Composi¸ c˜ ao da simetria por conjuga¸ c˜ ao com a simetria especular

2.3 Equivalˆ encia dinˆ amica entre aut´ omatos celulares elementares

2.3.3 Composi¸ c˜ ao da simetria por conjuga¸ c˜ ao com a simetria especular

Estudadas as duas simetrias que é poss´ıvel definir em sistemas booleanos dispostos ao longo de uma linha reta, a questão agora passa por identificar se uma sua composi¸cão corresponde a uma transforma¸cão distinta. Para tal, vejamos o seguinte resultado, cuja prova é muito simples, pelo que será omitida.

Lema 2.3 Seja A uma qualquer configura¸c˜ao. Ent˜ao, temos que, (¯A) = A

←−− (←A ) = A− ←− (¯A) = (←A )−

Como facilmente se reconhece, as duas primeiras igualdades dizem que a aplica¸cão de duas transforma¸cões iguais resulta na identidade, enquanto a terceira estabelece que a composi¸cão de transforma¸cões é comutativa. A partir destas igualdades, vamos ver que apenas uma composi¸cão vai resultar numa transforma¸cão de simetria distinta.

Sejam A e A0 configura¸cões resultantes de uma qualquer composi¸cão de m transforma¸cões por conjuga¸cão e imagem especular, que vamos escrever como,

A ∼u1 A1 ∼u2A2 ∼u3 . . . ∼um−1 Am−1 ∼umA

(2.14) com ui = c ou ui = e e onde por Ai se designa a configura¸c˜ao que se obt´em de A por

aplica¸c˜ao sucessiva das transforma¸c˜oes u1, . . . , ui. Ora, aplicando a comutatividade das

transforma¸c˜oes, estabelecida no Lema 2.3, podemos escrever a express˜ao anterior como A ∼cB1 ∼c. . . ∼cBm0 ∼_eB_m0₊₁ ∼_e . . . ∼_eB_m−1 ∼_eA0

onde m0 ≥ 0 é igual ao número de transforma¸cões por conjuga¸cão, se existir alguma, presentes na composi¸cão (2.14), sendo m−m0 ≥ 0 o número de transforma¸cões por simetria especular, se existir alguma, em (2.14), e onde Bi é agora a configura¸cão que se obtém de

A por aplica¸cão sucessiva das i transforma¸cões iniciais. O resultado que procuramos surge imediatamente por aplica¸cão das duas primeiras igualdades do Lema 2.3:

1. m0 e m − m0 pares =⇒ A = A0 2. m0 par e m − m0´ımpar =⇒ A ∼eA0

3. m0´ımpar e m − m0 par =⇒ A ∼cA0

4. m0 e m − m0´ımpares =⇒ A ∼cA1∼eA0

Assim sendo, podemos concluir que existe uma única composi¸cão de transforma¸cões de conjuga¸cão e simetria especular que resulta numa transforma¸cão distinta: vamos escolher essa transforma¸cão como sendo a composi¸cão da imagem especular após a conjuga¸cão, que vamos denotar simplesmente por A ∼ce A0. Para facilitar, vamos denotar por A◦ a

configura¸c˜ao obtida de A por esta terceira transforma¸c˜ao.

Tal como foi feito relativamente às duas simetrias anteriores, também agora vamos formalizar a correspondente simetria entre autómatos celulares elementares finitos.

Defini¸cão 2.14 Dois autómatos celulares elementares finitos Φα e Φ0_α0 dizem-se com simetria conjuga¸cão-especular se, para toda a configura¸cão A, for válida a igualdade

Φ0_α0(A◦) = (Φ_α(A))◦, (2.15)

Se Φ0_α0 é um autómato celular elementar com simetria conjuga¸cão-especular relativamente a Φα vamos escrever Φ0_α0 = Γce(Φα). O resultado seguinte vai uma vez mais mostrar que

autómatos celulares elementares com certas carater´ısticas têm sempre simetria conjuga¸cão- especular. Por ser facilmente obtida a partir de argumentos análogos aos apresentados nas demonstra¸cões dos dois lemas anteriores, a sua prova será omitida.

Lema 2.4 Sejam Φαe Φ0α0 aut´omatos celulares elementares finitos, com regras de transi¸c˜ao local Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ0 = (d0

7d06d05d04d30d02d01d00)2, respectivamente, tais que

Nφ0 = ( ¯d₀d¯₄d¯₂d¯₆d¯₁d¯₅d¯₃d¯₇)₂ e as condi¸cões de fronteira α e α0 são iguais, exceto se α = 00 ou α = 11, para as quais α0 = 11 e α0 = 00, respectivamente. Então, Φα e Φ0_α0 são autómatos celulares elementares finitos com simetria conjuga¸cão-especular, ou seja, tem-se que Φ0_α0 = Γce(Φα).

Para encontrar a regra de transi¸cão que se obtém de Nφ= 130 por esta composi¸cão de

transforma¸cões, temos apenas que determinar a regra que é equivalente por imagem especular a Nφ0 = 190, uma vez que concluimos já ser esta a regra equivalente por conjuga¸cão a Nφ= 130. Um pequeno cálculo leva-nos a dizer que a representa¸cão de Wolfram desta

regra corresponde ao inteiro cuja representa¸cão binária é dada por (11110110)2, ou seja,

Nφ00 = 246. Na figura seguinte mostramos diagramas espa¸co-tempo correspondentes às dinâmicas exibidas pelos autómatos 130p, 190p e 246p.

Figura 2.35: Diagramas espa¸co-tempo para os aut´omatos celulares elementares 130p, 190p

e 246p, a partir de configura¸c˜oes iniciais com as simetria indicadas, sendo patente que as

configura¸c˜oes que lhes sucedem tˆem essa mesma simetria.

Do Lema 2.4 resulta ser tamb´em poss´ıvel definir este tipo de simetria relativamente a conjuntos de aut´omatos celulares finitos.

Defini¸cão 2.15 Dois conjuntos Φ0e Φ dizem-se com simetria conjuga¸cão-especular se qualquer elemento de Φ0 tiverem simetria conjuga¸cão-especular com algum elemento de Φ.

Dados conjuntos Φ0 e Φ com simetria conjuga¸c˜ao-especular, vamos escrever Φ0 = Γce(Φ).

Tamb´em agora vai ser poss´ıvel caraterizar conjuntos Φ0 e Φ relacionados por este tipo de simetria.

Proposi¸cão 2.3 Dois conjuntos de autómatos celulares elementares finitos Φ0e Φ têm simetria conjuga¸cão-especular se e só se Nφ0 = ( ¯d₀d¯₄d¯₂d¯₆d¯₁d¯₅d¯₃d¯₇)₂e N_φ= (d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀)₂, com Nφ0, N_φas representa¸cões de Wolfram das regras de transi¸cão dos autómatos celulares pertencentes a Φ0 e Φ, respetivamente.

Na tabela seguinte resumimos as equivalências dinâmicas do conjunto 130, indicando os conjuntos obtidos por cada uma das três transforma¸cões.

Φ Γc(Φ) Γe(Φ) Γce(Φ)

130 190 144 246

Tabela 2.4: Conjuntos de aut´omatos celulares elementares dinamicamente equivalentes a 130.

Encontrado o conjunto dos autómatos celulares elementares dinamicamente equivalentes, temos que escolher o seu representante: o critério, que é habitual seguir-se, passa pela escolha daquele de entre todos com menor representa¸cão de Wolfram. Procedendo desse modo, no caso anterior, somos levados a escolher a regra Nφ= 130 como representante da

classe descrita na tabela.

Em apêndice, apresentamos uma tabela das regras equivalentes para todos os 256 autómatos celulares elementares. Mais interessante, porém, será listar todos os autómatos celulares elementares dinamicamente não-equivalentes, pois serão apenas esses que devere- mos estudar. Na tabela seguinte, são apresentadas as 88 regras dinamicamente não equivalentes, a partir das respetivas representa¸cões de Wolfram, que se obtêm por uma análise detalhada do resultado de todas as equivalências dinâmicas apresentadas em apêndice.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 19 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38 40 41 42 43 44 45 46 50 51 54 56 57 58 60 62 72 73 74 76 77 78 90 94 104 105 106 108 110 122 126 128 130 132 134 136 138 140 142 146 150 152 154 156 160 162 164 168 170 172 178 184 200 204 232

Tabela 2.5: Representa¸cão de Wolfram dos 88 autómatos celulares elementares finitos dinamicamente não-equivalentes.

Tendo apresentado um formalismo para o estudo das equivalências dinâmicas entre autómatos celulares elementares, quaisquer que sejam as condi¸cões de fronteira escolhidas, vamos ver de seguida se cada um desses autómatos celulares exibe um único tipo de comportamento, relativamente aos diferentes tipos identificados por Wolfram, quando se escolhem as condi¸cões de fronteira apresentadas.

Cap´ıtulo 3

As Dinˆamicas dos Aut´omatos

Celulares Elementares

Tradicionalmente, os autómatos celulares elementares são apresentados a partir da escolha de condi¸cões de fronteira periódicas. É nesse contexto que são, muitas vezes, mostrados exemplos dos diferentes tipos de comportamento que estes modelos discretos muito simples são capazes de exibir. De seguida, vamos tentar saber se as dinâmicas mais significativas, em termos estat´ısticos, que os autómatos celulares elementares mostram são independentes da escolha efetuada para as condi¸cões de fronteira. Por outras palavras, fixada uma regra de transi¸cão φ, vamos comparar as dinâmicas que se obtêm para as seis diferentes escolhas para as condi¸cões de fronteira. Este desafio é proposto antes mesmo de apresentarmos os quatro tipos distintos de dinâmicas identificadas por Wolfram, com o intuito de procurar, nos seis diagramas espa¸co-tempo que vão ser mostrados, carater´ısticas comuns, sem qualquer ideia preconcebida.

3.1 Dinˆamicas para diferentes escolhas da condi¸c˜ao de fron-

teira

Nas páginas que se seguem, são mostrados diagramas espa¸co-tempo para cada conjunto de autómatos celulares elementares dinamicamente não-equivalentes, apresentados na Ta- bela 2.5, considerando as seis escolhas para as condi¸cões de fronteira. Todos os sistemas são compostos por n = 60 células e são mostradas as configura¸cões correspondentes aos pri- meiros 62 instantes de tempo, a partir de uma configura¸cão inicial escolhida aleatoriamente, mas a mesma para cada regra de transi¸cão.

Nφ= 0