Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o melhor limite superior para o span de uma λ- colora¸c˜ao conhecido at´e o momento. Ele foi obtido por Gon¸calves [26], em 2005. A sua prova ´e feita utilizando a atribui¸c˜ao de cores dada por Kr´al e Skrekovski [44], obtendo uma ordena¸c˜ao especial dos v´ertices na qual sempre existem dois v´ertices no subgrafo gerador que ´e uma ´arvore, de onde ´e obtida a ordena¸c˜ao dos v´ertices, com no m´aximo ∆2+ ∆ − 2 cores proibidas e, consequentemente, λ(G) ≤ ∆2+ ∆ − 2. Lema 3.18 (Gon¸calves [26] - 2005) Todo grafo G com grau ∆ ≥ 3 tem:

(i) um v´ertice com grau menor que ∆ ou; (ii) um ciclo de tamanho 3 ou;

(iii) dois ciclos de tamanho 4 passando pelo mesmo v´ertice v ou;

(iv) um v´ertice v adjacente a trˆes v´ertices u, x e y tal que existe ciclo de tamanho 4 passando pela aresta uv e com G \ {x, y} conexo ou;

(v) um v´ertice u adjacente a dois v´ertices v e w tal que G \ X ´e conexo, onde X = (N1(v) ∪ N1(u)) \ {w}.

A prova deste lema encontra-se no apˆendice A.

Defini¸c˜ao 3.6 Uma ordena¸c˜ao v1, . . . , vn dos v´ertices de uma ´arvore T , enraizada

em um v´ertice r, ´e chamada de folha-raiz se vn = r e para todo x ∈ {1, . . . , n},

o subgrafo de T induzido por {vx, . . . , v1} ´e conexo. Ou seja, se os valores dessa

ordena¸c˜ao forem atribu´ıdos aos v´ertices da T , este tamb´em pode ser visto como uma ´arvore de heap, onde o valor de um r´otulo de um v´ertice ´e sempre menor do que o valor do seu pai.

Teorema 3.19 (Gon¸calves [26] - 2005) Para um grafo G com ∆ ≥ 3, λ(G) ≤

∆2+ ∆ − 2.

Prova. Seja v1, v2, . . . , vn uma ordena¸c˜ao dos v´ertices de G obtida por uma or-

dena¸c˜ao do tipo folha-raiz de uma ´arvore geradora T de G. Para cada v´ertice vi

que esteja dois ou mais n´ıveis abaixo da raiz, tem-se |P ro(vi)| ≤ ∆2+ ∆ − 2 pois

todo tal v´ertice vi ´e adjacente em G2 com pelo menos 2 v´ertices que o sucedem na

o n´umero m´aximo de cores proibidas para este v´ertice ´e reduzido em duas unidades, sendo ∆2+ ∆ − 2. Para os v´ertices vizinhos a raiz r, existem g(r) − 1 v´ertices que na

ordena¸c˜ao s˜ao sucedidos pela raiz r e um dos v´ertices vizinhos de r, sendo adjacentes a ambos em G2. Neste momento apenas dois v´ertices ainda n˜ao tˆem possibilidade

de receber cor no intervalo {0, . . . , ∆2 + ∆ − 2}, que s˜ao os v´ertices vn−1 ∈ N1(r)

e vn = r. A seguir ser´a utilizado o Lema 3.18 para provar que sempre ´e poss´ıvel

escolher uma raiz vn= r e um v´ertice vn−1∈ N1(r) de maneira que ambos recebem

uma cor neste intervalo.

Pelo Lema 3.18, G sempre tem pelo menos uma de 5 configura¸c˜oes: (i) um v´ertice com grau menor que ∆.

Tome como raiz vn = r, v´ertice com grau menor que ∆, ent˜ao, |P ro(vn =

r)| ≤ 2(∆ − 1) + (∆ − 1)(∆ − 1) = ∆2 − 1 ≤ ∆2 + ∆ − 2. Seja v

n−1 um v´ertice

adjacente a r em T . Sabe-se que vn sucede vn−1 e |N2(vn−1)| ≤ ∆2− ∆ − 1, isto ´e,

|P ro(vn−1)| ≤ ∆2 + ∆ − 2.

(ii) um ciclo de tamanho 3.

Tome como raiz vn= r e vn−1 v´ertices desse ciclo de tamanho 3. Como |N2(vn)|

e |N2(vn−1)| s˜ao menores ou iguais a ∆(∆ − 1) − 2, ent˜ao ambos tˆem no m´aximo

∆2+ ∆ − 2 cores proibidas.

(iii) dois ciclos de tamanho 4 passando pelo mesmo v´ertice v.

Tome como raiz vn= r = v e sejam x e y os v´ertices dos dois ciclos que est˜ao `a

distˆancia 2 de vn. Como x e y fazem parte de dois ciclos de tamanho 4, ambos est˜ao

`

a distˆancia 2 de v por 2 caminhos de distˆancia 2, e |N2(vn)| ≤ ∆2− ∆ − 2. Seja

vn−1 um dos v´ertices dos ciclos, ent˜ao este tem |N2(vn−1)| ≤ ∆2− ∆ − 1 e a prova

do teorema procede.

(iv) um v´ertice v adjacente a trˆes v´ertices u, x e y tal que existe ciclo de tamanho 4 passando pela aresta uv e com G \ {x, y} conexo.

Tome como raiz vn = r o v´ertice v. Como existe ciclo de tamanho 4 passando

por uv, existe v´ertice w neste ciclo `a distˆancia 2 de v por dois caminhos e, |N2(u)|

e |N2(v)| s˜ao menores ou iguais a ∆(∆ − 1) − 1.

Seja T uma ´arvore geradora com ordena¸c˜ao do tipo folha-raiz obtida em G\{x, y} adicionado as arestas vnx e vny. Como G \ {x, y} ´e conexo, todos os v´ertices menos

como descrito no Teorema 3.13. Se x e y n˜ao s˜ao adjacentes (sen˜ao existe um ciclo de tamanho 3 e pode-se utilizar o caso (ii)), x recebe a cor 0. Se y receber a cor 1, ent˜ao x e y pro´ıbem trˆes cores {0, 1, 2} em vn = r. E, |P ro(vn = r)| ≤

∆(∆ − 1) − 1 + 2(∆ − 2) + 3 = ∆2+ ∆ − 2. Se y recebe cor maior do que 1, ent˜ao

existe v´ertice y0 ∈ (N1(y) \ vn) adjacente a y e que recebeu a cor 0, j´a que y foi o

primeiro v´ertice que a cor 1 foi oferecida. Os v´ertices x e y0 pro´ıbem as cores {0, 1}, ent˜ao |P ro(vn= r)| ≤ ∆(∆ − 1) − 2 + 2(∆ − 1) + 2 = ∆2+ ∆ − 2

Seja vn−1o v´ertice u. Como vnsucede vn−1na ordena¸c˜ao e |N2(vn−1)| ≤ ∆2+∆−

1, j´a que este faz parte de um ciclo de tamanho 4, ent˜ao |P ro(vn−1)| ≤ ∆2+ ∆ − 2.

(v) um v´ertice u adjacente a dois v´ertices v e w tal que G \ X ´e conexo, onde X = (N1(v) ∪ N1(u)) \ {w}, como ilustrado na figura 3.4.

Figura 3.4: Parti¸c˜oes G \ X e X

Se ∆ ≥ 4, como os v´ertices {v1, . . . , va+b} s˜ao os primeiros na ordena¸c˜ao, eles

s˜ao os primeiros a terem cores oferecidas. Como ilustrado na figura 3.5, se existe aresta entre v´ertices {v0, . . . , va} e {va+1, . . . , va+b} existe um ciclo de tamanho 4 e

um v´ertice desse ciclo adjacente a dois v´ertices que se retirados n˜ao desconectam o grafo, podendo ser tratado pelo caso (iv) e se existe aresta entre os v´ertices em {va+1, . . . , va+b}, existe ciclo de tamanho 3, podendo ser tratado pelo caso (ii). Se

os casos anteriores n˜ao ocorrem ent˜ao va+1 e v1 recebem a cor 0. E, existe v´ertice v0

com v0 ∈ {va+2, . . . , va+b} que recebe cor 1, ou existe v´ertice de cor 0 em N1(v0), para

este n˜ao receber a cor 0, j´a que este ´e um dos primeiros a ter cor 1 oferecida, a ´unica maneira dele n˜ao poder recebe-la ´e ter um v´ertice adjacente com a cor 0. Al´em disso, existem v´ertices v00 e v000 em N1(vn) \ {vn−1}. que recebem a cor 1 e 2, sen˜ao existem

v´ertices adjacente a v00 com a cor 0 e adjacente a v000 com a cor 0 ou 1. No primeiro caso, vn−1 tem um v´ertice da cor 0 adjacente e um `a distˆancia 2, al´em disso existe

tem v´ertices com as cores 0, 1 e 2 entre as suas adjacˆencias, e v´ertices com as cores 0 e 1 `a distˆancia 2, ent˜ao |P ro(vn)| ≤ ∆2+ ∆ − 4. No segundo caso, vn−1 continua

tendo um v´ertice com a cor 0 adjacente e outro `a distˆancia 2 e, o v´ertice vn tem 3

v´ertices com a cor 0 ou 1 `a distˆancia 2, ou seja, |P ro(vn)| ≤ ∆2+ ∆ − 2.

Figura 3.5: Casos do algoritmo de Gon¸calves para ∆ = 4

Se ∆ = 3, o problema ser´a dividido em dois casos. No primeiro existe ciclo de tamanho 4 passando por vn e vn−1, ent˜ao |N2(vn−1)| ≤ ∆2 − ∆ − 1 e, como ele ´e

sucedido por vn na ordena¸c˜ao, tem-se |P ro(vn−1)| ≤ ∆2 + ∆ − 2. O outro v´ertice

adjacente a vnpode receber a cor 1, neste caso dois v´ertices adjacentes a vnpro´ıbem

as cores {0, 1, 2} e |N2(vn)| ≤ ∆2− ∆ − 1, ou seja, |P ro(vn)| ≤ ∆2+ ∆ − 2. Se este

outro v´ertice adjacente a vnn˜ao recebe a cor 1, ent˜ao existe v´ertice em sua adjacˆencia

que recebeu a cor 0, como vn j´a tem um v´ertice adjacente com a cor 0, nenhuma cor

No segundo caso, quando n˜ao existe ciclo de tamanho 4 passando por vn e vn−1.

Como ilustrado na figura 3.6, existem v´ertices adjacente a vn e a vn−1 que recebem

cor 0, j´a que estes est˜ao `a distˆancia 3 e ambos s˜ao os primeiros aonde a cor 0 ´e oferecida. E, o outro v´ertice adjacente a vn pode receber a cor 1, neste caso vn e

vn−1tˆem v´ertices com a cor 0 adjacentes e `a distˆancia 2, reduzindo o n´umero m´aximo

de cores proibidas a ambos em uma unidade, al´em disso vnsucede vn−1na ordena¸c˜ao

e vn tem um v´ertice com a cor 1 adjacente, ou seja, dois v´ertices adjacentes a vn s´o

pro´ıbem as cores {0, 1, 2}, reduzindo o n´umero m´aximo de cores proibidas para vn,

ou seja, para ambos, o n´umero de cores proibidas ´e no m´aximo ∆2+ ∆ − 2.

O caso restante ´e quando o outro v´ertice adjacente a vn recebe cor maior que 0,

para isto existe v´ertice em sua adjacˆencia que recebe a cor 0, o n´umero m´aximo de cores proibidas para vn−1 continua reduzido pelo mesmo motivo do caso anterior, e

o n´umero m´aximo de cores proibidas para vnfica reduzido por este ter um v´ertice de

cor 0 adjacente e dois v´ertices de cor 0 `a distˆancia 2, tendo |P ro(vn)| ≤ ∆2+ ∆ − 2.



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