Esta classe foi estudada por Calamoneri e Petreschi [12], em 2001. Como resul- tado, foi desenvolvido um algoritmo linear que fornece uma λ-colora¸c˜ao ´otima para os grafos nesta classe, onde o span desta λ-colora¸c˜ao ´e ∆ + 2.
Defini¸c˜ao 4.4 O problema do ladrilhamento consiste em cobrir o plano com c´opias de um mesmo pol´ıgono. Associa-se um grafo onde seus v´ertices vˆem dos v´ertices dos pol´ıgonos da cobertura e suas arestas vˆem exatamente das arestas dos pol´ıgonos. Os grafos obtidos desta maneira, com n´umero finito de v´ertices, s˜ao chamados de grafos grade.
Os ´unicos pol´ıgonos regulares com os quais se consegue uma solu¸c˜ao para o problema do ladrilhamento s˜ao o triˆangulo, o quadrado e o hex´agono, estes s˜ao os ´
unicos tipos de grafos grades regulares.
Teorema 4.20 (Calamoneri e Petreschi [12] - 2001) Existe λ-colora¸c˜ao com span ∆ + 2 de grafos grades regulares.
Prova. Esta prova ´e dada fornecendo uma λ-colora¸c˜ao de c´elulas desses grafos regulares, como ilustradas na figura 4.3. Em todos os casos, essas c´elulas mant´em a propriedade de utilizar no m´aximo a cor ∆ + 2. E, ´e aplicado um deslocamento das cores dessas c´elulas para as c´elulas vizinhas. As c´elulas vizinhas s˜ao distribu´ıdas nas dire¸c˜oes: cima (N), diagonal superior direita (NE), diagonal inferior direita (SE), baixo (S), diagonal inferior esquerda (SO), e diagonal superior esquerda (NO). A fun¸c˜ao g fornece λ-colora¸c˜oes de uma c´elula cj, vizinha a ci j´a colorida, da seguinte
forma: g(cj) = g(ci) − 1 mod (∆ + 3), se cj for N g(ci) − 2 mod (∆ + 3), se cj for NE g(ci) − 1 mod (∆ + 3), se cj for SE g(ci) + 1 mod (∆ + 3), se cj for S g(ci) + 2 mod (∆ + 3), se cj for SO g(ci) + 1 mod (∆ + 3), se cj for NO
A prova da corretude deste m´etodo pode ser dada por constru¸c˜ao, verificando que essa atribui¸c˜ao de cores aos v´ertices dos grafos grades regulares gera blocos de cores, como ilustrado nas figuras 4.4, 4.5 e 4.6. A atribui¸c˜ao de cores desses blocos s˜ao λ-colora¸c˜oes e, como o deslocamento desses blocos nas 8 dire¸c˜oes (cima, diagonal superior direita, direita, diagonal inferior direita, baixo, diagonal inferior esquerda, esquerda e diagonal superior esquerda) n˜ao desrespeita nenhuma restri¸c˜ao de λ- colora¸c˜oes entre os v´ertices desses blocos, ent˜ao ao deslocar a atribui¸c˜ao de cores
Figura 4.3: λ-colora¸c˜ao de c´elulas dos grafos grades com ∆ = 3, 4 e 6.
dos blocos aos blocos vizinhos, este m´etodo nos fornece uma λ-colora¸c˜ao para os
grafos grades com span ∆ + 2.
4 0 1 3 4 0 1 3 4 0
3 5 0 2 3 5 0 2 3 5
5 1 2 4 5 1 2 4 5 1
4 0 1 3 4 0 1 3 4 0
0 2 3 5 0 2 3 5 0 2
5 1 2 4 5 1 2 4 5 1
1 3 4 0 1 3 4 0 1 3
0 2 3 5 0 2 3 5 0 2
2 4 5 1 2 4 5 1 2 4
1 3 4 0 1 3 4 0 1 3
3 5 0 2 3 5 0 2 3 5
4 0 1 3 4 0 1 3 4 0
2 4 5 1 2 4 5 1 2 4
3 5 0 2 3 5 0 2 3 5
5 1 2 4 5 1 2 4 5 1
4 0 1 3 4 0 1 3 4 0
3 5 0 2 3 5 0 2 3 5
2 4 5 1 2 4 5 1 2 4
1 3 4 0 1 3 4 0 1 3
Figura 4.4: λ-colora¸c˜ao de um bloco dos grafos grades de hex´agonos
Corol´ario 4.21 (Calamoneri e Petreschi [12] - 2001) Grafos grades regulares tˆem span ∆ + 2.
Prova. Ao cobrir o plano com um dos pol´ıgonos, cada c´elula definida na figura 4.3 ter´a c´elulas vizinhas e, portanto, existem pelo menos trˆes v´ertices `a distˆancia 2 entre
Figura 4.5: λ-colora¸c˜ao de um bloco dos grafos grades de quadrados
si com grau ∆ e, como um deles ter´a cor diferente de 0 e ∆ + 1, pelo Lema 2.15, estes grafos tˆem λ ≥ ∆ + 2. A prova se completa com o resultado do Teorema 4.20.
8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 4 6 1 3 7 0 4 6 1 3 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1
Cap´ıtulo 5
Algoritmos exponenciais
Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados algoritmos exponenciais que encontram o span de λ-colora¸c˜oes ´otimas de grafos, ou encontram o n´umero de λ-colora¸c˜oes que exis- tem com um determinado span. Inicialmente, ´e descrito o algoritmo guloso para este problema, e a prova de sua corretude ´e apresentada. Mais adiante, ´e apresentado o algoritmo de Kratochvil et al. [39] para verificar se um grafo tem uma λ-colora¸c˜ao com span fixo, sendo feita uma an´alise de complexidade mais refinada. A seguir, ´e fornecido uma varia¸c˜ao do algoritmo de Zykov [66] para encontrar o n´umero de λ-colora¸c˜oes de um grafo. Ao fim, ´e tratado o algoritmo de Kr´al [43] para encontrar o span de λ-colora¸c˜oes ´otimas e o n´umero de λ-colora¸c˜ao com este span.
5.1
Algoritmo guloso para λ-colora¸c˜ao ´otima
A atribui¸c˜ao de cores em uma λ-colora¸c˜ao de um grafo utilizando uma aborda- gem gulosa ´e amplamente utilizada na literatura, sendo primeiramente descrita por Griggs e Yeh [28].
Como entrada deste algoritmo ´e fornecido um grafo G e uma ordena¸c˜ao O dos v´ertices de G. Cada v´ertice v mant´em um conjunto de cores proibidas P ro(v). E, como sa´ıda, ´e fornecido um inteiro k e uma k-λ-colora¸c˜ao de G. A abordagem gulosa consiste em processar os v´ertices, respeitando a ordena¸c˜ao O, de modo que cada v´ertice v receba a menor cor poss´ıvel no intervalo {0, . . . , k}, ou seja, a menor cor n˜ao pertencente a P ro(v). O algoritmo LCG (λ-colora¸c˜ao guloso) ´e apresentado a seguir:
LCG(G, O)
Entrada: Grafo G = (V, E), ordena¸c˜ao O = (v1, ..., vn) dos v´ertices de G.
Sa´ıda: maior cor utilizada k e uma k-λ-colora¸c˜ao f de G.
k ← 0
para v ← v1, . . . , vn fa¸ca
f (v) ← −1 /*v n˜ao est´a colorido/* para v ← v1, . . . , vn fa¸ca
P ro(v) ← ∅
para cada u ∈ N1(v) fa¸ca
se f (u) 6= −1 ent˜ao
P ro(v) ← P ro(v) ∪ {f (u), f (u) − 1, f (u) + 1} para cada w ∈ N1(u) fa¸ca
se f (w) 6= −1 ent˜ao
P ro(v) ← P ro(v) ∪ {f (w)} f (v) ← min{{0, . . . , 2n − 2} \ P ro(v)} k ← max{f (v), k}
retornar k, f
A corretude do algoritmo vem do fato que nenhum v´ertice v recebe cor com diferen¸ca de pelo menos dois de v´ertices em N1(v), nem cor igual de v´ertices em
N2(v), j´a que essas cores pertencem ao conjunto de cores proibidas de v, P ro(v).
A complexidade deste algoritmo ´e O(n2+ nm). Esta ´e limitada pela necessidade
de verificar, para cada v´ertice, as cores dos v´ertices em N2(v), o que pode ser feito
em O(n + m), utilizando uma busca em largura.
Em geral, dado um grafo G, existe pelo menos uma ordena¸c˜ao de V (G) na qual o algoritmo LCG encontra uma λ-colora¸c˜ao ´otima. Por´em, como o problema da λ-colora¸c˜ao ´e N P-completo, n˜ao ´e esperado que obter esta ordem seja um problema f´acil. A prova do Lema 5.1 espec´ıfica uma tal ordem.
Lema 5.1 Existe uma ordena¸c˜ao dos v´ertices de um grafo para a qual o algoritmo LCG obt´em uma λ-colora¸c˜ao ´otima.
seguinte forma: em uma λ-colora¸c˜ao ´otima do grafo, os v´ertices de mesma cor podem ser ordenados de qualquer maneira entre si, desde que os de cores menores apare¸cam antes na ordena¸c˜ao.
Ao aplicar o algoritmo LCG ao grafo com esta ordem, ele atribuir´a cor 0 a todos os v´ertices que tinham cor 0 na λ-colora¸c˜ao ´otima que gerou a ordem, pois estes v´ertices ter˜ao pelo menos distˆancia 3 entre si (ou n˜ao teriam cor 0 na λ-colora¸c˜ao ´
otima). Quando LCG for atribuir cor aos v´ertices de cor 1, uma situa¸c˜ao an´aloga ocorrer´a: os v´ertices de cor 1 ter˜ao distˆancia pelo menos 3 entre si e ter˜ao distˆancia pelo menos 2 dos de cor 0. Assim, o algoritmo atribuir´a sempre cores menores ou iguais `as cores que os v´ertices de G tˆem na λ-colora¸c˜ao ´otima que gerou a ordena¸c˜ao. Ao final da execu¸c˜ao, o algoritmo LCG encontra uma λ-colora¸c˜ao com span menor
ou igual ao da ´otima e, portanto, tamb´em ser´a ´otima.
Se o algoritmo LCG for aplicado a todas as ordena¸c˜oes poss´ıveis dos v´ertices de G, pelo menos em uma delas ´e obtida uma λ-colora¸c˜ao ´otima. O problema ´e a quantidade de ordena¸c˜oes poss´ıveis dos v´ertices: este problema ´e equivalente `
a gera¸c˜ao de todas as permuta¸c˜oes de n elementos, que ´e O(n!). Isto inviabiliza encontrar uma λ-colora¸c˜ao ´otima de um grafo com muitos v´ertices utilizando este m´etodo. Por´em, muitas vezes uma ordena¸c˜ao com alguma propriedade espec´ıfica pode garantir limites superiores.