Sobre a classificação dos autómatos celulares elementares finitos

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Isabel Maria Maciel de Aguiar

outubro de 2014

Sobre a Classificação dos Autómatos

Celulares Elementares Finitos

UMinho|20

14

Isabel Maria Maciel de A

guiar

Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Element

ares F

initos

Universidade do Minho

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Isabel Maria Maciel de Aguiar

Dissertação de Mestrado

Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores

Sobre a Classificação dos Autómatos

Celulares Elementares Finitos

Universidade do Minho

Escola de Ciências

Trabalho realizado sob a orientação do

Doutor Ricardo José Mendes Severino

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Nome

Isabel Maria Maciel de Aguiar

Endereço electrónico: isabelaguiar0@gmail.com

Número do Bilhete de Identidade: 8188416

Título dissertação

Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares

Orientador:

Doutor Ricardo José Mendes Severino

Ano de conclusão: 2014

Designação do Mestrado:

Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores

É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTA DISSERTAÇÃO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE;

Universidade do Minho, ___/10/2014

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Isabel Maria Maciel de Aguiar

Sobre a Classifica¸

c˜

ao dos Aut´

omatos

Celulares Elementares Finitos

Disserta¸cão de Mestrado Mestrado em Ciências – Forma¸cão Cont´ınua de Professores

Universidade do Minho

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Agradecimentos

Expresso o meu profundo agradecimento ao orientador, Professor Doutor Ricardo Se-verino, pela disponibilidade e apoio demonstrados desde o primeiro dia. Real¸co a forma entusiástica como partilhou o seu saber acerca do tema, as atitudes assertivas e palavras incentivadoras, contribuindo decisivamente para a minha motiva¸cão, desempenho e apren-dizagem. Foi um enorme privilégio ter sido por ele acompanhada!

`

A minha fam´ılia, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao durante este per´ıodo. De uma forma espe-cial, aos meus filhos Joana e Pedro, pelo carinho e curiosidade demonstrados.

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Mestrado: em Ciˆencias – Forma¸c˜ao Cont´ınua de Professores Nome do aluno: Isabel Maria Maciel de Aguiar

Disserta¸cão: Sobre a classifica¸cão dos autómatos celulares elementares finitos

Resumo

Os autómatos celulares elementares são os modelos de evolu¸cão temporal mais simples com capacidade para exibir comportamento complicado. Por isso, é muito fácil de aceitar a importância do seu estudo, quando se procura entender a complexidade que vemos surgir de uma forma transversal em todas as Ciências Naturais e Humanas.

A classifica¸cão dos autómatos celulares elementares, apresentada por Stephen Wolfram, na década de 1980, foi constru´ıda a partir da simula¸cão computacional de sistemas finitos, com condi¸cões de fronteira periódicas. Neste trabalho são consideradas outras escolhas para condi¸cões de fronteira, por reflexão e fixas, sendo estudadas as equivalências dinâmicas dos autómatos celulares finitos nesse contexto mais alargado. A partir desse estudo, mostramos que, com pouqu´ıssimas exce¸cões, a distribui¸cão dos autómatos celulares elementares pelas quatro classes propostas por Wolfram vale igualmente quando se consideram condi¸cões de fronteira por reflexão e fixas.

Mais interessante porém, foram os resultados obtidos no estudo de duas dessas exce¸cões, onde se encontrou um tipo de comportamento para autómatos celulares elementares de carater´ısticas não antecipadas por Wolfram na sua classifica¸cão.

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Master Degree in: Science — Mathematics Teaching in Secondary School Name of the student: Isabel Maria Maciel de Aguiar

Dissertation: On the classification of finite elementary cellular automata

Abstract

Elementary cellular automata are the simplest temporal evolution models still capable of displaying complex behaviour. So it is easy to accept the importance of its study, when looking to understand the intricacy we find throughought all Natural and Social Sciences.

The elementary cellular automata classification proposed by Stephen Wolfram, in the 1980s, was built from the computer simulation of finite systems, with periodic boundary conditions. In this paper, other choices for boudary conditions are considered, by reflexion and fixed, and the finite cellular automata’s dynamic equivalences are analysed regarding this broader context. From this study, we show, with very few exceptions, that the distribution of the elementar cellular automata by the four classes presented by Wolfram is consistent when considering reflexion and fixed boundary conditions.

The most interesting though, were the results found in the study of two of those ex-ceptions, where it was found a kind of behaviour for elementary cellular automata with characteristics not predicted by Wolfram in his classification.

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Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Aut´omatos Celulares Elementares 6

2.1 Conceitos b´asicos sobre aut´omatos celulares elementares . . . 6

2.1.1 Configura¸c˜ao de um aut´omato celular elementar . . . 6

2.1.2 Dinˆamica de um aut´omato celular elementar . . . 7

2.1.3 Condi¸cões de fronteira para autómatos celulares elementares finitos 10 2.1.4 Atratores e bacias de atra¸cão . . . 14

2.1.5 Representa¸c˜ao de Wolfram de uma regra de transi¸c˜ao . . . 17

2.2 Diagramas de Wuensche . . . 19

2.3 Equivalência dinâmica entre autómatos celulares elementares . . . 24

2.3.1 Simetria por conjuga¸c˜ao . . . 25

2.3.2 Simetria especular . . . 32

2.3.3 Composi¸cão da simetria por conjuga¸cão com a simetria especular . 39 3 As Dinâmicas dos Autómatos Celulares Elementares 44 3.1 Dinâmicas para diferentes escolhas da condi¸cão de fronteira . . . 44

3.2 As regras de transi¸c˜ao Nφ= 30, Nφ= 45 e Nφ= 106 . . . 133

3.3 As regras de transi¸c˜ao Nφ= 26 e Nφ= 154 . . . 134

4 Classifica¸cão dos Autómatos Celulares Elementares 135 4.1 A classifica¸cão de Wolfram . . . 138

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4.1.1 Classe I . . . 140

4.1.2 Classe II . . . 143

4.1.3 Classe III . . . 151

4.1.4 Classe IV . . . 158

4.1.5 Outras carateriza¸c˜oes da classifica¸c˜ao de Wolfram . . . 161

4.2 Uma outra classifica¸c˜ao . . . 163

4.3 Os aut´omatos celulares 2600, 2610, 15400 e 15410 . . . 166

5 Conclus˜oes 192

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Nos primórdios, o Homem olhava para a natureza como uma fonte de recursos que provia a sua alimenta¸cão e prote¸cão. Pouca a compreendia, mas respeitava-a. O seu fraco entendimento cimentava-se, na maioria das vezes, na própria experiência de vida ou no misticismo. Mais tarde, na ânsia de a controlar em seu proveito, come¸cou a adotar formas de a modificar produzindo plantas, criando animais, construindo artefactos, controlando o fogo e a água, etc.

Desde há muitos séculos que o Homem passou a interpretar e racionalizar a natureza num contexto chamado de Ciência, come¸cando a observar e estudar os fenómenos f´ısicos, qu´ımicos e biológicos. Inicialmente, o desejo de a compreender baseava-se na busca do simples, do regular e do equil´ıbrio estável. Deste modo, a natureza revelava-se simples e ao alcance do entendimento humano. Com o estudo da dinâmica, iniciado por Isaac Newton, por volta de 1665, cria-se um novo ramo da Matemática. Formalizam-se e estudam-se modelos matemáticos para sistemas que evoluem no tempo de acordo com uma regra, expressa analiticamente na forma de um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias. A partir do final do século dezanove, alguns matemáticos e f´ısicos, continuando a olhar para a natureza, viram que o simples, por vezes, torna-se complicado. Deste modo, o estudo do simples deu lugar ao estudo do complexo, o do regular ao do irregular e o do periódico ao do aperiódico.

De forma simplificada, a geometria da natureza pode ser vista como a geometria frac-tal1, com toda a sua irregularidade e estruturas complexas e fragmentadas. Em 1963, o matemático ucraniano A.N. Sharkovsky apresentou uma nova ordem dos números naturais, a ordem do caos. É a ordem que aparece nos sistemas simbólicos que descrevem os fluxos

1

O termo fractal foi adotado por Benoit Mandelbrot, para identificar uma fam´ılia de formas que descrevem padr˜oes irregulares e fragmentados da natureza.

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de informa¸cão, nos sistemas de codifica¸cão e nos sistemas inteligentes. Com o novo século surge também a sociedade da tecnologia, da informa¸cão e comunica¸cão. Alan Turing, ma-temático britânico, introduz, em 1936, novas ”máquinas”, hoje conhecidas por máquinas de Turing, inicia a teoria da computabilidade e formaliza a computabilidade das fun¸cões. A natureza vai servir então de fonte de inspira¸cão para o desenvolvimento de técnicas: mode-lar, simular e emular fenómenos e mecanismos naturais em computador. Mas, para isso, foi fundamental o trabalho de um dos mais importantes matemáticos do século XX, John von Neumann.

John von Neumann, matemático norte-americano, de origem húngara, nascido em 1903, foi, de múltiplas formas, pioneiro na forma de pensar o computador. De facto, para além do conhecido envolvimento na constru¸cão do computador digital de alta velocidade EDVAC, von Neumann foi também um grande promotor da utiliza¸cão do computador como uma valiosa ferramenta matemática: segundo o próprio, as solu¸cões computacionais ajudariam na descoberta de conceitos úteis, na formula¸cão de princ´ıpios gerais e na constru¸cão de teorias. O ”uso heur´ıstico” dos computadores seria semelhante e poderia ser combinado com o tradicional método hipotético, dedutivo e experimental das Ciências Naturais. Nas palavras de von Neumann,

”many branches of both pure or applied mathematics are in great need of computing instruments to break the present stalemate created by failure of the purely analytical approach to non-linear problems. (. . . ) really efficient

high-speed computing devices may, in the field of non-linear partial differential equations as well as in many other fields, which are now difficult or entirely denied access, provide us with those heuristic hints which are needed in all parts of mathematics for genuine progress.”

Se nos lembrarmos o que, na altura, era um computador, um sistema gigantesco à base de válvulas, com uma fraqu´ıssima fiabilidade e uma velocidade de processamento incompara-velmente inferior à dos atuais, não deixa de ser surpreendente a visão de von Neumann e como proféticas foram as suas palavras2. De certa forma, von Neumann conseguiu prever que, no futuro, a Matemática, e as Ciências em geral, iriam conseguir abordar problemas de cariz completamente diferente, sendo que os computadores providenciariam uma excelente oportunidade para esse tipo de estudos.

2_{Sobretudo se pensarmos que, para a sua concretiza¸}_c˜_{ao, foi necess´}_{ario esperar trˆ}_{es d´}_{ecadas, pela} cons-tru¸c˜ao de sistemas computacionais simb´olicos.

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Nas suas pesquisas, relacionadas com o desenvolvimento de computadores mais potentes e a sua programa¸cão, von Neumann aceitou uma sugestão do seu amigo Stanislaw Ulam. Este matemático, que estudava a forma¸cão de cristais utilizando como modelo uma grelha, que apelidava de espa¸co celular, tinha como paixão a cria¸cão de jogos matemáticos que produziam padrões geométricos, por vezes estranhos. A sugestão foi então no sentido de von Neumann usar um sistema discreto, um espa¸co celular, para procurar criar um modelo de autorreplica¸cão. Deste modo, surgiu o ”copiador e construtor universal”, isto é, uma ”máquina”capaz de reproduzir qualquer outra ”máquina”, inclusive a ela própria. A cópia, deste modo obtida, teria as mesmas carater´ısticas do original, sendo por isso também capaz de se autorreproduzir. A ideia passou por considerar um conjunto fixo e bastante universal de conexões, ou circuitos, na ”máquina”, um ”fluxograma”e um ”código”. Von Neumann resolveu este problema, de regressão infinita, da seguinte forma: a descri¸cão agiria primeiro como um genoma, sendo interpretado, a fim de construir uma cópia do construtor univer-sal; a descri¸cão seria então literalmente copiada. Deste modo, foi introduzido o primeiro autómato celular, tendo por base uma grelha bidimensional, constitu´ıda por 200 000 células, onde cada célula do sistema podia assumir um de 29 estados. Estes estados variavam ao longo do tempo de acordo com regras deterministas, eram descritos por s´ımbolos indicati-vos da sua funcionalidade. Assim, o estado de uma célula, num instante t, seria obtido em fun¸cão do estado, no instante anterior, de um número finito de células na sua vizinhan¸ca. Essa vizinhan¸ca, hoje conhecida por vizinhan¸ca de von Neumann, corresponde ao conjunto de quatro células adjacentes, ou cinco, se incluirmos a própria. Embora as regras referidas fossem as mesmas para todos os componentes do sistema, o estado das células do sistema poderia variar de forma muito complexa com o tempo, podendo originar novos sistemas e chegando até à sua autorreprodu¸cão.

Para von Neumann, a teoria dos autómatos celulares tinha como objectivo construir um corpo coerente de conceitos e princ´ıpios relacionados com a estrutura e organiza¸cão de sistemas naturais e artificiais, com o papel da linguagem e informa¸cão nesses sistemas e com a sua programa¸cão e controlo. Seria então uma área intermédia entre a lógica, a teoria da comunica¸cão e a fisiologia. Nesse sentido, podemos afirmar que a conce¸cão de von Neumann sobre a teoria dos autómatos celulares estava muito próxima da conce¸cão de ci-bernética de Norbert Wiener3, tendo sido mutuamente influenciadas4. No entanto, a teoria 3_{Norbert Wiener, matem´}_{atico nascido, em 1894, nos Estados Unidos da Am´}_{erica, foi um dos} impulsionado-res da Cibernética, tendo publicado, em 1948, o importante livro Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine.

4

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dos autómatos celulares dava mais ênfase à lógica e aos computadores digitais, enquanto a cibernética orientava-se mais para a fisiologia e engenharia de controlo. Entende-se, deste modo, o vincado caráter interdisciplinar da teoria dos autómatos e, nesse contexto, importa vincar a distin¸cão entre os dois tipos de autómatos celulares, artificiais e naturais, apre-sentada por von Neumann. Segundo von Neumann, os computadores analógicos e digitais representavam os autómatos celulares artificiais mais importantes, podendo-se também in-cluir nessa categoria outros sistemas, desenvolvidos por seres humanos, de comunica¸cão e processamento de informa¸cão, tais como, o telefone e o rádio. Como exemplos de autómatos celulares naturais von Neumann apresenta o sistema nervoso, o sistema imunológico, siste-mas autorreprodutivos e sistesiste-mas que envolvem evolu¸cão e adapta¸cão de organismos vivos. Em 1970, o matemático John Conway, inventou o conhecido Jogo da Vida, um autómato celular bidimensional que simula a evolu¸cão temporal de sistemas de células biológicas. Divulgado, pela primeira vez, na popular coluna de jogos matemáticos que Martin Gardner, durante muitos anos, manteve na revista de divulga¸cão cient´ıfica, Scientific American, o Jogo da Vida chamou novamente a aten¸cão dos meios académicos para os autómatos celulares. A ideia base do jogo parte de uma configura¸cão simples de células vivas (organismos), a que se aplicam quatro ”leis genéticas”para nascimentos, mortes e sobrevivência. Deste modo, a cada instante, surge uma nova gera¸cão de células. Estas regras ou leis podem ser descritas do seguinte modo: uma célula viva, com menos de dois vizinhos vivos, morre; uma célula viva, com mais de três vizinhos vivos, morre; uma célula morta, com exatamente três vizinhos vivos, torna-se uma célula viva e, finalmente, uma célula viva, com dois ou três vizinhos vivos, continua no mesmo estado para a próxima gera¸cão. Este autómato celular, embora simples, é capaz de revelar uma evolu¸cão temporal com padrões surpreendentes e complexos, tendo sido essa complexidade, a partir do nada, que fascinou um numeroso grupo de seguidores, ao longo de várias décadas.

No in´ıcio da década de 1980, o f´ısico inglês Stephen Wolfram procurava responder a certas questões relacionadas com acontecimentos quotidianos ou fenómenos naturais, tais como: qual é a origem dos padrões complicados que se observam nos flu´ıdos dinâmicos? Como são produzidos os padrões sofisticados dos flocos de neve? Qual é o mecanismo básico que está na origem no modo de crescimento complexo de certas plantas e animais?

A partir das experiências computacionais realizadas, Wolfram mostrou que autómatos celulares extremamente simples, neste caso, cadeias unidimensionais de elementos em in-tera¸cão com os seus vizinhos diretos, assumindo cada célula o estado zero ou um, tinham

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ainda capacidade de exibir comportamentos muito complicados. Mais tarde, na obra que publicou em 2002, A New Kind of Science, Wolfram argumenta que, a constata¸cão de que sistemas muito simples, cuja evolu¸cão temporal é determinada por regras igualmente sim-ples, a partir de configura¸cões iniciais sem qualquer estrutura, podem exibir comportamentos complicados, é o fenómeno básico responsável pela maioria da complexidade verificável na natureza.

Hoje em dia, podemos dizer que o estudo dos autómatos celulares ocupa um lugar de destaque na Matemática e em diversificadas áreas cient´ıficas. Devido à sua capacidade de gerar uma ampla variedade de padrões comportamentais, por vezes complexos, apesar das suas muito simples regras de evolu¸cão temporal, algumas das dinâmicas exibidas pelos autómatos celulares mostram grandes semelhan¸cas com comportamentos, auto-organizados e complexos, observados na Natureza. Desta forma, temos que os autómatos celulares provi-denciam um modelo, matematicamente rigoroso, mas simultaneamente muito simples, para estudar sistemas dinâmicos discretos, que envolvam componentes que interagem localmente, gerando, na sua evolu¸cão, complexidade e comportamentos imprevis´ıveis.

O conceito de autómato celular elementar, proposto por Wolfram, encontra-se desen-volvido ao longo do Cap´ıtulo 2, onde essencialmente se abordam conceitos básicos e a equivalência dinâmica entre autómatos celulares elementares. No Cap´ıtulo 3, o estudo recai sobre as dinâmicas dos autómatos celulares elementares finitos, para diferentes escolhas da condi¸cão de fronteira. Finalmente, no Cap´ıtulo 4, propomos uma classifica¸cão das regras de transi¸cão independentemente das condi¸cões de fronteira escolhidas para os autómatos celulares elementares finitos. Ao estudar as cinco regras de transi¸cão que não se enquadram na classifica¸cão proposta por nós, mostramos que duas delas exibem comportamentos muito diversos, com diferentes escolhas para as condi¸cões de fronteira.

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Cap´ıtulo 2

Aut´

omatos Celulares Elementares

Stephen Wolfram, na década de 80, introduziu os autómatos celulares elementares como modelos matemáticos simples de sistemas naturais. Segundo Wolfram, os autómatos celu-lares podem ser considerados como idealiza¸cão discreta das equa¸cões diferenciais parciais frequentemente utilizadas para descrever sistemas naturais. Essa natureza discreta também permite a analogia com computadores digitais, pois os autómatos celulares podem ser vistos como computadores de processamento paralelo (ou seja, o processamento dos elementos de um sistema evolui simultaneamente e independentemente) e de constru¸cão simplificada.

Hoje em dia existem muitas generaliza¸cões do conceito de autómato celular inicialmente proposto por Wolfram. Neste cap´ıtulo iremos apresentar uma abordagem aos autómatos celulares por ele estudados, habitualmente designados por autómatos celulares elementares.

2.1 Conceitos b´

asicos sobre aut´

omatos celulares elementares

Um autómato celular elementar é um sistema dinâmico discreto no espa¸co, no tempo e nos estados que cada um dos seus elementos pode assumir. De seguida, importa pormeno-rizar o significado desta afirma¸cão.

2.1.1 Configura¸c˜ao de um aut´omato celular elementar

Um aut´omato celular elementar consiste num conjunto infinito ou finito de elementos, habitualmente designados por c´elulas, dispostos ao longo de uma linha reta, podendo cada um desses elementos estar num de dois estados, descritos pelos valores 0 e 1.

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Defini¸cão 2.1 Dado um autómato celular elementar, vamos chamar configura¸cão do sis-tema ao conjunto dos estados que cada uma das suas células assume.

Caso o número de células do sistema seja finito, a configura¸cão do sistema vai ser represen-tada por

A = a1a2. . . an, (2.1)

onde por ai se denota o estado em que se encontra a célula na posi¸cão i. Se o número de

células do sistema é infinito, então a configura¸cão do sistema vai ser representada por A = . . . a−2a−1a0 a1 a2 . . . . (2.2)

Por exemplo, para um aut´omato celular elementar composto por vinte c´elulas, temos que

A = 01001011100101001001 (2.3)

é uma configura¸cão poss´ıvel. Na figura seguinte, apresenta-se essa configura¸cão grafica-mente, onde as células do sistema são representadas por quadrados dispostos ao longo de um segmento de reta e a configura¸cão do sistema é obtida pintando cada célula de acordo com o seu estado: um quadrado branco representa uma célula no estado 0 e um quadrado preto uma célula no estado 1.

Figura 2.1: Configura¸cão de um autómato celular elementar com vinte células, onde as células no estado 0 são representadas por quadrados brancos e as células no estado 1 são representadas por quadrados pretos.

Neste trabalho vamos estudar apenas autómatos celulares com um número finito de elementos. Por isso, muito embora alguns resultados sejam válidos para ambos os tipos de sistemas, estes serão apresentados apenas no contexto mais restrito que nos interessa.

Os autómatos celulares elementares são modelos de evolu¸cão temporal. Vejamos de seguida de que forma se permite que um autómato modifique a sua configura¸cão com o passar do tempo.

2.1.2 Dinˆamica de um aut´omato celular elementar

Num autómato celular elementar, o estado de cada célula evolui em instantes discretos de tempo, de acordo com uma certa regra de transi¸cão, comum para todas as células do sistema, sendo esta aplicada de forma s´ıncrona para todas elas.

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Por defini¸cão, para autómatos celulares elementares, a regra que determina o estado de cada célula, no instante seguinte, depende do estado de três células: a própria célula, a célula à sua esquerda e a célula à sua direita. Temos assim que uma regra de transi¸cão é uma fun¸cão booleana com três variáveis φ : {0, 1}3 → {0, 1}.

Como vimos, a regra de transi¸cão determina, a partir da configura¸cão do sistema num instante t, qual será a configura¸cão que o sistema assumirá no instante t + 1. Localmente, a transi¸cão é feita a partir do conhecimento do estado da própria célula e do estado das suas células vizinhas. Deste modo, existem 23= 8 configura¸cões distintas para os estados dessas três células e assim explicitar uma regra de transi¸cão significa estabelecer uma resposta para cada uma dessas configura¸cões. Uma vez que essa resposta é um valor booleano, podemos concluir que existem apenas 28= 256 regras de transi¸cão diferentes, ou seja, 256 autómatos celulares elementares distintos. Por curiosidade, vejamos qual o número de regras que se obtém quando alteramos alguns destes parâmetros.

Para autómatos celulares elementares considera-se que a regra de transi¸cão depende do estado de um conjunto de três células. Se, por exemplo, considerarmos vizinhan¸cas com-postas por 5 células, o número de regras distintas sobe imediatamente para 4 294 967 296, uma vez que agora estamos perante uma fun¸cão booleana com cinco variáveis, logo existem 25 = 32 configura¸cões distintas para o conjunto de células consideradas, e assim temos que o número de fun¸cões diferentes é dado por 232. Por outro lado, se, em vez de autómatos celulares onde o estado de cada célula assume um valor booleano, considerarmos autómatos com estados tomando valores num conjunto um pouco maior, por exemplo, em {0, 1, 2}, conservando ainda a sua dependência na configura¸cão de um conjunto de três vizinhos, o número de regras atinge números inacreditavelmente grandes! De facto, nesse caso existem 33 _{= 27 configura¸}_c˜_{oes poss´ıveis para os conjuntos de trˆ}_{es c´}_{elulas e assim, temos que}

exis-tem 327 regras de transi¸c˜ao distintas, um n´umero bem superior ao anterior, sendo dado por 7 625 597 484 987 ≈ 7.6 × 1012.

No caso geral, se denotarmos por d o número de estados que cada célula do sistema pode assumir e por k o número de células que influenciam a evolu¸cão temporal de cada célula, temos que existem dkconfigura¸cões poss´ıveis para os conjuntos de k células, da´ı que o número de regras de transi¸cão distintas venha dado por ddk.

Existem várias formas de explicitar uma regra de transi¸cão para um autómato celular elementar. De seguida, vamos apresentar três dessas representa¸cões. Tratando-se de uma fun¸cão booleana, é sempre poss´ıvel escrever o seu resultado a partir das opera¸cões booleanas

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mais simples. Por exemplo, se escrevermos

φ(x, y, z) = (x + y + z) mod 2, (2.4) temos perfeitamente explicitado o resultado da fun¸cão para qualquer valor dos seus argu-mentos1. Contudo, este tipo de representa¸cão de uma fun¸cão booleana nem sempre é tão simples como o exemplo mostrado. Por essa razão, é por vezes conveniente usar um outro tipo de explicita¸cão, neste caso, através de uma tabela.

A regra de transi¸c˜ao local de um aut´omato celular elementar pode ser apresentada da seguinte forma:

111 110 101 100 011 010 001 000 d7 d6 d5 d4 d3 d2 d1 d0

Tabela 2.1: Representa¸cão tabular de uma fun¸cão booleana com três variáveis.

onde numa primeira linha são apresentadas todas as oito configura¸cões poss´ıveis para o conjunto de três células, colocando-se imediatamente por baixo o valor di = φ(x, y, z), com

i = 4x + 2y + z, que a fun¸cão determina para cada uma dessas configura¸cões. A justifica¸cão para o modo de escrita de cada uma das respostas será evidente mais tarde. Voltando à fun¸cão booleana explicitada em (2.4), temos que a sua representa¸cão tabular é dada por:

111 110 101 100 011 010 001 000

1 0 0 1 0 1 1 0

Tabela 2.2: Representa¸c˜ao tabular da fun¸c˜ao booleana descrita em (2.4).

Por fim, a terceira e última das representa¸cões que vamos apresentar para uma fun¸cão booleana passa por utilizar um gráfico.

A representa¸cão gráfica da fun¸cão booleana, que determina a evolu¸cão temporal de um autómato celular elementar, passa fundamentalmente por atribuir uma cor a cada um dos valores do estado de uma célula e seguir a representa¸cão tabular proposta anteriormente. Assim, tal como referimos anteriormente, vamos come¸car por fazer corresponder uma célula a um quadrado, que se apresentará pintado de branco, se o estado dessa célula for zero, e pintado de preto, caso esse estado seja igual a um. Deste modo, podemos mostrar num gráfico as oito configura¸cões poss´ıveis para os conjuntos de três células, acrescentando por

1

A escrita de cada uma das 256 fun¸c˜oes booleanas em termos de opera¸c˜oes booleanas elementares, pode ser vista no livro de Stephen Wolfram, A New Kind of Science.

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baixo da c´elula central, o estado que a fun¸c˜ao booleana determina para ela, no instante seguinte.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7

Figura 2.2: Representa¸cão gráfica de uma fun¸cão booleana. Neste caso, os quadrados correspondentes ao estado da célula central no instante seguinte virão pintados de branco, caso di seja nulo, ou de preto, caso contrário.

Para o exemplo de fun¸cão booleana anterior, temos que a sua representa¸cão gráfica é dada da seguinte forma:

Figura 2.3: Representa¸cão gráfica da fun¸cão booleana explicitada em (2.4).

No caso de sistemas com um número infinito de elementos, verifica-se facilmente que a regra de transi¸cão local φ determina a evolu¸cão da totalidade do sistema: de facto, se, num certo instante o sistema assume a configura¸cão A = (ai), com i ∈ Z, então assumirá

a configura¸c˜ao A0 = (a0_i), com i ∈ Z no instante seguinte, onde

a0_i = φ(ai−1, ai, ai+1), i ∈ Z. (2.5)

Deste modo, vamos poder falar de um autómato celular elementar φ e dizer que existem 256 autómatos celulares elementares distintos, tantos quantas as fun¸cões booleanas φ diferentes. Contudo, quando estamos a estudar a dinâmica de sistemas com um número finito de elementos, surge um problema adicional que é preciso resolver: como definir as vizinhan¸cas para a primeira e a última células do sistema. Desse modo, é evidente que a dinâmica do autómato celular elementar não vai ficar definida apenas através da explicita¸cão de uma regra de transi¸cão local φ, sendo também necessário escolher condi¸cões de fronteira para o sistema.

2.1.3 Condi¸c˜oes de fronteira para aut´omatos celulares elementares finitos

Como já foi referido, num autómato celular elementar, a regra de transi¸cão que determina o estado de cada célula, no instante seguinte, depende do estado da própria célula e do

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estado das duas células que lhe são adjacentes. Ora, para sistemas com um número finito de elementos, é evidente que o primeiro parâmetro da regra de transi¸cão local para a primeira célula do sistema está indefinido, assim como o terceiro parâmetro da regra de transi¸cão local para a última das células do sistema. De seguida, iremos resolver esta questão apresentando seis diferentes condi¸cões de fronteira para o sistema2.

Condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas

Num autómato celular elementar com um número finito de elementos, dizemos que as condi¸cões de fronteira são periódicas quando escolhemos como vizinha esquerda da primeira célula a última célula do sistema e para vizinha direita da última a primeira célula do sistema. Desta forma, se o sistema assume a configura¸cão A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo

instante, temos que a configura¸cão A0 = (a0_i), com i = 1, . . . , n, que assumirá no instante seguinte é dada por

           a0₁= φ(an, a1, a2)

a0_i= φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n − 1

a0_n= φ(an−1, an, a1)

(2.6)

Esta escolha para condi¸cões de fronteira determina que o sistema assuma uma estrutura c´ıclica, fechada sobre si mesma, a partir da continuidade na forma como as células estão dispostas ao longo de uma circunferência. Na figura seguinte mostramos a configura¸cão de um sistema com vinte células apresentada anteriormente em (2.3), considerando condi¸cões de fronteira periódicas.

Figura 2.4: Representa¸cão gráfica da configura¸cão considerada em (2.3), considerando condi¸cões de fronteira periódicas para o sistema.

Como facilmente se percebe, esta forma de apresentar o sistema, sendo verdadeira, não é de todo a que nos mostra de forma clara a configura¸cão que o sistema assume naquele 2_{Naturalmente que as seis condi¸}_c˜_{oes para a fronteira do sistema que vamos considerar n˜}_{ao esgotam todas} as possibilidades, mas podemos dizer que, de certa forma, são as mais importantes.

(21)

instante. Por essa razão, as configura¸cões com estrutura c´ıclica, correspondentes a sistemas com condi¸cões de fronteira periódicas, passaram a ser representadas da forma que de seguida se descreve.

Consideremos uma configura¸cão correspondente a um sistema com condi¸cões de fronteira periódicas e imaginemos que é efetuado um corte na configura¸cão de modo a separar duas das suas células. Com este procedimento, vamos de novo obter um conjunto de células dispostas ao longo de um segmento de reta, onde as células que foram separadas vão surgir como pertencentes a uma fronteira meramente virtual, gerada pelo nosso corte. Na figura seguinte apresentamos um exemplo, onde, para além da configura¸cão do sistema, se incluem a última célula do sistema, colocada à esquerda, e a primeira célula do sistema, colocada à direita, por forma a não só relembrar o caráter c´ıclico do sistema, mas também para facilitar o cálculo do estado das células da fronteira do sistema no instante seguinte.

Figura 2.5: Representa¸cão gráfica da configura¸cão considerada em onde se mostra, também, as duas células que representam as condi¸cões de fronteira periódicas do sistema.

Condi¸c˜oes de fronteira por reflex˜ao

A segunda solu¸cão para definir as vizinhan¸cas das células, situadas na fronteira de siste-mas com um número finito de elementos, tem a sua origem em condi¸cões de fronteira que habitualmente se consideram em equa¸cões diferenciais. Neste caso, cada uma das células da fronteira do sistema vai tomar para parâmetro em falta uma cópia de si própria: são por isso chamadas condi¸cões de fronteira por reflexão. Assim, se o sistema assume a configura¸cão A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo instante, temos que a configura¸cão A0 = (a0i), com

i = 1, . . . , n, que assumir´a no instante seguinte ´e dada por:            a0₁= φ(a1, a1, a2)

a0_i= φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n − 1

a0_n= φ(an−1, an, an)

(2.7)

Neste caso, ao contrário dos sistemas com condi¸cões de fronteira periódicas, os sistemas vão conservar a geometria inicial de um conjunto de células dispostas ao longo de um segmento de reta. As condi¸cões de fronteira, agora, impõem apenas a não varia¸cão do estado à esquerda e à direita, respetivamente, da primeira e da última células. Assim sendo, a representa¸cão gráfica destes sistemas é muito semelhante ao que foi anteriormente

(22)

mostrado: a figura seguinte mostra a configura¸cão (2.3), onde desta vez se incluem também as células, que não pertencendo ao sistema, correspondem à escolha de condi¸cões de fronteira por reflexão.

Figura 2.6: Representa¸cão gráfica da configura¸cão apresentada em (2.3), onde se mostra, também, as células virtuais à esquerda e à direita cujos estados correspondem a condi¸cões de fronteira por reflexão.

Condi¸c˜oes de fronteira fixas

Por fim, vamos apresentar a situa¸cão, também ela comum em condi¸cões de fronteira para equa¸cões diferenciais, em que se consideram condi¸cões de fronteira fixas para os sistemas. Por outras palavras, esta escolha corresponde a considerar duas células virtuais, à esquerda e à direita do sistema, cujo estado, ae e ad, respetivamente, permanece invariante com o

tempo. Deste modo, se o sistema assume a configura¸c˜ao A = (ai), com i = 1, . . . , n, num

certo instante, temos que a configura¸cão A0 = (a0_i), com i = 1, . . . , n, que assumirá no instante seguinte é dada por:

           a0₁= φ(ae, a1, a2)

a0_i= φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n − 1

a0_n= φ(an−1, an, ad)

(2.8)

onde ae, ad ∈ {0, 1}. Tal como no caso anterior, a representa¸cão gráfica da configura¸cão

de um sistema com estas condi¸cões de fronteira fixas corresponde exatamente à coloca¸cão de um conjunto de células ao longo de um segmento de reta. Na figura seguinte, vamos representar o sistema assumindo a configura¸cão apresentada em (2.3) e as duas células virtuais correspondentes a condi¸cões de fronteira fixas, neste caso para valores ae= ad= 0.

Figura 2.7: Representa¸cão gráfica da configura¸cão apresentada em (2.3), onde se mostram, também, as duas células virtuais cujos estados correspondem à escolha de condi¸cões de fronteira fixas nulas.

Estas são as escolhas de condi¸cões de fronteira para os sistemas que vamos considerar neste trabalho. Por outras palavras, iremos estudar autómatos celulares elementares finitos (φ, α), onde α ∈ {p, r, 00, 01, 10, 11} explicita a condi¸cão de fronteira escolhida para o

(23)

sistema. Para facilitar a nota¸cão, a partir de agora um autómato celular elementar finito será denotado pela regra de transi¸cão global Φα, que determina a configura¸cão, no instante

seguinte, a partir da configura¸c˜ao assumida pelo sistema num determinado instante. Assim, supondo que o sistema assume a configura¸c˜ao A = (ai), com i = 1, . . . , n, teremos que

no instante seguinte ser´a levado a assumir a configura¸c˜ao A0 = (a0_i) dada por (2.6), caso α = p, ou dada por (2.7), caso α = r, ou ainda por (2.8), caso α = aead.

2.1.4 Atratores e bacias de atra¸c˜ao

Como ficou desde logo patente com os primeiros trabalhos de Wolfram, a representa¸cão gráfica da dinâmica de um autómato celular tem um papel fundamental no seu estudo: chamaremos diagrama espa¸co-tempo à representa¸cão gráfica do conjunto das configura¸cões que o sistema assume durante um certo intervalo de tempo.

Consideremos a dinâmica do autómato celular elementar Φp composto por 20 células,

ao longo de trˆes instantes de tempo, a partir da configura¸c˜ao inicial A = 01001011100101001001

cuja evolu¸cão temporal se faz de acordo com a regra de transi¸cão apresentada em (2.4). O diagrama espa¸co-tempo, que vai representar a dinâmica do sistema, vai ser obtido apresen-tando as configura¸cões assumidas para valores de t crescentes por baixo umas das outras. Dessa forma, a figura constru´ıda tem o espa¸co, isto é, o conjunto de células dispostas ao longo de um segmento de reta, no eixo horizontal, e o tempo no eixo vertical, com valores crescentes de t de cima para baixo. A figura seguinte mostra-nos o diagrama espa¸co-tempo da dinâmica nos primeiros três instantes de tempo.

(t = 0) (t = 1) (t = 2) (t = 3)

Figura 2.8: Diagrama espa¸co-tempo da evolu¸cão temporal de um autómato celular elementar composto por 20 células, para os três primeiros instantes de tempo, com condi¸cões de fronteira periódicas, de acordo com a regra de transi¸cão φ descrita em (2.4).

(24)

Contrariamente ao que é habitual, neste diagrama espa¸co-tempo estamos a acrescentar, à esquerda e à direita das configura¸cões assumidas pelo sistema em cada instante, as células virtuais correspondentes à escolha de condi¸cões de fronteira periódicas, tal como a indica¸cão dos instantes correspondentes. Naturalmente que, em querendo construir estes diagramas para sistemas com maior número de células e para intervalos de tempo mais longos, seremos levados a simplificar, mostrando apenas as configura¸cões assumidas pelo sistema, uma vez que a restante informa¸cão é redundante. Estes diagramas são muitas vezes suficientes para apreender alguns dos aspetos mais importantes da dinâmica do autómato celular.

Consideremos agora um sistema constitu´ıdo por 12 células, cuja evolu¸cão temporal é uma vez mais determinada pela regra de transi¸cão (2.4), escolhendo ainda condi¸cões de fronteira periódicas. Na figura seguinte é apresentado o diagrama espa¸co-tempo da dinâmica que se observa a partir da configura¸cão inicial A = 111011100101.

Figura 2.9: Diagrama espa¸co-tempo da evolu¸cão temporal do autómato celular elementar constitu´ıdo por 12 células, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transi¸cão é dada por (2.4), com condi¸cões de fronteira periódicas.

A partir deste diagrama espa¸co-tempo, é facilmente percet´ıvel que, após alguns escassos instantes, o sistema vai repetir para sempre uma mesma configura¸cão, neste caso a confi-gura¸cão A0 = 010101010101. A repeti¸cão para sempre desta configura¸cão pode ser forma-lizada como Φp(A0) = A0, sendo por isso natural designar esta configura¸cão por ponto fixo

do aut´omato.

Defini¸cão 2.2 Uma configura¸cão A diz-se um ponto fixo de um autómato celular elementar Φα se Φα(A) = A.

Contudo, este não é o único destino poss´ıvel para a dinâmica de um autómato celular elementar, senão vejamos: ainda para um sistema composto por 12 células, cuja dinâmica é determinada pela regra de transi¸cão (2.4), mas desta vez considerando condi¸cões de fronteira por reflexão, atentemos no diagrama espa¸co-tempo que descreve a dinâmica a partir da configura¸cão inicial A = 111010110001.

(25)

Figura 2.10: Diagrama espa¸co-tempo da evolu¸cão temporal do autómato celular elementar constitu´ıdo por 12 células, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transi¸cão é dada por (2.4), com condi¸cões de fronteira por reflexão.

Como podemos observar, o diagrama espa¸co-tempo mostra-nos claramente que desta vez o sistema vai acabar por repetir ciclicamente um conjunto de quatro configura¸cões. Tal como fizemos anteriormente, podemos formalizar esse facto da seguinte forma: denotemos por B, C, D, E as configura¸cões que o sistema assume nos instantes t = 2, 3, 4, 5, respetiva-mente; então, verifica-se que Φr(B) = C, Φr(C) = D, Φr(D) = E e Φr(E) = B. Uma vez

que estamos perante uma repeti¸cão c´ıclica de um conjunto de quatro configura¸cões, vamos dizer que o sistema tem como destino um ciclo de configura¸cões.

Defini¸c˜ao 2.3 Dado um aut´omato celular Φα, dizemos que um conjunto {A1, A2, . . . , Ap}

de configura¸c˜oes ´e um ciclo para Φα se

             Φα(A1) = A2 .. . Φα(Ap−1) = Ap Φα(Ap) = A1

O número de elementos de um ciclo diz-se o seu per´ıodo. No exemplo anterior, temos que o destino da dinâmica é um ciclo de per´ıodo 4. Muitas vezes, com um abuso de linguagem, também se diz que um ponto fixo é um ciclo de per´ıodo um.

Quando consideramos autómatos celulares finitos temos imediatamente que o número de configura¸cões, que o sistema pode assumir, é também em número finito. Este facto permite concluir que, qualquer que seja a configura¸cão inicial, o destino da dinâmica de um autómato celular, com um número finito de elementos, é sempre um ponto fixo ou um ciclo. Por outras palavras, a dinâmica de um autómato celular com um número finito de elementos acaba sempre com a repeti¸cão de uma configura¸cão, um ponto fixo, ou com a repeti¸cão c´ıclica de um conjunto de configura¸cões, um ciclo. Por influência da Teoria dos

(26)

Sistemas Dinâmicos, os poss´ıveis destinos para as dinâmicas de um autómato celular são chamados os atratores do autómato.

Defini¸c˜ao 2.4 Diz-se que um conjunto de configura¸c˜oes A = {A1, . . . , Am}, com m ≥ 1,

é um atrator do autómato celular Φα, se Φα(Ak) ∈ A, para todo Ak∈ A, mas o mesmo já

não acontece para qualquer subconjunto próprio e não vazio de A.

Associado a cada atrator de um autómato celular vamos ter o conjunto das configura¸cões cujas dinâmicas têm esse atrator como destino.

Defini¸cão 2.5 Dado um atrator A de um autómato celular elementar, chama-se bacia de atra¸cão de A, B(A), ao conjunto das configura¸cões a partir das quais é poss´ıvel ao sistema chegar a uma configura¸cão pertencente a A.

Escolhida uma configura¸cão inicial para o sistema, o número de instantes necessários para o sistema chegar ao atrator traduz uma medida da sua distância ao atrator. É nesse sentido que vamos poder dizer que uma configura¸cão se encontra mais próxima que outra do atrator. Naturalmente, de uma configura¸cão pertencente ao atrator, diremos que se encontra a uma distância zero.

Escolhido um autómato celular elementar, o conhecimento de todas as suas bacias de atra¸cão é equivalente a conhecer com todo o detalhe as dinâmicas admiss´ıveis por esse autómato. Por isso, para sistemas com um número razoável de células, estaremos sempre perante uma gigantesca quantidade de informa¸cão que dificilmente teremos capacidade de apreender, o que limita o estudo de todas as dinâmicas poss´ıveis para um autómato celular.

2.1.5 Representa¸c˜ao de Wolfram de uma regra de transi¸c˜ao

Logo nos seus primeiros trabalhos, Wolfram introduziu uma forma muito sucinta de representar uma regra de transi¸c˜ao local por um n´umero inteiro.

Defini¸cão 2.6 Dada uma regra de transi¸cão local φ, chama-se representa¸cão de Wolfram de φ, ao número inteiro Nφ dado por

Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2= 7

X

k=0

dk2k, (2.9)

(27)

Para o exemplo apresentado em (2.4), temos que

d0 = 0 d1 = 1 d2= 1 d3= 0

d4 = 1 d5 = 0 d6= 0 d7= 1

pelo que a representa¸cão de Wolfram da regra de transi¸cão local φ descrita em (2.4) é dada por Nφ= (10010110)2= 150.

Inversamente, dada a representa¸cão de Wolfram de uma regra de transi¸cão local, facil-mente se chega à sua explicita¸cão. Por exemplo, seja Nφ= 30 a representa¸cão de Wolfram

de uma regra de transi¸c˜ao local. Ent˜ao, uma vez que 30 = (00011110)2, conclui-se

imedi-atamente que a sua regra de transi¸c˜ao ´e dada por

Figura 2.11: Representa¸cão gráfica da regra de transi¸cão local φ com representa¸cão de Wolfram Nφ= 30.

Neste caso, e como é habitual, apresentamos as diferentes configura¸cões da vizinhan¸ca do autómato celular elementar por ordem decrescente, por forma a que a leitura dos d´ıgitos da representa¸cão binária seja direta.

Esta ideia de representar os elementos de uma fam´ılia de regras de transi¸cão local por um número inteiro pode ser generalizada: definido o conjunto de todas as configura¸cões para a vizinhan¸ca de cada célula do sistema, basta assumir uma certa ordem para elas e imediatamente a representa¸cão por um número inteiro surge da escrita, na base k, das respostas que a regra assume para cada uma dessas configura¸cões, sendo k o número de estados distintos que um elemento do autómato celular pode assumir.

De seguida, vamos introduzir uma representa¸cão gráfica das bacias de atra¸cão, logo, de todas as dinâmicas admiss´ıveis, de um autómato celular elementar. Como foi mencionado anteriormente, estes gráficos pretendem facilitar a assimila¸cão de uma quantidade muito grande de informa¸cão, muito embora a sua eficácia esteja limitada a valores baixos para o número de elementos do sistema.

(28)

2.2 Diagramas de Wuensche

Em 1992, Andrew Wuensche propôs uma representa¸cão gráfica para a totalidade das dinâmicas admiss´ıveis para os autómatos celulares com um número finito de elementos. Como nesse gráfico vamos querer incluir todas as configura¸cões do sistema, facilmente se depreende que se trata de algo só praticável para sistemas com um número muito pequeno de elementos.

De seguida, vamos construir o diagrama de Wuensche para o autómato celular elementar composto por n = 5 células, cuja evolu¸cão temporal é determinada pela regra de transi¸cão com representa¸cão de Wolfram Nφ= 143, assumindo-se condi¸cões de fronteira periódicas.

Para tal, vamos come¸car por encontrar qual a configura¸cão do sistema após um instante de tempo, considerando todas as configura¸cões iniciais poss´ıveis para o sistema. A tabela seguinte mostra, graficamente, o resultado desse estudo.

Tabela 2.3: Evolu¸cão temporal determinada pela regra com representa¸cão de Wolfram Nφ = 143, a partir de todas as poss´ıveis configura¸cões de um sistema com n = 5 células,

consideradas condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas.

Observando a tabela anterior, verifica-se que a configura¸cão A = 11111 se mantém inva-riante, isto é, que Φp(A) = A, logo estamos perante um atrator do sistema, que passaremos

a designar por A1.

A informa¸cão apresentada na Tabela 2.3, muito embora diga apenas respeito à evolu¸cão temporal do sistema após um instante de tempo, permite conhecer a totalidade das dinâmicas do autómato, qualquer que seja a configura¸cão inicial escolhida e para qualquer intervalo de tempo. Assim sendo, com uma análise mais detalhada dessa tabela é poss´ıvel cons-tatar existirem dois conjuntos, formados, respetivamente, por cinco e dez configura¸cões, onde é patente uma repeti¸cão c´ıclica entre elas, logo são também atratores para o sistema. Graficamente, esses ciclos de configura¸cões podem ser apresentados do seguinte modo: o primeiro dos ciclos, que designaremos por A2, é formado pelo seguinte conjunto de cinco

(29)

configura¸c˜oes:

Figura 2.12: Atractor A2 do aut´omato.

O segundo ciclo, de per´ıodo p = 10, ser´a designado por A3 e tem por elementos as seguintes

configura¸c˜oes:

Figura 2.13: Atractor A3 do aut´omato.

Para além da identifica¸cão dos atratores do autómato celular, a Tabela 2.3 mostra-nos também que as dinâmicas, a partir de qualquer outra configura¸cão, vão encontrar o atrator logo após um ou dois instantes de tempo. De seguida, vamos descrever, ainda a partir da mesma tabela, como as restantes configura¸cões se distribuem pelas bacias de atra¸cão de cada um dos atratores.

Como facilmente se observa, logo após um instante de tempo, a configura¸cão 00000 encontra o ponto fixo atrator A1. Assim, esta configura¸cão pertence à bacia de atra¸cão

B(A1). A partir da Tabela 2.3 é também poss´ıvel concluir que nenhuma outra configura¸cão

encontra, quer a configura¸cão 11111, quer a configura¸cão 00000, pelo que a bacia de atra¸cão B(A1) tem apenas dois elementos:

B(A1) = {11111, 00000}.

Ainda pela Tabela 2.3, verificamos que o sistema, partindo de uma das configura¸c˜oes 00011, 00110, 01100, 01111, 10001, 10111, 11000, 11011, 11101 ou 11110 assume, logo no instante seguinte, uma das configura¸c˜oes do atrator A2; e que o sistema, partindo de uma das

(30)

configura¸cões 00001, 00010, 00100, 01000 ou 10000, assume, após dois instantes de tempo, uma das configura¸cões do mesmo ciclo atrator. Resumindo, temos que

B(A2) = {00111, 01110, 11100, 11001, 10011, 00011, 00110, 01100, 01111, 10001,

10111, 11000, 11011, 11101, 11110, 00001, 00010, 00100, 01000, 10000}. Por fim, também é poss´ıvel concluir, a partir da Tabela 2.3, que nenhuma outra configura¸cão que não as do atrator A3 pertencem à sua bacia de atra¸cão, isto é, que

B(A3) = {11010, 10010, 10110, 10100, 10101, 00101, 01101, 01001, 01011, 01010}.

Identificadas as três bacias de atra¸cão do autómato celular vamos de imediato construir o respetivo diagrama de Wuensche, tendo em conta as seguintes conven¸cões:

• o atrator deve ser colocado no centro da correspondente bacia de atra¸c˜ao;

• um ponto fixo atrator do autómato representa-se por um vértice; caso não seja evidente que esse vértice ocupa o centro da bacia, acrescenta-se um lacete para lembrar a evolu¸cão para si próprio;

• um ciclo atrator do autómato representa-se por um conjunto de vértices, unidos por arestas; esses vértices devem ser dispostos numa circunferência imaginária, estipulando-se que a evolu¸cão temporal dá-se no sentido negativo, isto é, sentido dos ponteiros do relógio;

• qualquer uma das restantes configura¸cões representa-se por um vértice que é ligado, por uma aresta, ao vértice correspondente à configura¸cão que de seguida vai encontrar; • configura¸cões situadas a uma mesma distância do atrator devem ser dispostas numa circunferência com o atrator como centro; deste modo, a bacia de atra¸cão, virá re-presentada por vértices colocados em circunferências concêntricas relativamente ao atrator;

• caso essa informa¸cão não seja relevante, deve-se simplificar o diagrama omitindo as configura¸cões a que cada vértice corresponde; desse modo, o gráfico que se obtém apresenta apenas uma informa¸cão qualitativa relativamente às dinâmicas admiss´ıveis para o autómato em causa.

Atendendo ao que foi anteriormente descrito, observemos na imagem seguinte o diagrama de Wuensche relativo às dinâmicas poss´ıveis para o autómato celular elementar Nφ= 143,

(31)

Figura 2.14: Diagrama de Wuensche do aut´omato celular elementar Nφ = 143, com

condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, para sistemas com n = 5 elementos.

Como se pode observar, neste caso optamos por incluir um lacete para salientar qual das duas configura¸c˜oes da bacia ´e o ponto fixo atrator.

Para entendermos a eficácia com que um diagrama de Wuensche descreve as dinâmicas de um autómato celular, vamos de seguida mostrar, sem a respetiva constru¸cão, o diagrama de Wuensche para o autómato celular elementar Nφ = 130, com condi¸cões de fronteira

periódicas e n = 6 células. O desafio consiste em ler, a partir da figura, alguns dos aspetos mais importantes das dinâmicas do autómato. Por exemplo, quantos atratores tem, se alguma das bacias é muito maior que as outras ou qual a distância máxima aos atratores em cada uma das bacias.

(32)

Figura 2.15: Diagrama de Wuensche do aut´omato celular elementar Nφ = 130, com

condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, para sistemas com n = 6 elementos.

Por observa¸cão, conclui-se que o diagrama apresenta quatro atratores, dois pontos fixos, as duas configura¸cões homogéneas, 000000 e 111111, e dois ciclos, um de per´ıodo 3 e outro de per´ıodo 6.

Relativamente ao ponto fixo 000000, após um instante de tempo, cinco configura¸cões vão repetir para sempre a configura¸cão desse ponto fixo. Estas configura¸cões compõem, juntamente com o ponto fixo, a sua bacia de atra¸cão.

Verifica-se também que um dos ciclos tem per´ıodo três, sendo unicamente composto pelas configura¸cões 100100, 010010 e 001001.

O outro ciclo tem per´ıodo seis e, neste caso, são as configura¸cões 100000, 010000, 001000, 000100, 000010 e 000001, que são repetidas interminavelmente. No entanto, neste caso existem estados transitórios para o atrator, isto é, configura¸cões a partir das quais, após alguns instantes de tempo, o sistema vai encontrar o ciclo atrator. Assim, podemos concluir que a bacia de atra¸cão deste ciclo atrator é dada por: 18 configura¸cões a um instante do ciclo, 12 configura¸cões a dois instantes do ciclo, 12 a três instantes do ciclo, 6 a quatro instantes do ciclo e, claro está, as 6 configura¸cões do ciclo atrator. Atendendo ao número de elementos da bacia de atra¸cão, podemos dizer que, escolhida aleatoriamente uma configura¸cão inicial para o sistema, este vai, com probabilidade aproximadamente igual a 84%, acabar por repetir as configura¸cões deste ciclo atrator.

(33)

Resumidamente, verificamos que, por vezes, as condi¸cões iniciais de um sistema podem--nos levar a resultados muito diferentes. Noutras vezes, variadas condi¸cões iniciais e até mesmo diferentes dinâmicas transitórias, podem de facto levar ao mesmo atrator. Ou seja, uma análise baseada em apenas algumas configura¸cões iniciais podem não explorar adequadamente o comportamento do sistema. A utiliza¸cão do poder de uma imagem e a arquitetura inerente aos diagramas de Wuensche, permitem comunicar com maior eficácia e clareza a dinâmica global do autómato celular.

2.3 Equivalˆ

encia dinˆ

amica entre aut´

omatos celulares

elemen-tares

Como já referimos, neste trabalho consideramos autómatos celulares elementares finitos correspondentes a 256 regras de transi¸cão local distintas e seis escolhas para condi¸cões de fronteira, isto é, 1 536 autómatos celulares elementares finitos. No entanto, apesar de distintos, isso não significa que todos eles apresentem dinâmicas que devam ser consideradas diferentes. Atentemos nos seguintes diagramas espa¸co-tempo correspondentes a regras de transi¸cão local distintas, escolhidas condi¸cões de fronteira periódicas em ambos os casos.

Figura 2.16: Diagramas espa¸co-tempo para regras de transi¸cão local distintas, com condi¸cões de fronteira periódicas, onde é patente que as configura¸cões mostram, em cada instante, uma simetria branco-preto.

Apesar de, em cada instante, termos configura¸cões distintas em cada um dos diagramas, é notória a alternância dos estados das células correspondentes, desde as suas configura¸cões iniciais. De alguma forma, aquilo que esta imagem nos sugere é que o conhecimento de uma das dinâmicas nos vai permitir deduzir, sem qualquer ambiguidade, a outra, bastando para tal inverter o estado de cada célula. Neste sentido, poderemos antecipar que será redundante estudar ambas as dinâmicas, sendo l´ıcito dizer, então, que as dinâmicas são equivalentes.

Introduzindo algumas transforma¸cões de simetria no espa¸co das configura¸cões, é poss´ıvel considerar como dinamicamente equivalentes aqueles autómatos celulares que preservam

(34)

es-sas transforma¸cões ao longo do tempo. No caso dos autómatos celulares elementares finitos, onde as células do sistema são disposta ao longo de uma linha reta, essas transforma¸cões vão ser a conjuga¸cão e a simetria especular. Como veremos, o uso dessas duas transforma¸cões e da sua composi¸cão vai-nos permitir reduzir significativamente o número de autómatos celulares a estudar, uma vez que alguns deles são dinamicamente equivalentes. É isso que a seguir pretendemos comprovar, come¸cando por estudar cada uma das transforma¸cões acima referidas.

2.3.1 Simetria por conjuga¸c˜ao

A primeira das simetrias que vamos apresentar ´e aquela que ficou patente na Figura 2.16. Vejamos como ´e poss´ıvel formalizar essa ideia.

Defini¸cão 2.7 Duas configura¸cões A = (ai) e A0 = (a0_i) de um autómato celular elementar

com n c´elulas dizem-se conjugadas, denotando-se por A ∼cA0, se a0i = ¯ai, para i = 1, . . . , n,

com ¯0 = 1 e ¯1 = 0.

Para simplificar, vamos escrever ¯A como sendo a configura¸cão conjugada de A. Olhando para os diagramas espa¸co-tempo apresentados na Figura 2.16, vemos que foram escolhidas configura¸cões conjugadas para iniciar cada uma das dinâmicas:

Figura 2.17: As duas configura¸c˜oes iniciais dos diagramas espa¸co-tempo da Figura 2.16, onde se reconhece serem configura¸c˜oes conjugadas.

Voltando à Figura 2.16, aquilo que se observa é que as regras de transi¸cão escolhidas foram tais que essa simetria se preservou ao longo do intervalo de tempo considerado. Essa é a ideia-chave para a equivalência entre regras de transi¸cão.

Defini¸cão 2.8 Dois autómatos celulares elementares finitos Φα e Φ0_α0 dizem-se conjugados se, para toda a configura¸cão A, for válida a igualdade

Φ0_α0(¯A) = Φ_α(A). (2.10)

Se Φ0_α0 ´e um aut´omato celular conjugado de Φα vamos escrever Φ0_α0 = Γc(Φα). Uma

outra forma de escrever a igualdade (2.10), onde nos parece ficar mais expl´ıcita a ideia que a dinâmica de Φ0_α0 se obtém a partir do conhecimento da dinâmica de Φα, pode ser

(35)

Φ0_α0(A) = Φ_α(¯A), para toda a configura¸cão A. O resultado seguinte apresenta condi¸cões suficientes para que dois autómatos celulares elementares finitos sejam conjugados.

Lema 2.1 Sejam Φαe Φ0_α0 aut´omatos celulares elementares finitos, com regras de transi¸c˜ao local Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ0 = (d0

7d06d05d04d30d02d01d00)2, respectivamente, tais que

       Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ α0= α = p ∨ α0= α = r ∨ ( α0 = ¯aea¯d α = aead (2.11)

Então, Φα e Φ0_α0 são autómatos celulares elementares finitos conjugados, ou seja, tem-se que Φ0_α0 = Γc(Φα).

Prova: Da primeira igualdade de (2.11), temos que

d0₇= φ0(1, 1, 1) = φ0(¯0, ¯0, ¯0) = d0 = φ(0, 0, 0) d0₆= φ0(1, 1, 0) = φ0(¯0, ¯0, ¯1) = d1 = φ(0, 0, 1) d0₅= φ0(1, 0, 1) = φ0(¯0, ¯1, ¯0) = d2 = φ(0, 1, 0) d0₄= φ0(1, 0, 0) = φ0(¯0, ¯1, ¯1) = d3 = φ(0, 1, 1) d0₃= φ0(0, 1, 1) = φ0(¯1, ¯0, ¯0) = d4 = φ(1, 0, 0) d0₂= φ0(0, 1, 0) = φ0(¯1, ¯0, ¯1) = d5 = φ(1, 0, 1) d0₁= φ0(0, 0, 1) = φ0(¯1, ¯1, ¯0) = d6 = φ(1, 1, 0) d0₀= φ0(0, 0, 0) = φ0(¯1, ¯1, ¯1) = d7 = φ(1, 1, 1)

ficando estabelecida a igualdade (2.10) para toda a célula do sistema que não esteja na sua fronteira. Mas, considerando as condi¸cões impostas a α e α0, retira-se imediatamente que também as primeira e última células do sistema satisfazem análogas igualdades, pelo que se conclui que os autómatos celulares elementares finitos Φα e Φ0α0 são conjugados. Voltando à Figura 2.16, uma análise do diagrama espa¸co-tempo da direita leva-nos a concluir que a regra de transi¸cão local em causa é caraterizada por

d0₇ = φ0(1, 1, 1) = 0 d0₆ = φ0(1, 1, 0) = 1 d0₅ = φ0(1, 0, 1) = 1 d0₄ = φ0(1, 0, 0) = 1 d0₃ = φ0(0, 1, 1) = 1 d0₂ = φ0(0, 1, 0) = 1 d0₁ = φ0(0, 0, 1) = 0 d0₀ = φ0(0, 0, 0) = 1

Ora, recordando a representa¸cão de Wolfram da regra de transi¸cão local correspondente ao diagrama espa¸co-tempo da esquerda, Nφ= 130 = (10000010)2, e que ambas as dinâmicas

(36)

foram obtidas com escolha de condi¸cões de fronteira periódicas, verificamos que as hipóteses do resultado anterior são válidas, pelo que podemos concluir que os autómatos celulares ele-mentares finitos que geraram os diagramas espa¸co-tempo são conjugados, 190p= Γc(130p).

Deste modo, a simetria branco-preto que as dinâmicas iniciais mostram, é válida para todo instante.

Quando olhámos para os diagramas espa¸co-tempo de autómatos celulares elementares conjugados a partir de configura¸cões iniciais conjugadas, Figura 2.16, dissemos que seria natural considerar esses autómatos celulares como equivalentes. Mas o que significa exata-mente essa ideia de equivalência entre as dinâmicas de dois autómatos celulares? Para nos ajudar a responder a essa questão, vamos apresentar os diagramas de Wuensche de ambos os autómatos celulares, 130p e 190p, para sistemas com n = 5 células.

Figura 2.18: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 130p, `a esquerda, e 190p,

`

a direita.

Comparando estes diagramas de Wuensche, é patente a existência de uma corres-pondência entre eles: de facto, para além de atratores do mesmo tipo, as respetivas bacias de atra¸cão são idênticas no que respeita à forma e, assim, também quanto ao número de configura¸cões. Como é expetável, a única diferen¸ca reside na configura¸cão associada a cada vértice, surgindo configura¸cões conjugadas em posi¸cões correspondentes nos diagramas.

Se tivermos em conta o Lema 2.1, podemos escrever outras cinco conjuga¸c˜oes, para al´em daquela acima encontrada. De facto, dos argumentos anteriores, facilmente se conclui,

(37)

tamb´em, que: 190r= Γc(130r) 19000= Γc(13011) 19001= Γc(13010) 19010= Γc(13001) 19011= Γc(13000)

De igual modo, todas estas equivalências vão ser refletidas nos diagramas de Wuensche de cada um dos autómatos celulares. Nas figuras seguintes apresentamos os diagramas de Wuensche para os autómatos celulares conjugados, sendo uma vez mais evidente que estes mostram, em cada caso, dinâmicas iguais.

Figura 2.19: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 130r, `a esquerda, e 190r,

`

(38)

Figura 2.20: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 13000, `a esquerda, e

19011, `a direita.

(39)

19001, `a direita.

(40)

O conjunto das seis equivalˆencias entre aut´omatos celulares elementares finitos leva-nos a introduzir o seguinte conceito.

Defini¸cão 2.9 Dada uma regra de transi¸cão local φ, vamos denotar por Φ o conjunto de autómatos celulares elementares {Φα, α = p, r, 00, 01, 10, 11}.

Assim sendo, as seis equivalências anteriores vão permitir-nos dizer que existe uma equi-valência entre os conjuntos 190 e 130, na medida em que as dinâmicas dos elementos de 190 podem ser deduzidas a partir do conhecimento das dinâmicas de elementos de 130.

Defini¸c˜ao 2.10 Dois conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ dizem-se conjugados se qualquer elemento de Φ0 for conjugado com algum elemento de Φ.

Com algum abuso de linguagem, vamos escrever tamb´em Φ0 = Γc(Φ) para denotar conjuntos

conjugados. O resultado seguinte vai caraterizar a conjuga¸c˜ao entre conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos.

Proposi¸cão 2.1 Dois conjuntos de autómatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ são con-jugados se e só se Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ e N_φ= (d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀)₂, com N_φ0, N_φ as representa¸cões de Wolfram das regras de transi¸cão dos autómatos celulares pertencentes a Φ0 e Φ, respetivamente.

Prova: A partir do Lema 2.1 temos que, se dois conjuntos de autómatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ satisfazem Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ e N_φ= (d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀)₂, então são conjugados. De facto, esse resultado diz-nos que, qualquer que seja Φ0_α0 ∈ Φ0, existe sempre um elemento Φα de Φ tal que Φ0_α0 = Γc(Φα). Vejamos agora como mostrar que o

rec´ıproco ´e igualmente verdadeiro.

Sejam Φ0 e Φ conjuntos de autómatos celulares elementares finitos conjugados. Então, pela arbitrariedade da configura¸cão A em (2.10), são verdadeiras as seguintes igualdades:

φ0(1, 1, 1) = φ0(¯0, ¯0, ¯0) = φ(0, 0, 0) φ0(1, 1, 0) = φ0(¯0, ¯0, ¯1) = φ(0, 0, 1) φ0(1, 0, 1) = φ0(¯0, ¯1, ¯0) = φ(0, 1, 0) φ0(1, 0, 0) = φ0(¯0, ¯1, ¯1) = φ(0, 1, 1) φ0(0, 1, 1) = φ0(¯1, ¯0, ¯0) = φ(1, 0, 0) φ0(0, 1, 0) = φ0(¯1, ¯0, ¯1) = φ(1, 0, 1) φ0(0, 0, 1) = φ0(¯1, ¯1, ¯0) = φ(1, 1, 0) φ0(0, 0, 0) = φ0(¯1, ¯1, ¯1) = φ(1, 1, 1) donde resulta facilmente a rela¸c˜ao entre as regras de transi¸c˜ao local Nφ0 e N_φdos elementos

(41)

Seguindo um percurso análogo, vamos de seguida apresentar a segunda das simetrias, desta vez uma simetria espacial, que duas configura¸cões de células dispostas ao longo de uma linha reta podem apresentar, para chegar à correspondente equivalência entre conjuntos de autómatos celulares.

2.3.2 Simetria especular

Um outro tipo de transforma¸cão que importa considerar é a simetria especular, isto é, uma simetria de reflexão relativamente a um eixo vertical, a partir da qual se obtém a inversão espacial esquerda-direita da configura¸cão do sistema.

Defini¸cão 2.11 Duas configura¸cões A = (ai) e A0 = (a0i) de um autómato celular elementar

com n c´elulas dizem-se ter simetria especular, escrevendo-se A ∼eA0, se a0i = an+1−i, para

i = 1, . . . , n.

Para simplificar, vamos usar a nota¸cão ←−A para a configura¸cão obtida de A por simetria especular. Na figura seguinte, apresentam-se duas configura¸cões com simetria especular, relativamente ao eixo vertical, onde a da esquerda volta a ser a configura¸cão anteriormente considerada na apresenta¸cão da simetria por conjuga¸cão.

Figura 2.24: Duas configura¸c˜oes exibindo simetria especular relativamente ao eixo vertical.

Tal como h´a pouco, vamos agora generalizar este conceito para aut´omatos celulares ele-mentares finitos.

Defini¸cão 2.12 Dois autómatos celulares elementares finitos Φα e Φ0α0 dizem-se com sime-tria especular se, para toda a configura¸cão A, for válida a igualdade

Φ0_α0( ←−

A ) =←Φ−−−α(A).− (2.12)

Se Φα e Φ0_α0 são autómatos celulares elementares finitos com simetria especular, vamos escrever que o segundo se obtém do primeiro como Φ0_α0 = Γe(Φα). O resultado que

va-mos apresentar de seguida apresenta condi¸c˜oes suficientes para que aut´omatos celulares elementares finitos tenham simetria especular.

(42)

Lema 2.2 Sejam Φαe Φ0α0 aut´omatos celulares elementares finitos, com regras de transi¸c˜ao local Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ0 = (d0 7d 0 6d 0 5d 0 4d 0 3d 0 2d 0 1d 0

0)2, respectivamente, tais que

       Nφ0 = (d₇d₃d₅d₁d₆d₂d₄d₀)₂ α0= α = p ∨ α0= α = r ∨ ( α0 = adae α = aead (2.13)

Então, Φα e Φ0_α0 são autómatos celulares elementares finitos com simetria especular, ou seja, tem-se que Φ0_α0 = Γe(Φα).

Prova: A partir da rela¸cão entre as regras de transi¸cão local, assumida por hipótese, podemos escrever:

d0₇ = φ0(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1) d06 = φ0(1, 1, 0) = d3 = φ(0, 1, 1)

d0₅ = φ0(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1) d04 = φ0(1, 0, 0) = d1 = φ(0, 0, 1)

d0₃ = φ0(0, 1, 1) = d6 = φ(1, 1, 0) d02 = φ0(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)

d0₁ = φ0(0, 0, 1) = d4 = φ(1, 0, 0) d00 = φ0(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)

Como se verifica facilmente, as igualdades anteriores podem ser resumidas numa única, expressa por φ0(a, b, c) = φ(c, b, a), para quaisquer a, b, c ∈ {0, 1}. Vejamos agora como é que, a partir daqui, somos levados a concluir que a igualdade (2.12) é válida para qualquer elemento do sistema que não esteja na sua fronteira.

Sem perda de generalidade, admitamos que o sistema em causa é constitu´ıdo por um número n maior que dois de elementos. Seja A = (ai) uma qualquer configura¸cão; para

facilitar, denotemos por [Φ0(←A )]− i o elemento i da configura¸c˜ao Φ0(

←−

A ). Ora, por defini¸c˜ao, temos que, para i = 2, . . . , n − 1,

[Φ0(←A )]− i= φ0([ ←− A ]i−1, [ ←− A ]i, [ ←−

A ]i+1) = φ0(an−i+2, an−i+1, an−i).

Mas, sabendo que φ0(a, b, c) = φ(c, b, a), podemos escrever a igualdade [Φ0(←A )]− i = φ0(an−i+2, an−i+1, an−i) = φ(an−i, an−i+1, an−i+2),

a partir da qual temos ent˜ao que

[Φ0(←A )]− i = φ(an−i, an−i+1, an−i+2) = [Φ(A)]n−i+1 = [

←−−− Φ(A)]i.

Estabecida a igualdade procurada entre todos os elementos das configura¸cões Φ0(←A ) e− ←−−−Φ(A) que não estejam na fronteira, a sua estensão para os dois elementos da fronteira retira-se