fismos e as categorias
Capítulo 5. Máquinas de Turing , Categorias e Caos
5.2. Hipercomputação e caos
A noção de caos assume, na ciência do risco, uma operatividade associada àquilo
que, nas dinâmicas dos sistemas, é sinalizado como ordem no aleatório. Neste sen-
tido, a noção de caos encontra-se relacionada com a noção de estocástico.
Poincaré expandiu a noção de aleatoriedade para níveis operacionais, relacio-
nando-a com os termos gregos stochos, com o significado de alvo, e stochastikos
com o signficado de hábil no objectivo, ou alvo (Madeira e Gonçalves, 2009).
A diferença entre as duas noções, aleatório e estocástico, localiza-se ao nível
conjectural dos padrões sistémicos, sinalizados e configurados a partir da per- cepção de padrões de ritmicidade rotativa que emergem da dinâmica aleatória, sempre dependente das condições iniciais (Madeira e Gonçalves, 2009).
A eficácia operativa, que torna vantajoso o uso do termo estocástico, resulta
do reconhecimento da presença de estruturas estatistizáveis/probabilizáveis em
padrões sinalizáveis como aleatórios. A noção de estocástico aplica-se, deste
modo, quando são localizadas, no aleatório, estruturas apreensíveis a partir de fer-
ramentas matemáticas, em particular, de ferramentas estatísticas.
A noção de caos é, então, aplicada em sistemas cujas dinâmicas fazem emergir padrões aleatórios para os quais a noção de estocástico assume uma vantagem
operativa, logo, o caos pode ser definido a partir da estocasticidade, em padrões aleatórios, emergentes da dinâmica dos sistemas, enquanto estrutura no aleatório
(Prigogine e Stengers, 1986; Stewart [1989], 1991; Day, 1998; Madeira e Gon- çalves, 2009).
O caos foi identificado na física, pela primeira vez, por Poincaré como resul-
tado da análise da dinâmica gravítica para o problema das órbitas de três corpos (Stewart, [1989], 1991). Poincaré sinalizou, na sua análise, a existência de dinâ- micas com padrões intrincados que se interpenetram transformando-se numa ordem feita de ordens exponenciadas em teia (Stewart, [1989], 1991).
O termo caos foi conceptualmente assumido e trabalhado, a partir do grego khaos, para um referente paradigmático cognitivo, sinalizado como uma estrutura
primordial originante (Madeira e Gonçalves, 2009).
A noção grega de khaos sintetiza uma noção de vacuidade, trevas, indetermi-
nação, desordem e totalidade indiferenciada. A raiz genética do termo, cosmogoni- camente trajectada, permitiu um desenvolvimento do mesmo termo, para novos significados, agilizados por eficácias de ordem pragmática no seio da matemática, em particular, no que respeita a uma síntese conceptual para níveis de operaciona- lidade na captura de uma semântica de ordem no aleatório cuja acessibilidade
computacional enfrenta limites fundamentais associados à capacidade dos sistemas em lerem as condições iniciais formativas e calcularem as leis de estrutura passí- veis de uma apreensão preditiva dos padrões no aleatório (Madeira e Gonçalves,
A noção de caos, definida como ordem no aleatório, foi introduzida, na dinâ- mica não-linear, por Li e Yorke (1975), acerca da ocorrência de padrões com-
plexos na dinâmica do mapa logístico. A mesma noção foi introduzida por via de
uma adjectivação da dinâmica do mapa que, para determinados valores do parâ-
metro de controlo, produz padrões de turbulência e de aleatoriedade que se pen- sava apenas poderem ocorrer em sistemas com um número elevado de graus de liberdade, mas não em sistemas com um pequeno número de graus de liberdade (Li and Yorke, 1975).
Em termos matemáticos, o formalismo da dinâmica não-linear, em particular
no que se refere aos mapas não-lineares, pode ser trabalhado, a partir de uma
outra estrutura computacional abstracta com a mesma estrutura de uma máquina de Turing, mas com a diferença de que pode inserir, em cada célula, uma qual-
quer totalidade sistémica categorial. Isto é, uma qualquer estrutura categorial
pode fazer parte da computação desta máquina de Turing expandida, a qual é,
assim, capaz de hipercomputação. Passamos, deste modo, a trabalhar estas máquinas-a para a teorização matemática de sistemas dinâmicos, conectando a incompressibilidade algorítmica à noção de caos.
5.2.1. Sistemas dinâmicos, (in)compressibilidade e não-periodicidade
Seguindo o trabalho desenvolvido no capítulo anterior, considere-se um espaço métrico OPX, tal que X é a categoria da métrica. Seja Bε(µ¯ ) a bola composta
pelos morfismos ∆3(r
µµ¯), com µ¯ fixo e µ tal que r = d(µ, µ¯ ) ≤ ε.
Um mapa sobre Bε(µ¯ ) é um auto-functor :
Bε(µ¯ )⇋ ϕ
Bε(µ¯ ) (274)
ou, em termos de notação de simplex categorial:
∆3ϕ Bε(µ¯)
Bε(µ¯) (275)
em que ϕ é tal que define, para as estruturas mononodais, uma função sobrejec- tiva, mas não necessariamente injectiva.
Seja S um sistema dinâmico cujo espaço de fases ES pode ser capturado, em
termos geométricos e topológicos, por uma bola BεS(µ¯ ), tal que:
ES∼
ϕESBεS(µ¯)Bε
S(µ¯ ) (276)
Então, se um mapa sobre BεS(µ¯ ), de fundamento ϕ, captura, em termos mate-
máticos, a lei dinâmica de transição de estado do sistema, assumindo passos dis- cretos de tempo, de magnitude τ , segue-se que: se o estado do sistema no momento t for o ponto de fase (ponto sistémico do espaço de fases) ϕS−1(µ),
então, o estado seguinte é dado por ϕS−1(ϕ(µ)).
Na prática, pode-se investigar a dinâmica do sistema a partir de BεS(µ¯ ) e da
lei dinâmica capturada, em termos abstractos, por ϕ, o que explica a prática sim- plificadora de se designar BεS(µ¯ ) por espaço de fases, correspondendo à estrutura geométrica e topológica cujos pontos sistémicos constituem uma representação
matemática abstracta dos estados concretos do sistema. Seguimos esta prática e designamos os pontos de BεS(µ¯ ) por pontos de fase, sendo o estado do sistema
num dado momento t descrito por um ponto de fase.
A lei dinâmica de transição de estado emerge a partir das relações sistémicas fundamentais que determinam, em termos estruturais, a ligação temporal causal entre dois estados, logo, entre dois pontos de fase, esta ligação temporal causal é
expressa por um functor de situs, determinado pela lei dinâmica capturada, em
termos abstractos, por ϕ tal que: se µ é o estado do sistema em t e ν = ϕ(µ), então, temos o functor de situs de fundamento ινµ = ιµ
ϕ(µ), para a ligação entre o
estado do sistema em t e em t + τ . Por seu turno, entre t e t + 2τ a ligação é tal que:
ιµ ϕ[2](µ)
= ιϕ(µ)ϕ[2](µ)ιµ
ϕ(µ) (277)
em que ϕ[2](µ) = ϕ(ϕ(µ)) corresponde à segunda iterada do mapa, em µ, sendo a
primeira iterada ϕ[1](µ) = ϕ(µ). Assim, para n-iterações temos:
ϕ[n](µ) = ιµϕ[n](µ)µ (278)
Uma sequência de iterações, a partir de um ponto de fase inicial µ, determina
uma trajectória ou órbita no espaço de fases.
Uma abordagem computacional da dinâmica do sistema, utilizando a abor- dagem de Turing, trabalha com a estrutura BεS(µ¯ ), enquanto alfabeto informaci- onal, sendo uma órbita inserida na fita, de tal modo que uma sequência de n ite- rações é introduzida em n + 1 células, tais que: a primeira célula da fita contém o ponto de fase inicial, a segunda célula contém a primeira iterada, e assim sucessi-
vamente até à n + 1-ésima célula que contém a n-ésima iterada.
Assim, torna-se necessário rever o alfabeto de uma máquina-a. Trabalhando-se
com as estruturas BεS(µ¯ ) enquanto alfabetos, torna-se necessário convencionar um
símbolo para a célula em branco, que não 2, pois o número 2 poderá figurar como
ponto de fase em algum espaço de fases. Por seu turno, utiliza-se o símbolo B
para sinalizar a célula em branco. Do mesmo modo, para os deslocamentos da
cabeça de leitura das máquinas-a, devido ao mesmo problema, passa-se a utilizar
As três estruturas genéricas para um passo computacional denotadas, na secção anterior, por a( ± k), b( ± k), c( ± k), têm, deste modo, de ser revistas, assim, para um ponto de fase µ, a inserção do mesmo na n-ésima célula, sob lei-
tura, seguida de um deslocamento da cabeça de leitura da máquina-a por ± k células, é dada por uma categoria pµ( ± k), cujo espaço de adjacência isomórfica universal coincide com o espaço de adjacência isomórfica universal subjacente a
BεS(µ¯ ) (OP
BεS(µ¯)) e com D±k e B enquanto estruturas nodais adicionais. A cate-
goria pµ( ± k) é, então, composta pelos seguintes morfismos:
∆5n ν µ , nB µ , ιµ D±k (279)
em que µ é tomado como fixo e ν pode assumir qualquer valor em OP
BεS(µ¯), excepto µ, e a composição algébrica de fundamentos é tal que:
ινD±k= ι µ D±kn ν µ (280) ιBD±k = ιµ D±kn B µ (281) logo: D±k= ιν D±kν = ιµ D±kn ν µν (282) D±k= ιB D±k B= ιµ D±kn B µ B (283)
Por seu turno, a operação de colocar a n-ésima célula, sob leitura, em branco e
deslocar a cabeça de leitura ± k células é dada pela categoria o( ± k), cujo espaço de adjacência isomórfica universal coincide com o espaço de adjacência isomórfica universal subjacente a pµ( ± k), e cujos morfismos são:
∆4n ν B, ι
B
D±k (284)
em que ν pode assumir qualquer valor em OP
BεS(µ¯) e a composição algébrica de
fundamentos é tal que:
ινD±k = ιB D±kn ν B (285) logo: D±k= ιν D±kν= ι B D±kn ν Bν (286)
Dadas as categorias pµ( ± k) e o( ± k), correspondentes às operações fundamen-
tais, temos os seguintes dois tipos de morfismos genéricos alternativos para um
passo computacional: qi ⇄ o(±k,s) qj (287) qi ⇄ pµ(±k,s) qj (288)
em que o( ± k, s) significa que o( ± k) é implementada pela máquina-a na tran- sição da configuração-m qi para a configuração-m qj, quando o estado da célula
sob leitura é s, e, de modo análogo, pµ( ± k, s) significa que pµ( ± k) é implemen-
tada pela máquina-a na transição da configuração-m qi para a configuração-m qj,
quando o estado da célula sob leitura é s.
Assumindo uma fita em branco e uma cabeça de leitura sobre a primeira
célula, a máquina-a, para n iterações a partir de µ, denotada por M(ϕ, µ, n), é
dada pela cadeia:
q0 ⇄ pµ(1,B) q1 ⇄ pϕ(µ)(1,B) q2qn ⇄ pϕ[n](µ)(1,B) qn+1 (289)
ou, em termos do simplex categorial correspondente:
∆n+3pµ(1, B) q0 q1, pϕ(µ)(1, B) q1 q2, , p ϕ[n](µ)(1, B) qn qn+1 (290)
esta máquina-a introduz, assim, nas primeiras n + 1 células a sequência de pontos de fase µ, ϕ(µ),, ϕ
[n](µ), ou seja, a órbita sistema a partir de µ, sob ϕ, para n iterações.
O número n + 3 é obtido do seguinte modo: existem n + 2 vértices correspon- dentes às configurações-m, mais um vértice para a propriedade sistémica Pϕ, µ,n
que caracteriza as configurações-m como resultando das n iterações a partir de µ,
sob ϕ, mais um vértice para o ponto geométrico originante •, de onde resultam
n + 4 vértices, logo, estamos perante um n + 4 − 1-simplex categorial , isto é, um n+ 3-simplex categorial .
Considerando a possibilidade de continuar indefinidamente, e trabalhando com
cadeias infinitas de iterações, temos:
q0 ⇄ pµ(1,B)
q1 ⇄
pϕ(µ)(1,B)
q2 (291)
que corresponde a um simplex categorial, cujo número de faces triangulares é a cardinalidade ℵ0 dos números inteiros, ou seja, o primeiro cardinal transfinito can- toriano, assim, temos:
∆ℵ0 pµ(1, B) q0 q1, pϕ(µ)(1, B) q1 q2, (292) As cadeias infinitas tornam-se importantes na investigação de propriedades
assimptóticas e na investigação acerca da (in)compressibilidade e do caos, como
Considere-se, agora, como exemplo, o caso da família parametrizada dos
mapas logísticos sobre a bola no espaço métrico dos números reais B0.5S (0.5), ou
seja, o intervalo [0, 1]:
ϕa(µ) = a · µ(1 − µ) (293)
A dinâmica resultante para estes mapas depende do valor do parâmetro a.
Um modo eficaz de visualizar a dinâmica consiste em considerar, para uma
cadeia finita de n iterações, um cronograma que represente a sequência de valores
presentes na fita da máquina de Turing, após a máquina parar.
Assim, por exemplo, para n = 100 iterações, se a = 2 (figura 1(a) do anexo