As carater´ısticas atr´as apresentadas para cada uma das classes da classifica¸c˜ao de Wol- fram refletem o modo como se procurou analisar os diferentes comportamentos de aut´omatos celulares elementares, com condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas. Posteriormente, foram feitos outros estudos que confirmaram a existˆencia de quatro classes, identificando outras cara- ter´ısticas para cada classe. De seguida vamos apresentar algumas dessas outras carate- riza¸c˜oes das quatro classes de Wolfram.
Em 1986, Kunihiko Kaneko estudou as dinˆamicas dos aut´omatos celulares elementares finitos, com condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, determinando o modo como o n´umero de atratores e os respetivos per´ıodos variavam com n, o n´umero de elementos do sistema. Os resultados obtidos levaram-no a propor a seguinte carateriza¸c˜ao das classes de Wolfram:
• os aut´omatos celulares pertencentes `a Classe I tˆem um n´umero pequeno de atratores, sempre de pequeno per´ıodo, mesmo para valores elevados de n;
• os aut´omatos celulares pertencentes `a Classe II tˆem um n´umero grande de atratores, mas sempre de pequeno per´ıodo; o n´umero de atratores cresce exponencialmente com n, i.e., exp(αn), com α tipicamente entre 0.2 e 0.4;
• os aut´omatos celulares pertencentes `a Classe III tˆem um n´umero pequeno de atratores, de per´ıodos muito longos; o n´umero de atratores n˜ao parece variar de uma forma regular com n e, pelo menos para certas regras, parece depender de carater´ısticas do n´umero n; por exemplo, ´e poss´ıvel mostrar que a regra 90 tem um ´unico atrator, a configura¸c˜ao homog´enea C0, quando n = 2k, para k um inteiro positivo;
• os aut´omatos celulares pertencentes `a Classe IV tˆem um n´umero grande de atratores, muito possivelmente com per´ıodos grandes; embora de forma n˜ao muito regular, o
crescimento do n´umero de atratores com n aparenta ser igualmente de tipo exponen- cial, tal como na Classe II.
Pelos argumentos expostos anteriormente, no Cap´ıtulo 2, aquando da apresenta¸c˜ao dos dia- gramas de Wuensche, facilmente se percebe a debilidade desta carateriza¸c˜ao das dinˆamicas: parte-se do princ´ıpio que a varia¸c˜ao do n´umero de atratores e seus per´ıodos, observada para valores muito pequenos de n, ´e generaliz´avel para valores muito superiores do n´umero de elementos do sistema. Recordemos que conhecer com todo o detalhe a dinˆamica de um sistema com apenas n = 100 c´elulas implica o conhecimento da dinˆamica de
1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376
configura¸c˜oes do sistema. Para regras de transi¸c˜ao n˜ao triviais, esse estudo revela-se com- putacionalmente muito dif´ıcil.
Uma outra abordagem, nos ant´ıpodas desta, passa pelo estudo da dinˆamica, n˜ao de todo o sistema, mas de um seu elemento, arbitrariamente escolhido8. A quest˜ao que se coloca ent˜ao ´e a de saber se ser´a poss´ıvel caraterizar as diferentes dinˆamicas classificadas por Wolfram a partir da sequˆencia de estados, zeros e uns, que um elemento do sistema sente com o passar do tempo. Olhando para os diagramas espa¸co-tempo apresentados para os diferentes aut´omatos celulares, pensamos ser poss´ıvel uma descri¸c˜ao desse tipo.
Dado um sistema com um n´umero suficientemente grande de elementos, consideremos a sequˆencia de estados de um desses elementos, para um intervalo de tempo suficientemente grande, logo ap´os um n´umero suficientemente grande de instantes de tempo9.
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe I se a sequˆencia de estados ´e constante, sendo igual para qualquer escolha de elementos do sistema; • estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe II se a sequˆencia de es-
tados ´e constante ou peri´odica, sendo que no primeiro caso n˜ao ´e igual para diferentes escolhas para o elemento do sistema;
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe III se a sequˆencia de estados n˜ao ´e peri´odica;
8Este tipo de estudo difere de forma substancial do anterior, na medida em que aquele ´e feito por algu´em de fora do sistema, acima do sistema, que, em todo o instante, consegue abarcar a totalidade dos estados dos seus elementos, enquanto este se baseia na descri¸c˜ao de dentro do sistema, de algu´em que regista, em cada instante, o estado em que se encontra.
9As indefini¸c˜oes s˜ao inevit´aveis, uma vez que estes dois parˆametros dependem do n´umero de elementos do sistema.
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe IV se a sequˆencia de estados ´e peri´odica durante certos intervalos de tempo, sendo esse regime interrompido de forma n˜ao regular.
Esta carateriza¸c˜ao das dinˆamicas pertencentes `as quatro classes definidas por Wolfram tem um ponto fraco logo no in´ıcio, quando, para distinguir as primeiras duas classes, se exige que se alargue o estudo a outros elementos do sistema, caso a sequˆencia de estados seja constante, ficando sempre em aberto se o n´umero de elementos escolhidos foi suficiente para declarar uma dinˆamica como sendo de Classe I. Por outro lado, uma sequˆencia de estados pode-se revelar como n˜ao peri´odica, ainda que para um aut´omato celular pertencente `a Classe II, caso n˜ao se tenha esperado o tempo necess´ario para deixar o sistema entrar no regime regular que carateriza essas dinˆamicas. Por outras palavras, poder´a ser dif´ıcil perceber se estamos perante uma sequˆencia de estados reveladora de um aut´omato celular pertencente `a Classe III, ou se tal acontece porque n˜ao esper´amos o tempo necess´ario para que o sistema alcan¸casse o regime peri´odico que lhe ´e natural.