e combinando o trabalho das duas secções desse capítulo, poderá conduzir a

uma ponte entre a modelação que aplica a dinâmica não-linear, enquanto ferra-

menta, e a modelação que aplica teoria quântica dos jogos, enquanto ferramenta41_.

Os resultados do capítulo 5. permitem estabelecer essa ponte a partir do forma- lismo categorial, podendo-se utilizar a linguagem LCat para explorar uma abor-

dagem de modelação de síntese que combine a teoria quântica dos jogos e a dinâ- mica não-linear.

41. Uma ligação entre dinâmica não-linear e teoria quântica dos jogos também pode ser estabele- cida a partir do trabalho de Gonçalves e Gonçalves (2007).

A matemática da medição do risco tradicional pressupõe a probabilização (capítulo 2.), assim, por exemplo, o cálculo de medidas de risco como o Value-at- Risk (VaR) ou o Conditional Value-at-Risk (CVaR) dependem dessa probabili-

zação. O uso da avaliação neutra ao risco, ou risk neutral valuation, também

depende da possibilidade de se probabilizar acerca de um espaço amostral compu- tável. Contudo, a natureza do número Ω de Chaitin, enquanto probabilidade de paragem de uma máquina-a, que computa com alfabetos discretos, conduz a pro-

blemas para a probabilização de uma situação de risco.

De facto, o argumento pode ser apreendido, primeiramente, a partir de um exemplo ilustrativo de uma situação de risco, tal que as histórias possíveis podem

levar a um de dois resultados, a saber, ao colapso do sistema ou, em alternativa, à continuidade do sistema no jogo, assumindo-se uma possibilidade adaptativa de expansão indefinida do tempo de permanência do sistema no jogo, e que as histó- rias são tais que existe um isomorfismo categorial entre o espaço das histórias e o

espaço das máquinas-a de alfabeto de fita discreto.

Assumindo, também, que o colapso sistémico é capturado pela paragem da

máquina-a, ou seja, se uma máquina-a pára em n-passos computacionais, o sis-

tema colapsa, então, o trabalho de Turing tem uma implicação directa sobre o

cenário, a saber: o problema do colapso sistémico é indecidível, ou seja, não existe

nenhum procedimento algorítmico capaz de resolver o problema, pois, não existe

nenhuma máquina-a que pare após um número finito de passos, capaz de res-

ponder à questão de se saber, se uma dada máquina-a vai parar, o que significa

que, neste cenário, o sistema adaptativo nunca conseguirá determinar, utilizando uma máquina-a, se se encontra numa história que o conduz ao colapso ou que lhe

permite escapar ao colapso42_.

A indecidibilidade, sinalizada por Turing (1936), conduz, no cenário acima, a um problema de incerteza quanto às histórias sistémicas. Perante esta incerteza, a questão que de imediato se coloca é a de saber se é, ou não, possível o cálculo da probabilidade de sobrevivência sistémica.

A resposta a esta questão é negativa, a probabilidade de sobrevivência é 1 − Ω, sendo Ω a probabilidade de paragem de uma máquina-a, que é incompressível (Chaitin, 2006), assim, a probabilidade de sobrevivência não é computável. A incerteza estende-se, por esta via, às próprias probabilidades.

Uma alternativa para a utilização de um cálculo probabilístico seria a abor- dagem quântica apresentada no capítulo 5., na secção 5.1., mas mesmo essa abordagem teria problemas, pois o jogo pode ser convertido, em termos matemá- ticos, num derivado binário sobre um activo subjacente: as máquinas-a. O cálculo

dos Arrow-Debreu prices dependeria de uma capacidade de avaliação calculatória

das histórias alternativas e do problema da paragem, de tal modo que este cálculo

42. Este jogo matemático pode ser utilizado para abordar a questão do doomsday argument , um argumento teórico desenvolvido no seio da ciência do risco acerca da possibilidade de sobrevivência de uma civilização, apresentado por Gott ([2001], 2007).

dependeria do problema da paragem ser recursivo, isto é, da existência de uma

máquina de Turing capaz de computar de modo algorítmico43_{, para cada} máquina-a, se esta pára ou não. Contudo, conforme Turing demonstrou, o pro-

blema da paragem não é decidível, isto é, trata-se de um problema recursivamente

enumerável, mas não recursivo, o que conduz a problemas na própria definição e cálculo do espaço de probabilidades.

Este cenário tem implicações mais gerais, a saber: sempre que as histórias sis- témicas forem isomorfas em relação às máquinas-a com alfabetos discretos e o

problema adaptativo tiver uma correspondência directa com o problema da paragem, então, as metodologias probabilísticas encontram limites fundamentais,

devido à indecidibilidade do problema da paragem.

Esta reflexão acerca da indecidibilidade das histórias sistémicas pode ser

conectada com uma linha de investigação acerca da relação entre as linguagens formais computacionais e a formalização computacional das histórias possíveis de

uma situação de risco, linha, esta, que pode ser expandida a partir do trabalho

desenvolvido no capítulo 5..

A indecidibilidade conduz a outros limites, nomeadamente, em relação à aná- lise de risco e em relação à modelação de sistemas em situações de risco, no que

respeita à estocasticidade intrínseca, sinalizada pela noção de caos, retomaremos

este ponto na próxima subsecção, à qual, agora, passamos.

6.2.3. Modelação e origens sistémicas do risco

Os resultados do trabalho desenvolvido abrem uma linha de reflexão crítica, no seio da matemática do risco, associada ao problema da modelação dos sistemas em situações de risco, conforme relevado na subsecção anterior.

A modelação dos sistemas em situações de risco é um ramo aplicado da mate-

mática do risco (capítulo 2.), contudo, a partir do trabalho desenvolvido na pre- sente tese, algumas questões podem ser colocadas relativamente à relação entre os modelos e os padrões que estes visam modelar, relativamente aos limites da mode- lação e à natureza do risco nos sistemas, questões que interessam à ciência do risco, enquanto ciência fundamental, pois permitem reflectir acerca da natureza do risco nos sistemas, a partir das origens sistémicas do mesmo.

A questão dos limites e abordagens para a modelação coloca-se a partir do momento em que se considera que estruturas como o número Ω de Chaitin possam ter uma correspondência num sistema dinâmico concreto, correspon- dência, esta, que foi abordada na subsecção 6.2.1. e que foi, explicitamente, tra- balhada na subsecção 3.2.2., a propósito da incompressibilidade mórfica de cadeias mórficas.

Esta linha de reflexão que pode ser traçada a partir do trabalho desenvolvido na presente tese, conecta-se com o trabalho de Moore (1991), conduzindo a uma linha de investigação acerca dos limites da modelação com elevada relevância para a matemática do risco, pois trata-se de considerar as consequências de uma estru- tura de caos mais complexa do que aquela que foi trabalhada no seio da dinâmica não-linear.

Moore (1991) sinalizou, a partir da relação entre máquinas de Turing e os generalized shift maps, estruturas incompressíveis ligadas à indecidibilidade com- putacional algorítmica.

Os padrões sinalizados por Moore não são capturáveis no seio das ferramentas matemáticas tradicionalmente utilizadas para quantificar os sistemas dinâmicos, aproximando-se de um limite de estocasticidade, cuja apreensão estatística é, ela

própria, limitada e condicionada pela indecidibilidade.

Embora estes padrões abstractos sejam sinalizáveis no seio da matemática a questão de terem uma correspondência sistémica concreta ainda se encontra em aberto. Chaitin (2006) reflectiu acerca desta questão, em termos filosóficos, embora tenha assumido duas linhas conjecturais menos extremas, a saber: uma linha que defende a ocorrência de padrões estatistizáveis não apreensíveis por mecanismos formais simples; uma linha que defende a aleatoriedade dos sistemas como sendo sempre apreensível a partir de estruturas matemáticas simples.

A segunda linha conjectural é defendida por Wolfram (Chaitin, 2006; Wol- fram, 2002). Wolfram identificou, a partir da investigação acerca dos padrões espacio-temporais gerados por autómatos celulares, a capacidade de programas simples gerarem padrões sinalizáveis como estocásticos. Assim, Wolfram conjec-

tura que, na natureza, qualquer padrão sinalizável como estocástico poderá ter

origem em estruturas relacionais dinâmicas simples, as quais podem ser apreen- didas a partir do formalismo categorial. O exemplo da subsecção 5.2.2. cons- titui um exemplo da linha conjectural defendida por Wolfram.

A primeira linha conjectural, referida por Chaitin (2006) conduz às aborda- gens probabilísticas e, em particular, à abordagem de modelação quântica. No

anexo A., os resultados reforçam a possibilidade de se generalizar esta abor-

dagem ao nível da modelação de sistemas com a conexão com a teoria financeira, pois pode-se conectar a estrutura de um observável com a noção de replicating portfolio, e assumir uma relação entre aquilo que constitui uma economia sisté- mica e a amplitude de probabilidade, tal que as probabilidades sistémicas efectivas

possam ser apreendidas a partir de uma correspondência com uma formulação generalizada de um problema financeiro.

Contudo, os resultados de Moore, se conectados com o trabalho desenvolvido na presente tese44_{, abrem uma terceira linha conjectural, e conduzem a um}

cenário mais extremo do que a primeira linha conjectural considerada por Chaitin. Os generalized shift maps, trabalhados por Moore, recuperam o problema da inde- cidibilidade e da incompressibilidade conectando-o com a noção de caos.