multifractal nas dinâmicas das rendibilidades de activos
secção 3.2., é introduzida a semântica lógica e a teoria da computação categorial,
3.1. A linguagem L Cat – sintaxe e axiomática
3.1.2. Estruturas mórficas de ordem superior
Gonçalves e Madeira (2009) formalizaram LCat para que seja possível lidar, no
seio do formalismo, com estruturas de ordem superior, introduzindo os parêntesis de três pontos , na sintaxe da linguagem, enquanto marcador de fronteira, isto
é, para sinalizar totalidades sistémicas passíveis de serem trabalhadas enquanto objectos categoriais.
Em termos de sintaxe, a única restrição assumida, acerca de fbfs com o mar- cador de fronteira, é que o mesmo deverá conter ou pontos mórficos ou teias mór- ficas totalmente conectadas (isto é, sem pontos mórficos isolados).
Quando se escreve A , em que A é uma fbf instanciada ou por um ponto
mórfico ou por uma teia mórfica totalmente conectada, a totalidade mórfica A
está a ser abordada, no seio de LCat, enquanto tal, isto é, enquanto sis- tema/objecto. Importa trabalhar este uso do marcador de fronteira.
A partir do momento em que o marcador de fronteira é introduzido, sinali-
zando A, esse mesmo A é sinalizado enquanto totalidade individuada, logo, pos-
suidor de uma identidade que, como qualquer outra identidade, exemplifica um eidos de unidade (Lat: unitas, atis), sistemicamente definida enquanto proprie-
dade exemplificada por quaisquer identidades tais como: entes ou entidades, pro-
cessos, situações (Gonçalves e Madeira, 2009). A unidade é aquilo que, nos sis-
temas, constitui a sua coesão interna, consistência e coerência, necessárias à manutenção das respectivas integridades.
Esta é uma questão sistémica fundamental na teoria das categorias de ordem superior e no cálculo categorial, pelo que é necessária a sua expressão formal. De
facto, a partir do momento em que A é sinalizado enquanto totalidade individuada
e, assim, enquanto identidade, o mesmo A é sinalizado no seu movimento auto-
referente de reconexão (religare) a si mesmo, em si mesmo, enquanto posição de
si, expresso pelo (auto-)morfismo de identidade, assim temos a lei (onto)lógica
(Gonçalves e Madeira, 2009):
A ⊣ ⊢ A ⇄
id A
A (29)
segundo a qual, a totalidade individuada denotada por A é sinalizada, enquanto
tal, pelo marcador de fronteira, e morficamente reconectada (religare) consigo
mesma pelo morfismo de identidade de A.
Uma qualquer teia mórfica totalmente conectada pode ser sinalizada enquanto totalidade mórfica, o que conduz à seguinte lei (onto)lógica:
A⊣ ⊢ A (30)
Considerando esta lei e a anterior o seguinte resultado pode ser deduzido, como veremos mais adiante:
A⊣ ⊢ A ⇄
id A
A (31)
A partir destes resultados, as leis de L1 a L4 (inclusive) podem ser revistas incor-
porando os elementos (onto)lógicos relacionados com o uso dos marcadores de fronteira, assim, introduzindo W , W′ e W′′ para denotar pontos mórficos ou teias mórficas totalmente conectadas, sinalizadas pelos respectivos marcadores de fron- teira, e utilizando a letra A para denotar um ponto mórfico ou uma teia mórfica totalmente conectada sem marcador de fronteira temos:
• L1 (validade formal da identidade):
9W⇄
idW W
• L2 (individuação): A⊣ ⊢ A • L3 (religare): A ⊣ ⊢ A ⇄ id A A
• L4 (adição/remoção de marcador de fronteira):
x ⊣ ⊢ x • L5 (morfismo composto27): W⇄ F W′⇄ F′ W′′ ⊢W ⇄ F′◦F W′′ • L6 (associatividade da composição): W ⇄ F′′◦(F′◦F ) W′′ ⊣ ⊢W ⇄ (F′′◦F′)◦F W′′
A primeira lei constitui uma generalização da lei de validade formal da identidade
a totalidades mórficas. Assim, seguindo L1, quer W seja um ponto mórfico, quer
seja uma teia mórfica totalmente conectada, a identidade é formalmente válida.
A segunda e terceira leis foram trabalhadas acima. A quarta lei é apenas apli-
cável a pontos mórficos, isto é, apenas relativamente a pontos mórficos é que se
pode acrescentar ou retirar marcadores de fronteira, pois relativamente a teias mórficas totalmente conectadas, a conectividade alterar-se-ia sem os marcadores28.
A quinta e sexta leis correspondem à generalização da composição e da associ-
atividade da composição.
As seis leis lógicas acima definem um sistema formal, subjacente aos funda- mentos da base sistémica e matemática da teoria das categorias, denotamos este
sistema por FCat0 .
Como um qualquer sistema formal, FCat0 pode ser utilizado na derivação de leis
lógicas válidas no seio da teoria das categorias. Duas leis relevantes, dedutíveis a
partir de FCat0 , são as seguintes:
• A⊣ ⊢ A ⇄
id A A
27. Admite-se a possibilidade de W , W′ ou W′′ corresponderem à mesma entidade sistémica, o
mesmo sendo o caso para F , F′ou F′′(o último símbolo ocorrendo em L 6). 28. Assim, x⇄ f y ⇄ g z⇄ h x′ é diferente de x⇄ f y⇄ g z⇄ h
x′, no primeiro caso o morfismo com funda- mento g tem a totalidade mórfica x⇄
f
y como origem e a totalidade mórfica z⇄ h
x′ como alvo,
• x ⊣ ⊢x⇄
idx x
De facto, considerando, em primeiro lugar, a lei A ⊣ ⊢ A ⇄
id A
A , temos o
metateorema:
Metateorema 1: É o caso que A ⊣ ⊢ A ⇄
id A
A , dadas as
leis L2 e L3.
Demonstração:
Considere-se, em primeiro lugar, a consequência sintáctica A⊢ A ⇄
id A A :
1. A (premissa)
2. A (1., por aplicação de L2 (individuação))
3. A ⇄
id A
A (2., por aplicação de L3 (religare)) Q.E.D.
Considere-se, agora, a consequência sintáctica A ⊣ A ⇄
id A A :
1. A ⇄
id A
A (premissa)
2. A (1., por aplicação de L3 (religare))
3. A (2., por aplicação de L2 (individuação)) Q.E.D.
Encontra-se assim demonstrado A ⊣ ⊢ A ⇄
idA
A , enquanto lei
lógica. Q.E.D.
Por outro lado, relativamente a x⊣ ⊢x⇄
idx
x, temos ometateorema:
Metateorema 2: É o caso que x ⊣ ⊢x⇄
idx
x, dadas as leis
L3 e L4.
Demonstração:
Considere-se, em primeiro lugar, a consequência sintáctica
x ⊢x⇄
idx x:
2. x (1., por aplicação de L4 (adição de marcador))
3. x ⇄
id x
x (2., por aplicação de L3 (religare))
4. x⇄
idx
x (3., por aplicação de L4 (remoção de marcador))
Q.E.D.
Considere-se, agora, a consequência sintáctica x⊣x⇄
idx x: 1. x⇄ idx x (premissa) 2. x ⇄ id x
x (1., por aplicação de L4 (adição de mar-
cador))
3. x (2., por aplicação de L3 (religare))
4. x (2., por aplicação de L4 (remoção de marcador))
Q.E.D.
Encontra-se assim demonstrado x ⊣ ⊢ x⇄
idx
x, enquanto lei
lógica. Q.E.D.
Enquanto que x ⊣ ⊢x⇄
idx
x foi introduzida como axioma anteriormente,
passa, agora, a ser derivada no seio de FCat0 .
Para além das leis lógicas A ⊣ ⊢ A ⇄
idA
A e x ⊣ ⊢x⇄
idx
x serem derivá-
veis no seio de FCat0 , os teoremas T1 a T6, para o caso mais geral de estruturas de
ordem superior, são também deriváveis, como passamos a demonstrar. Conside- rando T1 a T3 temos o seguinte metateorema:
Metateorema 3: É o caso que as seguintes leis lógicas são
válidas em FCat0 : W⇄ idW W⇄ f W′⊢W⇄ f W′ (32) W⇄ f W′⇄ idW ′ W′⊢W⇄ f W′ (33) W⇄ idW W⇄ f W′⇄ idW ′ W′⊢W⇄ f W′ (34)
sendo que W e W′ denotam pontos mórficos ou teias mórficas total- mente conectadas, sinalizadas pelos respectivos marcadores de fron- teira.
Para (32) temos: 1. W⇄ idW W⇄ f W′ (premissa) 2. W⇄ f
W′ (1., por aplicação de L3, para o caso de teias
mórficas totalmente conectadas, sinalizadas pelos respectivos marcadores de fronteira e por aplicação da lei lógica demons-
trada como válida no metateorema 2 , para o caso de
pontos mórficos). Q.E.D.
Para (33) temos: 1. W⇄ f W′id⇄W ′W′ (premissa) 2. W⇄ f
W′ (1., por aplicação de L3, para o caso de teias
mórficas totalmente conectadas, sinalizadas pelos respectivos marcadores de fronteira e por aplicação da lei lógica demons-
trada como válida no metateorema 2 , para o caso de
pontos mórficos) Q.E.D.
Para (34) temos: 1. W⇄ idW W⇄ f W′⇄ idW ′ W′ (premissa) 2. W⇄ f W′⇄ idW ′ W′ (1., por aplicação de (32)) 3. W⇄ f
W′ (2., por aplicação de (33)) Q.E.D.
Assim, as três leis lógicas (32), (33) e (34) são válidas em FCat0 .
Q.E.D.
Considerando, agora, T4 a T6 temos o metateorema:
Metateorema 4: É o caso que as seguintes leis lógicas são
válidas em FCat0 : W⇄ f W′⊢W⇄ idx W⇄ f W′ (35) W⇄ f W′ ⊢W⇄ f W′⇄ idy W′ (36) W⇄ f W′ ⊢W⇄ idW W⇄ f W′⇄ idW ′ W′ (37)
em que W e W′ denotam pontos mórficos ou teias mórficas total- mente conectadas, sinalizadas pelos respectivos marcadores de fron- teira.
Demonstração: Para (35) temos: 1. W⇄ f W′ (premissa) 2. W⇄ idW W⇄ f
W′ (1., por aplicação de L3, para o caso de
teias mórficas totalmente conectadas, sinalizadas pelos res-
pectivos marcadores de fronteira e por aplicação da lei lógica
demonstrada como válida no metateorema 2 , para o caso de pontos mórficos). Q.E.D.
Para (36) temos: 1. W⇄ f W′ (premissa) 2. W⇄ f W′⇄ idW ′
W′ (1., por aplicação de L3, para o caso de
teias mórficas totalmente conectadas, sinalizadas pelos res-
pectivos marcadores de fronteira e por aplicação da lei lógica
demonstrada como válida no metateorema 2 , para o caso de pontos mórficos) Q.E.D.
Para (37) temos: 1. W⇄ f W′ (premissa) 2. W⇄ f W′⇄ idW ′ W′ (1., por aplicação de (36)) 3. W⇄ idW W⇄ f W′⇄ idW ′
W′ (2., por aplicação de (35)) Q.E.D.
Assim, as três leis lógicas (35), (36) e (37) são válidas em FCat0 .
Q.E.D.
Estes são os elementos fundamentais do trabalho desenvolvido por Gonçalves e Madeira (2009) acerca da sintaxe lógica de LCat e da estrutura formal do cálculo categorial, subjacente à teoria matemática das categorias, enquanto cálculo lógico
de base sistémica.
Considerando, agora, os fundamentos relacionais dos morfismos, uma
extensão útil à sintaxe de base consiste na introdução de fundamentos mórficos
duplos, um para a seta da origem e outro para a seta do alvo, tal que se pode
escrever morfismos do género x⇄F F′
y, em que F e F′ podem, ou não, ser substi-
tuídos pelo mesmo fundamento. Neste caso, assume-se que FCat0 é extensível a
esta sintaxe, sendo a extensão trivialmente obtida pela substituição, nas fbfs gené-
Em termos formais, assumindo esta extensibilidade de FCat0 , a introdução de fundamentos duplos em nada altera os resultados, nem a teoria.
A alteração formal ocorre quando se considera uma outra extensão ao cálculo categorial, a saber: a possibilidade de fundamentos com múltipla exemplificação.
Tradicionalmente, a teoria das categorias trabalha, como foi referido no início
da formalização, com fundamentos singularmente exemplificados, isto é, proprie- dades relacionais mórficas que são apenas exemplificadas por um único par de objectos (a origem e o alvo), foi esta a base conceptual assumida por Gonçalves e
Madeira (2009).
Contudo, se se abre a possibilidade de fundamentos não-singularmente exem- plificados, isto é, propriedades relacionais mórficas que podem ser exemplificadas
por mais do que um par de objectos, então, a operação de composição deixa de
poder ser geralmente verificada, pois, a composição toma os fundamentos como
base de definição do morfismo composto, contudo, quando existe mais do que um
percurso com os mesmos fundamentos, deixa de se poder conhecer qual dos cami-
nhos na teia corresponde ao caminho, a partir do qual o morfismo composto foi
construído. Este problema ocorre, em particular, na matemática da medição do risco, pois, conforme a revisão apresentada no capítulo anterior, trabalha-se com
fundamentos de ordenação binária que podem ocorrer em mais do que um mor- fismo, assim, importa considerar o problema em maior detalhe.
Para ilustrar o problema dos fundamentos não-singularmente exemplificados,
no seu contexto mais geral, considere-se que temos uma teia mórfica composta
pelas duas cadeias:
x⇄ f y⇄ g z (38) x⇄ f x′⇄ g z (39)
Existem dois caminhos distintos de x para z, logo, não é certo qual o caminho subjacente ao morfismo composto:
x⇄
g◦f
z (40)
Um modo de superar esta dificuldade consiste em definir a composição a partir de uma noção de acessibilidade na teia, ou seja, x⇄g◦fz significa apenas que z é aces- sível a partir de pelo menos um caminho na teia mórfica com origem em x. Se se
segue o camingo (38) ou o caminho (39) não é relevante, é apenas relevante, para a ligação mórfica composta, a existência de pelo menos um caminho com os fun- damentos f e (depois) g (g ◦ f). Assim, continuamos a poder trabalhar com o sis-
tema formal FCat0 tal como este foi introduzido.
Neste caso, a composição pode ser pensada, tal como o próprio cálculo catego- rial, à luz de uma lógica de hipertexto, em que uma sequência de hiperligações
A linguagem LCat pode ser considerada uma linguagem com uma sintaxe e
semânticas hipertextuais. Regressaremos a esta questão, com maior detalhe, no começo do próximo capítulo. Tendo trabalhado a sintaxe de LCat, passamos,
agora, à semântica.