
C(x) = D(x) =
b) Dado o dom´ınio para as fun¸c˜oes A = {0, 1, 2, 3, 4}, determine a imagem das fun¸c˜oes: c) Esboce as fun¸c˜oes em forma de diagramas e gr´aficos.
Apostila de Fun¸c˜oes do Primeiro Grau
DEFINIC¸ ˜AO Uma fun¸c˜ao f : R −→ R ´e dita fun¸c˜ao do primeiro grau, quando existem dois n´umeros reais a e b, tal que f (x) = ax + b para todo x ∈ R, com a 6= 0.
FORMA GERAL f (x) = ax + b ou y = ax + b. Os n´umeros reais a e b s˜ao os parˆametros da fun¸c˜ao de primeiro grau, onde a ´e o coeficiente angular (taxa de varia¸c˜ao de y em fun¸c˜ao de x) e b ´e o coeficiente linear ou termo independente.
EXEMPLOS: • f (x) = 2x + 1 −→ (a = 2, b = 1) • g(x) = −x +2 3 −→ (a = −1, b = 2 3) • h(x) = 4 7x −→ (a = 4 7, b = 0) x y (x = −ab, y = 0) (x = 0, y = b)
REPRESENTAC¸ ˜AO GR ´AFICA Na fun¸c˜ao de primeiro grau, a representa¸c˜ao gr´afica ser´a sempre uma reta n˜ao vertical.
Pela defini¸c˜ao dois pontos distintos determinam uma reta; ♣ Para y = 0, temos que x = −b
a y = ax + b ax + b = 0 ax = −b x = −b a ♣ Para x = 0, temos y = b y = ax + b y = 0x + b y = b x y −b a, 0 (0, b) f (x) = ax + b
O valor de a indica se a fun¸c˜ao ´e crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersec¸c˜ao da fun¸c˜ao com o eixo y no plano cartesiano.
Fun¸c˜ao crescente: `a medida que os va- lores de x aumentam, os valores correspon- dentes em y tamb´em aumentam;
Fun¸c˜ao decrescente: `a medida que os valores de x aumentam, os valores correspon- dentes de y diminuem.
x y a > 0 x y a < 0
ZERO OU RAIZ DA FUNC¸ ˜AO: E o valor´ de x que torna y igual a zero.
Exemplo: f (x) = 2x − 3 Se 2x − 3 = 0 → x = 3/2 x f (x) 3/2 → Ra´ız da Fun¸c˜ao −3
Universidade Estadual do Oeste do Paran´a - UNIOESTE
Campus Cascavel
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - CCET
Colegiado de Matem´atica
Promat 2019
6o
Encontro - Fun¸c˜oes do Primeiro Grau
Lista de Exerc´ıcios
“As pessoas fortes n˜ao derrubam as outras, elas ajudam-nas a se erguerem.” (Goku, Dragon Ball)
1. Considere a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f (x) = 5x − 3. a) Verifique se a fun¸c˜ao ´e crescente ou decrescente.
b) O zero da fun¸c˜ao.
c) O ponto onde a fun¸c˜ao intersecta o eixo y. d) O gr´afico da fun¸c˜ao.
2. Na produ¸c˜ao de pe¸cas, uma ind´ustria tem um custo fixo de R$ 8, 00 mais um custo vari´avel de R$ 0, 50 por unidade produzida. Sendo x o n´umero de unidades produzidas:
a) Escreva a lei da fun¸c˜ao que fornece o custo total de x pe¸cas. b) Calcule o pre¸co de 100 pe¸cas.
3. (UEPA 2002) Um pequeno comerciante investiu R$ 300, 00 na produ¸c˜ao de bandeiras do seu time favorito, para venda em um est´adio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao pre¸co de R$ 8, 00 cada uma. Ent˜ao o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras ´e dado por: a) L(x) = 300 − 8x b) L(x) = 8x c) L(x) = 8x + 300 d) L(x) = −8x − 300 e) L(x) = 8x − 300
4. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a ´unica representa¸c˜ao gr´afica correta para a fun¸c˜ao f (x) = ax + b ´e:
Justifique sua resposta.
5. Um sistema de deprecia¸c˜ao linear, estabelecendo que ap´os 10 anos o valor monet´ario de um bem ser´a zero, ´e usado nas declara¸c˜oes de imposto de renda de alguns pa´ıses. O gr´afico ilustra essa situa¸c˜ao. Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1200 e 900 d´olares, respectivamente. Considerando as informa¸c˜oes dadas, ap´os 8 anos, qual ser´a a diferen¸ca entre os valores monet´arios, em d´olar, desses bens?
6. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por at´e oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos trˆes primeiros dias, a di´aria custaria R$ 150, 00, pre¸co da di´aria fora da promo¸c˜ao. Nos trˆes dias seguintes, seria aplicada uma redu¸c˜ao no valor da di´aria, cuja taxa m´edia de varia¸c˜ao, a cada dia, seria de R$ 20, 00. Nos dois dias restantes, seria mantido o pre¸co do sexto dia. Nessas condi¸c˜oes, um modelo para a promo¸c˜ao idealizada ´e apresentado no gr´afico a seguir, no qual o valor da di´aria ´e fun¸c˜ao do tempo medido em n´umero de dias. De acordo com os dados e com o modelo, comparando o pre¸co que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promo¸c˜ao, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias far´a uma economia de
7. (ENEM 2017) Em um mˆes, uma loja de eletrˆonicos come¸ca a obter lucro j´a na primeira semana. O gr´afico representa o lucro (L) dessa loja desde o in´ıcio do mˆes at´e o dia 20. Mas esse comportamento se estende at´e o ´ultimo dia, o dia 30. A representa¸c˜ao alg´ebrica do lucro (L) em fun¸c˜ao do tempo (t) ´e:
8. O saldo de contrata¸c˜oes no mercado formal no setor varejista da regi˜ao metropolitana de S˜ao Paulo registrou alta. Comparando as contrata¸c˜oes deste setor no mˆes de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605
trabalhadores com carteira assinada. Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a express˜ao alg´ebrica que relaciona essas quantidades nesses meses ´e:
a) y = 4 300x b) y = 884 905x
c) y = 872 005 + 4 300x d) y = 876 305 + 4 300x e) y = 880 605 + 4 300x
9. (Exerc´ıcio extra) Goku se prepara para lan¸car um “kamehameha” em Cell. Goku est´a no ponto (−2, −5) e Cell est´a voando no ponto (5, 4).
a) Trace o gr´afico da linha que o “kamehameha” de Goku at´e alcan¸car Cell. b) Determine a lei de forma¸c˜ao desta fun¸c˜ao.
6.3.2 Relat´orio
6o Encontro - 25 de maio de 2019
Iniciamos a aula com uma atividade individual que tinha como objetivo avaliar o conhe- cimento pr´evio dos alunos sobre fun¸c˜ao do primeiro grau. Tivemos que trocar de sala devido ao projetor apresentar uma falha na imagem.
A mudan¸ca de sala foi tranquila, os alunos foram compreensivos e cooperativos. Inici- almente t´ınhamos disposto 30 minutos para a resolu¸c˜ao da atividade I e sem aux´ılio dos professores. Por´em verificamos que eles estavam com muitas dificuldades nas resolu¸c˜oes, ent˜ao aumentamos o hor´ario e auxiliamos eles relembrando o conte´udo, mas sem interferir nas respostas.
Muitos deles informaram que n˜ao lembravam da fun¸c˜ao de primeiro grau, somente da fun¸c˜ao de segundo grau, outros que n˜ao estudaram este conte´udo no col´egio. Por n˜ao ser uma prova, alguns copiaram dos colegas e, ap´os recolhermos as atividades, verificamos que v´arios alunos n˜ao conseguiram concluir toda a atividade. Iniciamos as defini¸c˜oes com as lˆaminas e ao longo das explica¸c˜oes eles foram recordando a mat´eria, passamos o conceito formal de fun¸c˜ao de primeiro grau e ap´os discutimos detalhadamente os significados das defini¸c˜oes. Nas demais lˆaminas explicamos de maneira menos formal com exemplos e gr´aficos. Diferentemente de outras aulas, os alunos estavam menos participativos.
Ap´os as explica¸c˜oes entregamos a lista de exerc´ıcios e auxiliamos os alunos. Liberamos eles para o intervalo e no retorno continuamos auxiliando-os. Diferentemente da primeira atividade eles ainda tinham dificuldades, por´em entendiam o que o exerc´ıcio solicitava e o conte´udo. T´ınhamos planejado aplicar um jogo nos ´ultimos 40 minutos de aula para avaliar o aprendizado dos alunos durante a aula, por´em preferimos priorizar a resolu¸c˜ao da lista, dando mais tempo para que eles pudessem pensar e resolver os exerc´ıcios. Ap´os corrigimos os exerc´ıcios no quadro.
Durante a aula de hoje pudemos notar que a altera¸c˜ao do jogo pelos exerc´ıcios foi muito v´alida, pois conseguimos avaliar o desempenho e a aprendizagem dos alunos.
Alguns alunos est˜ao saindo muito cedo da aula (assinaram a lista de responsabilidade). Isso nos preocupa pois n˜ao podemos impedir e eles deixam de absorver e retirarem as d´uvidas relativas as corre¸c˜oes dos exerc´ıcios.
Conclu´ımos tamb´em que apesar deles j´a terem estudado os conte´udos no col´egio, eles tˆem muita dificuldade. Precisamos conversar e passar os conte´udos posteriores de modo menos formal e mais explicativo para que eles possam compreender com maior facilidade.