Simetria por conjuga¸ c˜ ao

A primeira das simetrias que vamos apresentar ´e aquela que ficou patente na Figura 2.16. Vejamos como ´e poss´ıvel formalizar essa ideia.

Defini¸c˜ao 2.7 Duas configura¸c˜oes A = (ai) e A0 = (a0_i) de um aut´omato celular elementar

com n c´elulas dizem-se conjugadas, denotando-se por A ∼cA0, se a0i = ¯ai, para i = 1, . . . , n,

com ¯0 = 1 e ¯1 = 0.

Para simplificar, vamos escrever ¯A como sendo a configura¸c˜ao conjugada de A. Olhando para os diagramas espa¸co-tempo apresentados na Figura 2.16, vemos que foram escolhidas configura¸c˜oes conjugadas para iniciar cada uma das dinˆamicas:

Figura 2.17: As duas configura¸c˜oes iniciais dos diagramas espa¸co-tempo da Figura 2.16, onde se reconhece serem configura¸c˜oes conjugadas.

Voltando `a Figura 2.16, aquilo que se observa ´e que as regras de transi¸c˜ao escolhidas foram tais que essa simetria se preservou ao longo do intervalo de tempo considerado. Essa ´e a ideia-chave para a equivalˆencia entre regras de transi¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.8 Dois aut´omatos celulares elementares finitos Φα e Φ0_α0 dizem-se conjugados se, para toda a configura¸c˜ao A, for v´alida a igualdade

Φ0_α0(¯A) = Φ_α(A). (2.10)

Se Φ0_α0 ´e um aut´omato celular conjugado de Φα vamos escrever Φ0_α0 = Γc(Φα). Uma

outra forma de escrever a igualdade (2.10), onde nos parece ficar mais expl´ıcita a ideia que a dinˆamica de Φ0_α0 se obt´em a partir do conhecimento da dinˆamica de Φα, pode ser

Φ0_α0(A) = Φ_α(¯A), para toda a configura¸c˜ao A. O resultado seguinte apresenta condi¸c˜oes suficientes para que dois aut´omatos celulares elementares finitos sejam conjugados.

Lema 2.1 Sejam Φαe Φ0_α0 aut´omatos celulares elementares finitos, com regras de transi¸c˜ao local Nφ= (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ0 = (d0

7d06d05d04d30d02d01d00)2, respectivamente, tais que

       Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ α0= α = p ∨ α0= α = r ∨ ( α0 = ¯aea¯d α = aead (2.11)

Ent˜ao, Φα e Φ0_α0 s˜ao aut´omatos celulares elementares finitos conjugados, ou seja, tem-se que Φ0_α0 = Γc(Φα).

Prova: Da primeira igualdade de (2.11), temos que

d0₇= φ0(1, 1, 1) = φ0(¯0, ¯0, ¯0) = d0 = φ(0, 0, 0) d0₆= φ0(1, 1, 0) = φ0(¯0, ¯0, ¯1) = d1 = φ(0, 0, 1) d0₅= φ0(1, 0, 1) = φ0(¯0, ¯1, ¯0) = d2 = φ(0, 1, 0) d0₄= φ0(1, 0, 0) = φ0(¯0, ¯1, ¯1) = d3 = φ(0, 1, 1) d0₃= φ0(0, 1, 1) = φ0(¯1, ¯0, ¯0) = d4 = φ(1, 0, 0) d0₂= φ0(0, 1, 0) = φ0(¯1, ¯0, ¯1) = d5 = φ(1, 0, 1) d0₁= φ0(0, 0, 1) = φ0(¯1, ¯1, ¯0) = d6 = φ(1, 1, 0) d0₀= φ0(0, 0, 0) = φ0(¯1, ¯1, ¯1) = d7 = φ(1, 1, 1)

ficando estabelecida a igualdade (2.10) para toda a c´elula do sistema que n˜ao esteja na sua fronteira. Mas, considerando as condi¸c˜oes impostas a α e α0, retira-se imediatamente que tamb´em as primeira e ´ultima c´elulas do sistema satisfazem an´alogas igualdades, pelo que se conclui que os aut´omatos celulares elementares finitos Φα e Φ0α0 s˜ao conjugados.  Voltando `a Figura 2.16, uma an´alise do diagrama espa¸co-tempo da direita leva-nos a concluir que a regra de transi¸c˜ao local em causa ´e caraterizada por

d0₇ = φ0(1, 1, 1) = 0 d0₆ = φ0(1, 1, 0) = 1 d0₅ = φ0(1, 0, 1) = 1 d0₄ = φ0(1, 0, 0) = 1 d0₃ = φ0(0, 1, 1) = 1 d0₂ = φ0(0, 1, 0) = 1 d0₁ = φ0(0, 0, 1) = 0 d0₀ = φ0(0, 0, 0) = 1

Ora, recordando a representa¸c˜ao de Wolfram da regra de transi¸c˜ao local correspondente ao diagrama espa¸co-tempo da esquerda, Nφ= 130 = (10000010)2, e que ambas as dinˆamicas

foram obtidas com escolha de condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, verificamos que as hip´oteses do resultado anterior s˜ao v´alidas, pelo que podemos concluir que os aut´omatos celulares ele- mentares finitos que geraram os diagramas espa¸co-tempo s˜ao conjugados, 190p= Γc(130p).

Deste modo, a simetria branco-preto que as dinˆamicas iniciais mostram, ´e v´alida para todo instante.

Quando olh´amos para os diagramas espa¸co-tempo de aut´omatos celulares elementares conjugados a partir de configura¸c˜oes iniciais conjugadas, Figura 2.16, dissemos que seria natural considerar esses aut´omatos celulares como equivalentes. Mas o que significa exata- mente essa ideia de equivalˆencia entre as dinˆamicas de dois aut´omatos celulares? Para nos ajudar a responder a essa quest˜ao, vamos apresentar os diagramas de Wuensche de ambos os aut´omatos celulares, 130p e 190p, para sistemas com n = 5 c´elulas.

Figura 2.18: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 130p, `a esquerda, e 190p,

`

a direita.

Comparando estes diagramas de Wuensche, ´e patente a existˆencia de uma corres- pondˆencia entre eles: de facto, para al´em de atratores do mesmo tipo, as respetivas bacias de atra¸c˜ao s˜ao idˆenticas no que respeita `a forma e, assim, tamb´em quanto ao n´umero de configura¸c˜oes. Como ´e expet´avel, a ´unica diferen¸ca reside na configura¸c˜ao associada a cada v´ertice, surgindo configura¸c˜oes conjugadas em posi¸c˜oes correspondentes nos diagramas.

Se tivermos em conta o Lema 2.1, podemos escrever outras cinco conjuga¸c˜oes, para al´em daquela acima encontrada. De facto, dos argumentos anteriores, facilmente se conclui,

tamb´em, que: 190r= Γc(130r) 19000= Γc(13011) 19001= Γc(13010) 19010= Γc(13001) 19011= Γc(13000)

De igual modo, todas estas equivalˆencias v˜ao ser refletidas nos diagramas de Wuensche de cada um dos aut´omatos celulares. Nas figuras seguintes apresentamos os diagramas de Wuensche para os aut´omatos celulares conjugados, sendo uma vez mais evidente que estes mostram, em cada caso, dinˆamicas iguais.

Figura 2.19: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 130r, `a esquerda, e 190r,

`

Figura 2.20: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 13000, `a esquerda, e

19011, `a direita.

Figura 2.21: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 13001, `a esquerda, e

Figura 2.22: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 13010, `a esquerda, e

19001, `a direita.

Figura 2.23: Diagramas de Wuensche dos aut´omatos conjugados 13011, `a esquerda, e

O conjunto das seis equivalˆencias entre aut´omatos celulares elementares finitos leva-nos a introduzir o seguinte conceito.

Defini¸c˜ao 2.9 Dada uma regra de transi¸c˜ao local φ, vamos denotar por Φ o conjunto de aut´omatos celulares elementares {Φα, α = p, r, 00, 01, 10, 11}.

Assim sendo, as seis equivalˆencias anteriores v˜ao permitir-nos dizer que existe uma equi- valˆencia entre os conjuntos 190 e 130, na medida em que as dinˆamicas dos elementos de 190 podem ser deduzidas a partir do conhecimento das dinˆamicas de elementos de 130.

Defini¸c˜ao 2.10 Dois conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ dizem-se conjugados se qualquer elemento de Φ0 for conjugado com algum elemento de Φ.

Com algum abuso de linguagem, vamos escrever tamb´em Φ0 = Γc(Φ) para denotar conjuntos

conjugados. O resultado seguinte vai caraterizar a conjuga¸c˜ao entre conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos.

Proposi¸c˜ao 2.1 Dois conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ s˜ao con- jugados se e s´o se Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ e N_φ= (d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀)₂, com N_φ0, N_φ as representa¸c˜oes de Wolfram das regras de transi¸c˜ao dos aut´omatos celulares pertencentes a Φ0 e Φ, respetivamente.

Prova: A partir do Lema 2.1 temos que, se dois conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos Φ0 e Φ satisfazem Nφ0 = ( ¯d₀d¯₁d¯₂d¯₃d¯₄d¯₅d¯₆d¯₇)₂ e N_φ= (d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀)₂, ent˜ao s˜ao conjugados. De facto, esse resultado diz-nos que, qualquer que seja Φ0_α0 ∈ Φ0, existe sempre um elemento Φα de Φ tal que Φ0_α0 = Γc(Φα). Vejamos agora como mostrar que o

rec´ıproco ´e igualmente verdadeiro.

Sejam Φ0 e Φ conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos conjugados. Ent˜ao, pela arbitrariedade da configura¸c˜ao A em (2.10), s˜ao verdadeiras as seguintes igualdades:

φ0(1, 1, 1) = φ0(¯0, ¯0, ¯0) = φ(0, 0, 0) φ0(1, 1, 0) = φ0(¯0, ¯0, ¯1) = φ(0, 0, 1) φ0(1, 0, 1) = φ0(¯0, ¯1, ¯0) = φ(0, 1, 0) φ0(1, 0, 0) = φ0(¯0, ¯1, ¯1) = φ(0, 1, 1) φ0(0, 1, 1) = φ0(¯1, ¯0, ¯0) = φ(1, 0, 0) φ0(0, 1, 0) = φ0(¯1, ¯0, ¯1) = φ(1, 0, 1) φ0(0, 0, 1) = φ0(¯1, ¯1, ¯0) = φ(1, 1, 0) φ0(0, 0, 0) = φ0(¯1, ¯1, ¯1) = φ(1, 1, 1) donde resulta facilmente a rela¸c˜ao entre as regras de transi¸c˜ao local Nφ0 e N_φdos elementos

Seguindo um percurso an´alogo, vamos de seguida apresentar a segunda das simetrias, desta vez uma simetria espacial, que duas configura¸c˜oes de c´elulas dispostas ao longo de uma linha reta podem apresentar, para chegar `a correspondente equivalˆencia entre conjuntos de aut´omatos celulares.