Problema da colora¸c˜ ao

Defini¸c˜ao 1.60 Uma colora¸c˜ao de v´ertices, ou simplesmente colora¸c˜ao, de um grafo G = (V, E), ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada v´ertice v ∈ V uma cor em {1, 2, . . . , k},

de forma que se dois v´ertices s˜ao adjacentes no grafo, eles tˆem cores diferentes associadas.

Defini¸c˜ao 1.61 O problema da colora¸c˜ao consiste em, dado um grafo G, determinar uma colora¸c˜ao de G com o menor n´umero poss´ıvel de cores (pode existir mais de uma). Uma tal colora¸c˜ao ´e denominada ´otima.

Nota¸c˜ao 1.28 O n´umero de cores utilizadas numa colora¸c˜ao ´otima ´e denominado n´umero crom´atico de G e denotado por χ(G).

Um exemplo de colora¸c˜ao ´otima do grafo da figura 1.2 ´e dado na figura 1.6.

Figura 1.6: Colora¸c˜ao ´otima do grafo da figura 1.2

Defini¸c˜ao 1.62 Um grafo G ´e perfeito se, para todo subgrafo induzido H de G, χ(H) = ω(H).

O problema da colora¸c˜ao de grafos j´a foi amplamente estudado, e sua vers˜ao decis˜ao consta na lista cl´assica de problemas provados serem N P-completos por Karp [37].

Para classes espec´ıficas de grafos, no entanto, o problema pode ter solu¸c˜ao computacional eficiente. Por exemplo, para os grafos completos Kn, ´e trivial que

χ(Kn) = n, uma vez que cada v´ertice ´e adjacente a todos os outros, e precisa-se

atribuir cores diferentes a todos. Para grafos H em que E(H) = ∅, χ(H) = 1, pois os v´ertices de H n˜ao s˜ao adjacentes dois a dois e podem receber a mesma cor.

O conhecido teorema de Brooks, que pode ser visto em [8], ´e utilizado em diversos momentos nas provas deste texto, e ´e enunciado a seguir.

Teorema 1.1 (Brooks [8] - 1941) Para um grafo G conexo que n˜ao ´e um completo e nem um ciclo ´ımpar, χ(G) ≤ ∆.

Existem outras variantes do problema da colora¸c˜ao, como o da colora¸c˜ao total e o da colora¸c˜ao de arestas, que tamb´em s˜ao amplamente estudados. Por´em, ainda est´a em aberto a prova de um limite superior justo para a maior cor utilizada em uma colora¸c˜ao total de grafos, sendo este valor conjecturado por Behzad [4], enquanto para a colora¸c˜ao de arestas, este valor j´a foi encontrado, por Vizing [63].

Defini¸c˜ao 1.63 Uma colora¸c˜ao total de um grafo G = (V, E) ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada v´ertice v ∈ V e a cada aresta e ∈ E uma cor em {1, 2, . . . , k}, sendo necess´ario haver cores diferentes quando: dois v´ertices s˜ao adjacentes; uma aresta for incidente a um v´ertice; e se arestas tˆem um extremo em comum.

Conjectura 1.2 (Behzad [4] - 1965) Todo grafo tem uma colora¸c˜ao total utili- zando no m´aximo ∆ + 2 cores.

Defini¸c˜ao 1.64 Uma colora¸c˜ao de arestas de um grafo G = (V, E) ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada aresta e ∈ E uma cor em {1, 2, . . . , k} tal que arestas do grafo recebem cores diferentes se tem um extremo em comum.

Teorema 1.3 (Vizing [63] - 1964) Todo grafo tem uma colora¸c˜ao de arestas utilizando no m´aximo ∆ + 1 cores.

Cap´ıtulo 2

Problema da λ-colora¸c˜ao

Neste cap´ıtulo o problema da L(2, 1)-colora¸c˜ao ´e descrito formalmente e s˜ao fornecidos seus conceitos b´asicos e suas variantes. Mais adiante, cont´em resultados do problema restrito a classes simples de grafos, como para grafos completos, ciclos, estrelas e rodas. Al´em disso, ´e apresentada a prova da sua N P-completude, tanto para grafos em geral, quanto para o caso em que o span ´e fixo. Vale ressaltar, como fonte de informa¸c˜ao, o survey de L(h, k)-colora¸c˜ao escrito por Calamoneri [10], com vers˜ao atualizada em sua homepage [9].

2.1

L(2,1)-colora¸c˜oes

O problema da L(2, 1)-colora¸c˜ao foi proposto, em 1992, por Griggs e Yeh [28]. Desde ent˜ao, surgiram diversas variantes do problema, e tanto as L(2, 1)-colora¸c˜oes, como suas variantes, passaram a ser objeto de estudo de diversos pesquisadores. Defini¸c˜ao 2.1 Uma L(2, 1)-colora¸c˜ao, tamb´em chamada de λ-colora¸c˜ao, de um grafo G ´e uma fun¸c˜ao f que associa a cada v´ertice de G um inteiro n˜ao nega- tivo de forma que se dois v´ertices u e v de G s˜ao adjacentes, ent˜ao |f (u) − f (v)| ≥ 2 e se dois v´ertices est˜ao `a distˆancia 2, ent˜ao f (u) 6= f (v).

Defini¸c˜ao 2.2 O span de uma λ-colora¸c˜ao ´e a maior cor utilizada.

Defini¸c˜ao 2.3 Uma λ-colora¸c˜ao ´e ´otima quando possui o menor span poss´ıvel. Nota¸c˜ao 2.1 O span de uma λ-colora¸c˜ao ´otima de um grafo G ´e denotado por λ(G), ou simplesmente por λ quando G for subentendido.

Defini¸c˜ao 2.4 O problema da λ-colora¸c˜ao consiste em, dado um grafo G, encontrar uma λ-colora¸c˜ao ´otima de G e seu span.

Na figura 2.1 ´e ilustrado um exemplo de uma λ-colora¸c˜ao ´otima. ´E interessante notar que, diferente do problema da colora¸c˜ao, no problema da λ-colora¸c˜ao a menor cor utilizada ´e sempre 0.

Figura 2.1: λ-colora¸c˜ao ´otima

Defini¸c˜ao 2.5 Uma k-λ-colora¸c˜ao ´e uma λ-colora¸c˜ao com span k.

Desta forma, a λ-colora¸c˜ao do grafo apresentada na figura 2.1 ´e uma 6-λ- colora¸c˜ao, e ´e ´otima com span 6.

Para este trabalho, a vers˜ao do problema abordada ´e a de minimiza¸c˜ao do span. Por´em, outros crit´erios de otimalidade podem ser considerados. Por exemplo, pode- se decidir se existe ou n˜ao uma λ-colora¸c˜ao de span k que utiliza todas as cores, como tratado por Fishburn e Roberts [22]. H´a tamb´em uma varia¸c˜ao que estuda as λ-colora¸c˜oes balanceadas, ou seja, o objetivo ´e que as cores sejam utilizadas o mesmo n´umero de vezes, problema estudado por Lih [46].

Al´em disso, um conceito relacionado e extremamente interessante ´e o de λ0- colora¸c˜ao, que foi definido por Chang e Kuo [15] e ´e utilizado em diversas provas nesta disserta¸c˜ao, como na prova de que o problema da λ-colora¸c˜ao ´e N P-completo. Defini¸c˜ao 2.6 Uma λ0-colora¸c˜ao de um grafo ´e uma λ-colora¸c˜ao com a seguinte restri¸c˜ao adicional: a fun¸c˜ao f deve ser injetora, ou seja, cada cor s´o pode ser utilizada no m´aximo uma vez.