Nesta se¸c˜ao ser´a apresentado um algoritmo linear para encontrar o span de uma λ-colora¸c˜ao ´otima para cografos, desenvolvido por Chang e Kuo [15]. ´E poss´ıvel alterar este algoritmo para fornecer uma λ-colora¸c˜ao com este span para grafos desta classe, bastando realizar o mesmo processo utilizado para os grafos P4-tidy,
descrito na parte final da se¸c˜ao 6.7. Para o bom entendimento deste algoritmo s˜ao necess´arias algumas defini¸c˜oes e propriedades sobre grafos e suas λ0-colora¸c˜oes, estas sendo λ-colora¸c˜oes com a restri¸c˜ao adicional de que a atribui¸c˜ao de cores ´e feita injetivamente, ou seja, cada cor s´o ´e utilizada uma vez.
Lema 4.10 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G que ´e o join de dois grafos, λ(G) = λ0(G).
Prova. Ao aplicar uma opera¸c˜ao de join entre dois grafos, obt´em-se um grafo conexo, onde todos os v´ertices est˜ao `a distˆancia 2 dos outros. Ou seja, todos os v´ertices tˆem cores diferentes em qualquer λ-colora¸c˜ao de G. Logo, uma λ-colora¸c˜ao ´
otima deste grafo tamb´em ser´a uma λ0-colora¸c˜ao ´otima, tendo λ(G) = λ0(G).
Nota¸c˜ao 4.3 Denota-se por pv(G) o n´umero m´ınimo de caminhos disjuntos em que os v´ertices de um grafo G podem ser particionados.
Lema 4.11 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G, pv(G) = λ0(Gc)−n+2.
Prova. Seja f uma k-λ0-colora¸c˜ao ´otima de Gc. Para cada par de v´ertices (v, w)
de G, se f (v) = f (w) + 1, ent˜ao vw 6∈ E(Gc) e, portanto, vw ∈ E(G). Ent˜ao, uma sequenciais de cores consecutivas atribu´ıdas a v´ertices em Gc corresponde a
um subgrafo caminho em G contendo esses v´ertices. E, o n´umero m´aximo destes caminhos em G ´e λ0(Gc) + 1 − (n − 1). Isto porque no intervalo {0, . . . , λ0(Gc)},
existem no m´aximo n − 1 interrup¸c˜oes nas sequˆencias de cores em uma λ0-colora¸c˜ao ´
otima de Gc. Ent˜ao, pv(G) ≤ λ0(Gc) − n + 2.
Seja pv(Gc) o n´umero m´ınimo de caminhos que os v´ertices de G possam ser particionados. Particione os v´ertice de Gc em q conjuntos V
1, . . . , Vq, cada conjunto
contendo v´ertices correspondentes a exatamente um dos caminhos em G. Seja ni
Em uma λ0-colora¸c˜ao do grafo G, pode-se atribuir cores sequˆencias a v´ertices do mesmo conjunto seguindo a ordem dos v´ertices do caminho em Gc, j´a que em G n˜ao
existe arestas entre esses v´ertices. Seguindo a mesma estrat´egia da λ-colora¸c˜ao dos grafos q-partidos, vista no Teorema 3.5, λ0(G) ≤ n + pv(Gc) − 2. Ent˜ao, pv(G) ≥
λ0(Gc) − n + 2.
Lema 4.12 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo q-partido G, λ(G) ≤ λ0(G) = n + pv(Gc) − 2 ≤ n + q − 2.
Prova. Por defini¸c˜ao de λ0(G), λ(G) ≤ λ0(G). Particione G em q conjuntos indepen- dentes. No grafo Gc, cada tal conjunto independente ´e um subgrafo completo. Logo os v´ertices em Gc podem ser particionados em q caminhos disjuntos e, pv(Gc) ≤ q.
Este resultado nos d´a um limite superior para o span de grafos q-partidos melhor que o do Teorema 3.5.
Lema 4.13 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G, que ´e a uni˜ao de dois grafos G1 e G2, com |V (G1)| = n1 e |V (G2)| = n2, λ0(G) = λ0(G ∪ H) =
max{λ0(G), λ0(H), n1+ n2− 1}.
Prova. Como no Lema 2.6, λ0(G) ≥ max{λ0(G1), λ0(G2)}, pois G1 e G2 s˜ao subgra-
fos de G. E, λ0(G) ≥ n1+ n2− 1 segue da defini¸c˜ao de λ0-colora¸c˜ao, j´a que as cores
s˜ao atribu´ıdas injetivamente aos v´ertices.
Quando λ0(G1) ≥ n1+ n2− 1, existem pelo menos n2 cores n˜ao consecutivas e
n˜ao utilizadas em {0, . . . , λ0(G1)}. Pode-se atribuir as cores n˜ao consecutivas aos
v´ertices de G2, respeitando as restri¸c˜ao da λ0-colora¸c˜ao. Ou seja, esta λ0-colora¸c˜ao
do grafo G tem span λ0(G1). O caso para λ0(G2) ≥ n1 + n2 − 1 ´e an´alogo ao
anterior. Quando max{λ0(G1), λ0(G2)} ≤ n1+ n2− 1, pela defini¸c˜ao de λ0-colora¸c˜ao,
λ0(G) ≥ n1+ n2− 1. Sem perda de generalidade suponha n1 ≥ n2. Sejam f uma λ0-
colora¸c˜ao ´otima de G1 com span λ0(G1) e f0 uma λ0-colora¸c˜ao com span q, definida
f0 ← f
enquanto q ≤ n1+ n2− 1 fa¸ca
Encontre duas cores consecutivas c1 e c2 em f0
para cada v ∈ V (G) fa¸ca se f0(v) ≥ c2 ent˜ao
f0(v) ← f0(v) + 1
Ou seja, f0 ´e a λ0-colora¸c˜ao de G1 deslocada at´e obter o span n1 + n2 − 1,
onde existem n2 cores n˜ao consecutivas n˜ao utilizadas, que podem ser atribu´ıdas aos
v´ertices de G2. Logo, λ0(G) ≤ n1+ n2− 1.
Lema 4.14 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G que ´e a uni˜ao de dois grafos G1 e G2, pv(G) = pv(G1) + pv(G2).
Prova. Como V (G1) ∩ V (G2) = ∅ e n˜ao existem arestas entre os subgrafos G1 e
G2 de G, nenhum caminho novo ´e criado em G e todos os caminhos de G1 e G2 se
mant´em.
Lema 4.15 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G que ´e o join de dois grafos G1 e G2, com |V (G1)| = n1 e |V (G2)| = n2, λ0(G) = λ0(G1) + λ0(G2) + 2.
Prova. Pelo Lema 4.11, λ0(G) = pv((G1∧ G2)c) + n1+ n2− 2. Sabe-se que pv((G1∧
G2)c) = pv(Gc1∪ Gc2). Al´em disso, pelo Lema 4.14, pv(Gc1∪ Gc2) = pv(Gc1) + pv(Gc2).
Ent˜ao, λ0(G) = pv(Gc1) + pv(Gc2) + n1 + n2 − 2. E, pelo Lema 4.11, λ0(G) =
λ0(G1) + λ0(G2) + 2.
Lema 4.16 (Chang e Kuo [15] - 1996) Para um grafo G que ´e o join de dois gra- fos G1 e G2, com |V (G1)| = n1 e |V (G2)| = n2, pv(G) = max{pv(G1) − n2, pv(G2) −
n1, 1}.
Prova. Pelo Lema 4.11, pv(G1 ∧ G2) = λ0((G1∧ G2)c) − n1− n2+ 2. Al´em disso,
sabe-se que λ0((G1∧ G2)c) = λ0(Gc1∪ Gc2).
Pelo Lema 4.13, λ0(Gc
1∪ Gc2) − n1− n2+ 2 = max{λ0(Gc1), λ0(Gc2), n1+ n2− 1} −
n1− n2+ 2.
Defini¸c˜ao 4.3 Uma co-´arvore ´e uma ´arvore enraizada cujos v´ertices internos s˜ao rotulados com valores 0 ou 1 e suas folhas s˜ao grafos K1. A sub´arvore enraizada em
um n´o da co-´arvore representa o subgrafo induzido cujos v´ertices s˜ao as folhas da sub´arvore e, recursivamente: se um n´o interno tem valor 0, este corresponde a uni˜ao dos subgrafos que s˜ao seus filhos, e se tem valor 1, corresponde ao join.
Teorema 4.17 (Lerchs [45] - 1971) Todo cografo admite ser representado por uma ´unica co-´arvore.
Teorema 4.18 (Corneil, Perl e Stewart [17] - 1985) Cografos podem ser reco- nhecidos e ter sua co-´arvore obtida em tempo linear.
Teorema 4.19 (Chang e Kuo [15] - 1996) Existe algoritmo linear que encontra o span de uma λ-colora¸c˜ao ´otima de cografos.
Prova. Pelos Teoremas 4.17 e 4.18 sabe-se que todo cografo ´e representado por uma ´unica co-´arvore, e esta pode ser obtida em tempo linear.
Chang e Kuo [15] determinaram o valor do span de uma λ0-colora¸c˜ao ´otima de um grafo G obtido por opera¸c˜ao de uni˜ao ou de join de outros grafos. Estes valores est˜ao descritos nos Lemas 4.13 e 4.15, respectivamente, e s˜ao obtidos com complexidade de tempo constante. Como cada n´o interno de uma co-´arvore representa uma dessas duas opera¸c˜oes, estes lemas nos fornecem trivialmente um algoritmo para encontrar o span de uma λ0-colora¸c˜ao ´otima em cografos.
O n´umero de v´ertices internos em uma co-´arvore ´e linear (se o cografo tem n v´ertices, a sua co-´arvore tem n folhas e, no n´ıvel acima, existem no m´aximo n2 v´ertices, e assim por diante), onde esses v´ertices representam o n´umero de opera¸c˜oes de uni˜ao e join necess´arias para construir o cografo que a co-´arvore representa. Ent˜ao, ´e poss´ıvel obter o valor do span de uma λ0-colora¸c˜ao em tempo linear, e pelo
Lema 4.10, ser´a o mesmo span da λ-colora¸c˜ao.
Na figura 4.2 ´e ilustrado um exemplo da aplica¸c˜ao do m´etodo descrito no Teo- rema 4.19 para encontrar o span de uma λ-colora¸c˜ao ´otima de um cografo. Al´em disso, ´e fornecida a atribui¸c˜ao de cores aos v´ertices em cada caso, como descrito nos Lemas 4.13 e 4.15.
λ'=max{0,0,1}=1 λ'=max{0,0,1}=1 G 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 3 0 3 1 4 0 2 3 1 0 2 3 1 8 5 6 9 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=0 λ'=max{0,0,1}=1 λ'=0+2+1=3 λ'=1+2+1=4 λ'=max{3,0,3}=3 λ'=4+2+3=9
Figura 4.2: Algoritmo de Chang e Kuo para λ-colora¸c˜ao ´otima em cografos