2.3 Equivalˆ encia dinˆ amica entre aut´ omatos celulares elementares
2.3.2 Simetria especular
Um outro tipo de transforma¸c˜ao que importa considerar ´e a simetria especular, isto ´e, uma simetria de reflex˜ao relativamente a um eixo vertical, a partir da qual se obt´em a invers˜ao espacial esquerda-direita da configura¸c˜ao do sistema.
Defini¸c˜ao 2.11 Duas configura¸c˜oes A = (ai) e A0 = (a0i) de um aut´omato celular elementar
com n c´elulas dizem-se ter simetria especular, escrevendo-se A ∼eA0, se a0i = an+1−i, para
i = 1, . . . , n.
Para simplificar, vamos usar a nota¸c˜ao ←−A para a configura¸c˜ao obtida de A por simetria especular. Na figura seguinte, apresentam-se duas configura¸c˜oes com simetria especular, relativamente ao eixo vertical, onde a da esquerda volta a ser a configura¸c˜ao anteriormente considerada na apresenta¸c˜ao da simetria por conjuga¸c˜ao.
Figura 2.24: Duas configura¸c˜oes exibindo simetria especular relativamente ao eixo vertical.
Tal como h´a pouco, vamos agora generalizar este conceito para aut´omatos celulares ele- mentares finitos.
Defini¸c˜ao 2.12 Dois aut´omatos celulares elementares finitos Φα e Φ0α0 dizem-se com sime- tria especular se, para toda a configura¸c˜ao A, for v´alida a igualdade
Φ0α0( ←−
A ) =←Φ−−−α(A).− (2.12)
Se Φα e Φ0α0 s˜ao aut´omatos celulares elementares finitos com simetria especular, vamos escrever que o segundo se obt´em do primeiro como Φ0α0 = Γe(Φα). O resultado que va-
mos apresentar de seguida apresenta condi¸c˜oes suficientes para que aut´omatos celulares elementares finitos tenham simetria especular.
Lema 2.2 Sejam Φαe Φ0α0 aut´omatos celulares elementares finitos, com regras de transi¸c˜ao local Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ0 = (d0 7d 0 6d 0 5d 0 4d 0 3d 0 2d 0 1d 0
0)2, respectivamente, tais que
Nφ0 = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2 α0= α = p ∨ α0= α = r ∨ ( α0 = adae α = aead (2.13)
Ent˜ao, Φα e Φ0α0 s˜ao aut´omatos celulares elementares finitos com simetria especular, ou seja, tem-se que Φ0α0 = Γe(Φα).
Prova: A partir da rela¸c˜ao entre as regras de transi¸c˜ao local, assumida por hip´otese, podemos escrever:
d07 = φ0(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1) d06 = φ0(1, 1, 0) = d3 = φ(0, 1, 1)
d05 = φ0(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1) d04 = φ0(1, 0, 0) = d1 = φ(0, 0, 1)
d03 = φ0(0, 1, 1) = d6 = φ(1, 1, 0) d02 = φ0(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)
d01 = φ0(0, 0, 1) = d4 = φ(1, 0, 0) d00 = φ0(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)
Como se verifica facilmente, as igualdades anteriores podem ser resumidas numa ´unica, expressa por φ0(a, b, c) = φ(c, b, a), para quaisquer a, b, c ∈ {0, 1}. Vejamos agora como ´e que, a partir daqui, somos levados a concluir que a igualdade (2.12) ´e v´alida para qualquer elemento do sistema que n˜ao esteja na sua fronteira.
Sem perda de generalidade, admitamos que o sistema em causa ´e constitu´ıdo por um n´umero n maior que dois de elementos. Seja A = (ai) uma qualquer configura¸c˜ao; para
facilitar, denotemos por [Φ0(←A )]− i o elemento i da configura¸c˜ao Φ0(
←−
A ). Ora, por defini¸c˜ao, temos que, para i = 2, . . . , n − 1,
[Φ0(←A )]− i= φ0([ ←− A ]i−1, [ ←− A ]i, [ ←−
A ]i+1) = φ0(an−i+2, an−i+1, an−i).
Mas, sabendo que φ0(a, b, c) = φ(c, b, a), podemos escrever a igualdade [Φ0(←A )]− i = φ0(an−i+2, an−i+1, an−i) = φ(an−i, an−i+1, an−i+2),
a partir da qual temos ent˜ao que
[Φ0(←A )]− i = φ(an−i, an−i+1, an−i+2) = [Φ(A)]n−i+1 = [
←−−− Φ(A)]i.
Estabecida a igualdade procurada entre todos os elementos das configura¸c˜oes Φ0(←A ) e− ←−−−Φ(A) que n˜ao estejam na fronteira, a sua estens˜ao para os dois elementos da fronteira retira-se
facilmente pela hip´otese assumida; vejamos, por exemplo, o caso de se assumirem condi¸c˜oes de fronteira α = 01 e α0= 10. Ent˜ao, pelas igualdades anteriores, temos que
[Φ0(←A )]− 1= φ0(1, [ ←− A ]1, [ ←− A ]2) = φ0(1, an, an−1) = φ(an−1, an, 1) = [Φ(A)]n= [Φ( ←− A )]1.
De forma an´aloga se obt´em semelhante igualdade para os elementos n das configura¸c˜oes
em causa.
Voltando ao aut´omato celular elementar com representa¸c˜ao de Wolfram Nφ= 130, sabemos
j´a que 130 = (10000010)2. Deste modo, tendo em conta o resultado anterior, se escolher-
mos o aut´omato celular Φ0 com representa¸c˜ao de Wolfram Nφ0 = (10010000)2 = 144, sabemos que, se escolhermos condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas para ambos, estamos pe- rante aut´omatos celulares com simetria especular.
Existe uma outra forma de determinar esta regra obtida por simetria especular, a partir da representa¸c˜ao gr´afica de um aut´omato celular elementar: consideremos a representa¸c˜ao gr´afica da regra Nφ= 130:
Figura 2.25: Representa¸c˜ao gr´afica da regra de transi¸c˜ao do aut´omato celular elementar com representa¸c˜ao de Wolfram Nφ= 130.
Atendendo a (2.12), temos que a representa¸c˜ao gr´afica da regra obtida de Nφ = 130 por
simetria especular se encontra efetuando a transforma¸c˜ao especular das oito configura¸c˜oes, deixando invariante os resultados, isto ´e:
Figura 2.26: Representa¸c˜ao gr´afica da regra de transi¸c˜ao do aut´omato celular elementar obtido da regra Nφ= 130 por simetria especular.
Voltando `a forma can´onica para a representa¸c˜ao gr´afica de uma regra, temos que a regra obtida de Nφ= 130 por simetria especular ´e descrita por:
Figura 2.27: Representa¸c˜ao gr´afica, na sua forma can´onica, da regra de transi¸c˜ao do aut´omato celular elementar obtido da regra Nφ= 130 por simetria especular.
Por fim, vamos comparar os dois diagramas espa¸co-tempo, para a evolu¸c˜ao temporal de- terminada pelos aut´omatos celulares 130p e 144p, a partir das configura¸c˜oes iniciais com
simetria especular, apresentadas na Figura 2.24:
Figura 2.28: Diagramas espa¸co-tempo para os aut´omatos celulares elementares 130p e
144p, a partir de configura¸c˜oes iniciais com simetria especular.
O c´alculo acima efetuado, permitiu-nos perceber que os aut´omatos celulares 130p e 144p
tˆem simetria especular, mas tamb´em que outros cinco, com iguais regras de transi¸c˜ao, mas distintas condi¸c˜oes de fronteira, tamb´em exibem esse tipo de simetria, nomeadamente:
144r= Γe(130r)
14400= Γe(13000)
14401= Γe(13010)
14410= Γe(13001)
14411= Γe(13011)
Tal como fizemos anteriormente para a conjuga¸c˜ao, vamos agora mostrar os diagramas de Wuensche relativamente `as regras Nφ= 130 e Nφ0 = 144, para todas as seis condi¸c˜oes de fronteira consideradas, querendo com isso evidenciar que, uma vez mais, estamos perante aut´omatos celulares elementares finitos dinamicamente equivalentes.
Figura 2.29: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 130p, `a esquerda, e 144p, `a direita.
Figura 2.30: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 130r, `a esquerda, e 144r, `a direita.
Figura 2.31: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 13000, `a esquerda, e 14400, `a direita.
Figura 2.32: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 13001, `a esquerda, e 14410, `a direita.
Figura 2.33: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 13010, `a esquerda, e 14401, `a direita.
Figura 2.34: Diagramas de Wuensche para os dois aut´omatos celulares com simetria espe- cular 13011, `a esquerda, e 14411, `a direita.
De forma an´aloga, o Lema 2.4 vai permitir-nos generalizar o conceito de simetria especular para conjuntos de aut´omatos celulares.
Defini¸c˜ao 2.13 Dois conjuntos Φ0 e Φ dizem-se com simetria especular se qualquer ele- mento de Φ0 tiver simetria especular com algum elemento de Φ.
Dados conjuntos Φ0 e Φ com simetria especular, vamos escrever Φ0 = Γe(Φ). Tamb´em
agora vai ser poss´ıvel caraterizar conjuntos com simetria especular, num resultado an´alogo ao anteriormente estabecido para a conjuga¸c˜ao, cuja prova segue de perto os argumentos anteriores, que por isso ser´a omitida.
Proposi¸c˜ao 2.2 Conjuntos Φ0e Φ tˆem simetria especular se e s´o se Nφ0 = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2 e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, com Nφ0, Nφ as representa¸c˜oes de Wolfram das regras de transi¸c˜ao dos aut´omatos celulares pertencentes a Φ0 e Φ, respetivamente.
Apresentadas as duas transforma¸c˜oes de simetria b´asicas que podemos definir nas confi- gura¸c˜oes de c´elulas dispostas ao longo de uma linha reta, vamos de seguida tentar perceber que composi¸c˜oes destas transforma¸c˜oes s˜ao ainda transforma¸c˜oes de simetria distintas.