L(2, 1)-colora¸c˜ oes de grafos bipartidos cordais

A prova de que λ(G) ≤ ∆2_{para grafos bipartidos cordais ´e divida em duas partes.}

Na primeira trata-se grafos com ∆ ≥ 4 (utilizando o Lema 6.2). Na segunda, trata-se casos com ∆ = 3. Para ∆ = 2, pelo Lema 2.16, λ(G) ≤ ∆2_.

Teorema 6.3 (*) Para um grafo G bipartido cordal com ∆ ≥ 4, λ(G) ≤ ∆2_{− 1.}

Prova. Utilizando a ordem reversa do esquema de elimina¸c˜ao de v´ertices n˜ao centros de P5, definida por Spinrad [59] no Teorema 6.1, atribuindo cores aos v´ertices em

uma estrat´egia gulosa, a maior cor utilizada ser´a no m´aximo ∆2_{− 1.}

´

E interessante verificar que os v´ertices do grafo n˜ao s˜ao eliminados, apenas considera-se que os v´ertices que deveriam ter sido eliminados naquele momento n˜ao tˆem sua cor atribu´ıda. Ou seja, sempre se trabalha no grafo original.

Considere o pior caso, onde os v´ertices `a distˆancia 2 de v tˆem suas cores atribu´ıdas, e os v´ertices adjacentes podem ou n˜ao ter suas cores atribu´ıdas. Seja Vn o conjunto dos v´ertices adjacentes a v e sem cores atribu´ıdas, e Vs o conjunto

dos v´ertices adjacentes a v que tˆem suas cores atribu´ıdas, onde v ´e um v´ertice que recebe a maior cor k, utilizando a abordagem da escolha dos v´ertices n˜ao centro de P5.

Seja |Vn| = x, no pior caso, |Vs| = ∆ − x. Pelo Lema 6.2, o n´umero m´aximo de

v´ertices `a distˆancia 2 de v com cores atribu´ıdas que s˜ao adjacentes a v´ertices em Vs

´e ∆ − 1. Isto ocorre porque ao atribuir cor ao v´ertice v, em rela¸c˜ao aos v´ertices que j´a tˆem cores atribu´ıdas, v n˜ao ´e centro de P5. Ent˜ao, utilizando estrat´egia gulosa

dada por Griggs e Yeg [28] no Teorema 3.11, o n´umero m´aximo de cores proibidas ao atribuir cor a v ser´a: 3(∆ − x) cores pelos v´ertices adjacentes que tˆem cores; ∆ − 1 cores pelos v´ertices `a distˆancia 2 que passam por Vs; e x(∆ − 1) cores dos

v´ertices `a distˆancia 2 que passam por Vn; (n˜ao h´a cores proibidas pelos v´ertices de

Vn, j´a que eles n˜ao tˆem suas cores atribu´ıdas).

Figura 6.7: M´etodo para atribuir cor a um v´ertice v de um grafo bipartido cordal Logo, k ≤ 3(∆ − x) + (∆ − 1) + 0(x) + x(∆ − 1) ≤ x∆ + 4∆ − 4x − 1 = 4∆ + x(∆ − 4) − 1, onde 0 ≤ x ≤ ∆. Sabe-se que 4∆ + ∆(∆ − 4) − 1 ≤ ∆2_{− 1.}

Como x ≤ ∆ e ∆ ≥ 4, substitua x por ∆, obtendo 4∆ + x(∆ − 4) − 1 ≤ ∆2_{− 1, ou}

seja, k ≤ ∆2 _{− 1.}

 Nota-se que para o caso de grafos bipartidos cordais com ∆ = 3, o limite acima estabelecido n˜ao fornece uma prova de λ(G) ≤ ∆2_{. ´E necess´ario realizar outra prova}

para este caso, que ´e feita no Teorema 6.4.

Teorema 6.4 (*) Para um grafo G bipartido cordal com ∆ ≥ 3, λ(G) ≤ ∆2. Prova. Esta prova trata apenas grafos conexos. Para grafos desconexos, o span da λ-colora¸c˜ao ´otima pode ser obtido como o m´aximo dos spans das λ-colora¸c˜oes ´

otimas das componentes conexas do grafo.

A partir de uma busca em largura, utilizando v´ertice raiz com grau ∆(G), obte- nha uma ´arvore de largura T do grafo G. Como G ´e bipartido, em G s´o h´a arestas entre v´ertices de n´ıveis consecutivos em T .

Seja v um v´ertice em T e N_ja(v) v´ertices em Nj(v) que tenham n´ıvel menor que

v (estejam mais pr´oximos da raiz) na ´arvore enraizada T e Nb

j(v) v´ertices em Nj(v)

que tenham n´ıvel maior que v.

Se um dos casos ilustrados na figura 6.8 ocorrer em T , existe ciclo induzido com tamanho maior que 4 em G, subgrafo proibido para grafos bipartidos cordais.

Figura 6.8: Subgrafos proibidos

Suponha, por absurdo, que exista v´ertice u ∈ N₁b(v), onde u ´e adjacente a um v´ertice w com um n´ıvel menor (mesmo n´ıvel de v) e w n˜ao seja adjacente a um v´ertice x ∈ N₁a(v). Como ilustrado na figura 6.9, n˜ao existem arestas do tipo wx e vw0 (w0 ∈ Na

1(w)), ou seja, estes v´ertices formam, com v´ertices de n´ıvel superiores

em T , um subgrafo proibido, uma contradi¸c˜ao. Com isso, nenhum v´ertice de n´ıvel maior que v influencia no n´umero de v´ertices j´a coloridos `a distˆancia 2 de v, j´a que se um v´ertice v0 estiver `a distˆancia 2 de v por um v´ertice em N₁b(v), ele tamb´em est´a por um v´ertice em Na

1(v).

Figura 6.9: Grafo com ciclo induzido de tamanho maior que 4

Suponha, por absurdo, que n˜ao exista v´ertice w, dois n´ıveis acima de v, adjacente a todos os v´ertices em N₁a(v). Ent˜ao, para cada ui ∈ N1a(v), existe pelo menos um

v´ertice u0_i ∈ Na

2(v) (v´ertice que est´a `a distˆancia 2 de v, dois n´ıveis acima de v, na

´

arvore T ) n˜ao adjacente a ui, como ilustrado na figura 6.10. Seja u1 ∈ N1a(v), e

u0₁ ∈ Na

2(v), n˜ao adjacente a u1. Como u01 est´a `a distˆancia 2 de v, existe v´ertice

u2 ∈ N1a(v) em sua adjacˆencia. E, existe v´ertice u 0

n˜ao adjacente a u1, sen˜ao formaria um subgrafo proibido. Este processo se repete

para cada par de v´ertices ui e u0i que ´e adicionado, o v´ertice ui precisa ser adjacente

a todos os u0_j (1 ≤ j < i) para n˜ao formar um subgrafo proibido, e o v´ertice u0_i precisa n˜ao ser adjacente a todos os uj (1 ≤ j ≤ i). S´o que, para o ´ultimo v´ertice

u0_k, este n˜ao ´e adjacente a nenhum v´ertice em N₁a(v), uma contradi¸c˜ao com o fato de u0_k estar `a distˆancia 2 de v.

Figura 6.10: V´ertice adjacente a todos os v´ertices em Na 1(v)

Seja T uma ´arvore de largura de um grafo bipartido cordal G, enraizada em um v´ertice com grau ∆. Se em uma λ-colora¸c˜ao de G ´e utilizada uma abordagem gulosa, com ordena¸c˜ao dos v´ertices respeitando a prioridade dos n´ıveis em T , com uma pequena restri¸c˜ao, obt´em-se λ(G) ≤ ∆2_.

Seja v ∈ T n˜ao folha, ou folha com g(v) ≤ ∆ − 1. Se v n˜ao ´e folha, ent˜ao ele tem pelo menos um filho em T . Seja P ro(v) o conjunto de cores proibidas do v´ertice v. Como ordena-se os v´ertices respeitando os n´ıveis da ´arvore T , P ro(v) s´o recebe cores de v´ertices de mesmo n´ıvel ou de n´ıvel menores a v. Considerando o n´umero m´aximo de cores proibidas para v, existem trˆes cores proibidas para cada v´ertice pertencente a Na

1(v) mais uma cor proibida para cada v´ertice `a distˆancia 2 de v,

tamb´em adjacentes a N₁a(v). Sabe-se que |N₁a(v)| ≤ ∆−1 e existe v´ertice w ∈ N₂a(v) adjacente a todos os v´ertices em Na

1(v). O n´umero m´aximo de v´ertices `a distˆancia 2

Ent˜ao, |P ro(v)| ≤ 3(∆ − 1) + ∆2 − 3∆ + 3 = ∆2_{. Ou seja, em um intervalo de}

{0, . . . , ∆2_{} sempre existe cor para atribuir ao v´ertice v.}

Seja v ∈ T folha com g(v) = ∆ em G, existe v´ertice w dois n´ıveis acima de v adjacente a todos os v´ertices em Na

1(v). Ou seja, w tem ∆ filhos em T e, o

´

unico v´ertice que tem ∆ filhos em uma ´arvore ´e a raiz. Neste caso, realiza-se o seguinte m´etodo para atribuir cores ao grafo. Sejam Vf o conjunto de v´ertices folhas

em T com grau ∆ e r a raiz da ´arvore de largura T . Atribua cores aos v´ertices na seguinte ordem: primeiro `a raiz r, depois aos v´ertices em Vf; em seguida aos

v´ertices em N₁b(r); e, atribuir cores aos outros v´ertices respeitando a prioridade por n´ıvel na ´arvore de largura T . Nos trˆes primeiro passos desse m´etodo, o subgrafo formado por r ∪ Vf∪ N1b(r) ´e um grafo bipartido completo, utilizando, no pior caso,

a cor 2∆. Isto porque, como visto no Teorema 3.5, para grafos bipartido completos Kp,q, λ(Kp,q) = |V (Kp,q)| ≤ 2∆ ≤ ∆2, para ∆ ≥ 2. Ao atribuir cores aos v´ertices

V (G) \ {r ∪ Vf∪ N1b(r)}, estes n˜ao s˜ao folhas com grau ∆ e podem receber uma cor

no intervalo {0, . . . , ∆2}, como provado anteriormente.

Figura 6.11: Caso da ´arvore de largura com folha com grau ∆