fismos e as categorias
capítulo 4. para a topologia categorial.
40. Um exemplo deste problema foi trabalhado no capítulo 2 nas secções em que se procedeu à revisão da turbulência multifractal nos mercados, e no modo como o pensamento científico e financeiro
Neste caso, nem Ω, nem ℘ são algoritmicamente compressíveis, logo, não se pode construir um algoritmo finito capaz de computar Ω ou ℘, pelo que, se s1,
s2, for uma estrutura temporal, não existe forma de se obter uma regra dinâ-
mica finita para capturar ℘.
Existe uma computação sistémica categorial, quer para ℘, quer para Ω, con-
forme demonstrado no capítulo 3. (secção 3.2.), mas não existe uma regra dinâmica finita que seja convertível num programa com um número finito de bits,
capaz de computar, para um qualquer momento n, os valores futuros do padrão ℘. Trata-se de um caso limite de caos, pois, embora exista uma computação sisté-
mica do padrão, o mesmo não é capturável num algoritmo, com um número finito de passos, assim, não é possível introduzir uma fórmula para a lei dinâmica, como ocorre no contexto dos mapas não-lineares.
A existência destes padrões, demonstrada pela investigação acerca dos funda- mentos da matemática, é recuperada na presente tese, no capítulo 3., como ponto de partida para uma matemática do risco, na análise das cadeias mórficas infinitas (secção 3.2.).
Conectando os resultados do capítulo 3. com as finanças quânticas traba-
lhadas no capítulo 5., no contexto das máquinas de Turing binárias, segue-se
que, para este tipo de estruturas, o risco pode ser computado a partir do jogo dos
bilhetes de aposta, repetido para cada bit da estrutura binária, tal que, se Φi é o
preço de mercado, por bilhete de aposta, acerca do valor do i-ésimo bit da expansão binária de Ω, e assumindo payoffs constantes, então, sob as condições
quânticas de equilíbrio de mercado, trabalhadas no capítulo 5., temos, para o i-
ésimo bit quântico:
ψs(i) =perτT(s, i) (321) T(0, i) =Φi− φ(1)e −rτ φ(0) − φ(1) (322) T(1, i) =Φi− φ(0)e −rτ φ(1) − φ(0) (323) com s = 0, 1.
Logo, não sendo computável por via de uma abordagem algorítmica, o pro- blema é abordável por via de uma computação quântica dos payoffs pelo mercado.
No caso de as condições de mercado serem tais que a sequência de valores de Φi pode ser capturada por um mapa dinâmico, então, existe a possibilidade de se
redobrar a complexidade do problema, pois pode-se obter dinâmicas caóticas para os preços Φi, o que permite resolver o problema da compatibilidade da turbulência multifractal com a avaliação neutra ao risco referido no capítulo 2.. Um mapa dinâmico, ou um sistema de mapas acoplados, ou um autómato celular, todos eles
constituem abordagens passíveis de capturar uma dinâmica emergente complexa de mercado.
Assim, neste exemplo, o risco pode ser redobrado, pois não é apenas o caso que um jogador se pode expor ao risco, comprando o bilhete de apostas, como a dinâmica dos preços de mercado, emergente a partir do comportamento de mer- cado, pode ser caótica.
Este exemplo permite explicitar uma ponte conceptual entre os diferentes capí- tulos da tese. A incerteza quanto aos valores da estrutura do padrão temporal de ℘, juntamente com a existência de payoffs alternativos nos bilhetes de aposta con-
duzem a uma situação de risco para cada alternativa, por seu turno, o próprio
mercado pode produzir uma dinâmica de mercado para os preços dos bilhetes tal que, nesta, pode ser, também, sinalizada a presença de risco.
A capacidade do cálculo categorial para lidar com múltiplas situações de risco
interconectadas dá resposta a um problema central para as aplicações da ciência do risco, conforme sinalizado no capítulo 1..
Por seu turno, a eficácia da linguagem formal LCat, em capturar múltiplas situ- ações de risco, é potenciada pela natureza hipertextual da linguagem LCat e do cálculo categorial que permite lidar com relações sistémicas que cruzam diferentes
níveis hierárquicos, e que permite, também, trabalhar com padrões sistémicos sinalizados como aleatórios, enquanto estruturas categoriais.
A natureza hipertextual do cálculo categorial, por seu turno, abre a possibili-
dade de se expandir a inteligência artificial hipertextual (HAI – Hipertextual Arti- ficial intelligence), com aplicações na ciência e na gestão do risco. Esta constitui
um exemplo de uma possível linha futura de investigação com eficácias ao nível da teorização acerca do risco nos sistemas e dos problemas aplicados da ciência do risco.
6.2.2. A situação de risco
No capítulo 5., na secção 5.1., foram identificados os seguintes três elementos descritivos centrais de uma situação de risco:
• A situação sistémica;
• O espaço de possibilidades de histórias da situação sistémica;
• A história actualizada da situação sistémica.
No caso do jogo trabalhado na secção 5.1., a situação sistémica é composta por
dois sistemas computacionais, a saber: a máquina de Turing e o mercado de apostas.
No contexto da secção 5.2., a situação de risco resulta da computação sisté-
mica, o sistema encontra-se em risco pela própria natureza dinâmica das órbitas
sinalizadas como caóticas. Os três elementos descritivos, centrais de uma situação de risco, continuam a aplicar-se no contexto dos mapas dinâmicos.
A situação sistémica, juntamente com a natureza do sistema, fazem emergir
uma lei dinâmica tal que o espaço de possibilidades de histórias da situação sisté- mica é dado por uma subcategoria de MNod, que denotamos por MS, cujos pontos sistémicos são as máquinas-a das iterações M(ϕ, µ, ℵ0), para cada ponto de fase
µ no espaço de fases BεS(µ¯ ). Se µ for a condição inicial dinâmica, então, o ponto sistémico M(ϕ, µ, ℵ0) de MS é a história actualizada da situação sistémica. Se se
estiver a lidar com uma situação sistémica, descrita por n-iterações, então, tra-
balha-se com M(ϕ, µ, n) em vez de M(ϕ, µ, ℵ0).
Assim, existe, entre a secção 5.1. e a secção 5.2., uma unidade de pensa- mento matemático e sistémico acerca da situação de risco, no que respeita aos
elementos centrais. Contudo, existe também uma diferença fundamental, no que respeita às probabilidades, a saber: enquanto que na secção 5.1. emerge uma probabilidade em termos de computação de equilíbrio de mercado, resultante da
avaliação dos payoffs do jogo, na secção 5.2. as probabilidades emergem a partir
da dinâmica do sistema e uma medida de probabilidades (dinamicamente estável) poderá emergir se existir uma medida invariante ergódica para o mapa.
Em condições de ergodicidade, pode ser estabelecida uma ligação com a teoria quântica dos jogos, seguindo o trabalho de Beck (2002) e o trabalho desenvolvido
na secção 5.1., e tomando |ψµ|2 = ρ(µ) (Beck, 2002), sendo ρ a medida invari- ante ergódica, pode-se calcular os valores esperados para um operador de payoffs,
cuja estrutura é análoga à de um observável na linguagem da mecânica quântica
(Beck, 2002).
Assim, se ρ for ergódica, temos, deste modo, para uma função de payoff sobre
BεS(µ¯ ), φ: BεS(µ¯ )R (Badii e Politii, 1999; Beck, 2002):
hφ(µ)i = lim n→∞ 1 n X i=1 n−1 φ[ϕ[i](µ)] = Z BεS(µ¯) φ(µ)|ψµ|2dµ= Z BεS(µ¯) φ(µ)ρ(µ)dµ (324)
isto é, a média temporal limn→∞n1 Pi=1n−1 φ[ϕ[i](µ)] coincide com a média espacial ,
sob ψµ.
A ergodicidade, para medidas invariantes, é o campo de investigação da teoria ergódica. Uma linha de investigação futura, no seio da teoria quântica dos jogos,
acerca da ligação entre as invariantes ergódicas de mapas dinâmicos e as ampli- tudes de probabilidade quânticas, utilizando o formalismo categorial do capítulo