A classifica¸c˜ao de Wolfram das dinˆamicas exibidas por aut´omatos celulares elementares tem em si duas afirma¸c˜oes muito distintas: a primeira diz-nos que todas as dinˆamicas de aut´omatos celulares elementares podem ser catalogadas em apenas quatro tipos, facilmente carateriz´aveis; segundo, que as dinˆamicas t´ıpicas, isto ´e, prov´aveis perante uma escolha aleat´oria de uma configura¸c˜ao inicial, de um aut´omato celular, pertencem unicamente a um desses tipos. Estes s˜ao, na nossa opini˜ao, os pilares que sustentam a proposta de Wolfram para as dinˆamicas exibidas por aut´omatos celulares elementares.
Se atentarmos nos diagramas espa¸co-tempo, mostrados no Cap´ıtulo 3, para cada uma das escolhas de condi¸c˜oes de fronteira, facilmente se conclui ser imposs´ıvel generalizar a classifica¸c˜ao de Wolfram para aut´omatos celulares elementares finitos, qualquer que seja a escolha de condi¸c˜oes de fronteira. De facto, ´e evidente que muitos dos aut´omatos celulares pertencentes `a Classe II, quando escolhidas condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, mostram uma configura¸c˜ao homog´enea, ponto fixo, como estado final da sua dinˆamica perante outras escolhas: s˜ao os casos das regras de transi¸c˜ao Nφ = 2, Nφ = 6, Nφ = 10, Nφ = 14,
Nφ = 24, Nφ = 34, Nφ = 38, Nφ = 42, Nφ = 46, Nφ = 56, Nφ = 130, Nφ = 134,
regras de transi¸c˜ao Nφ = 3, Nφ = 11, Nφ = 15, Nφ = 27 e Nφ = 43, tˆem como estado
final da sua dinˆamina um ciclo constitu´ıdo por ambas as configura¸c˜oes homog´eneas, quando escolhidas outras condi¸c˜oes de fronteira. Reciprocamente, existe uma regra de transi¸c˜ao, Nφ= 40, pertencente `a Classe I, quando escolhidas condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, que
n˜ao tem j´a necessariamente um estado homog´eneo como estado final, quando escolhidas outras condi¸c˜oes de fronteira. Como ´e ´obvio, isto n˜ao significa que outras regras de transi¸c˜ao pertencentes `as Classe I e Classe II, para condi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, n˜ao mostrem outro tipo de dinˆamica perante uma escolha diferente de condi¸c˜oes de fronteira. Estas s˜ao apenas as situa¸c˜oes que ´e poss´ıvel identificar a partir dos diagramas apresentados.
Valorizando a possibilidade de classificar as dinˆamicas que um aut´omato celular elemen- tar finito, qualquer que seja a escolha para as condi¸c˜oes de fronteira10, pensamos ser v´alido propor uma classifica¸c˜ao alternativa `a introduzida por Wolfram. Assim sendo, propomos que sejam consideradas trˆes classes, a Classe I & II, a Classe III e a Classe IV, descritas da seguinte forma: para um sistema com um n´umero suficientemente grande de elementos e considerando um intervalo de tempo suficientemente grande, logo ap´os um n´umero suficien- temente grande de instantes de tempo, a partir de uma configura¸c˜ao inicial aleatoriamente escolhida, temos que:
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe I & II se a sequˆencia de estados de um elemento arbitr´ario do sistema ´e constante ou peri´odica;
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe III se a sequˆencia de estados de um elemento arbitr´ario n˜ao ´e peri´odica;
• estaremos perante um aut´omato celular pertencente `a Classe IV se a sequˆencia de estados de um elemento arbitr´ario ´e peri´odica durante certos intervalos de tempo, sendo esse regime interrompido de forma n˜ao regular.
Como facilmente se percebe, esta carateriza¸c˜ao das trˆes classes agora propostas consegue resolver o primeiro dos problemas anteriormente identificados, ficando, no entanto, ainda por resolver a segunda das dificuldades.
Dever´a ser ´obvio agora, que a forma como, no Cap´ıtulo 3, olh´amos para os diagramas espa¸co-tempo, tinha j´a em mente esta nova classifica¸c˜ao. De facto, quando na altura dis- semos que existiam apenas cinco regras de transi¸c˜ao cujas dinˆamicas exibiam carater´ısticas
muito diferentes, perante escolhas diferentes para as condi¸c˜oes de fronteira, est´avamos a distinguir apenas trˆes tipos de dinˆamicas: ordenadas, ca´oticas, ou complexas, a que corres- pondem as classes atr´as descritas. Dessa forma, podemos concluir que dos 88 conjuntos de aut´omatos celulares, apenas cinco n˜ao s˜ao pass´ıveis de serem enquadrados na nossa classifica¸c˜ao. Eis de seguida, a tabela da distribui¸c˜ao dos conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos pelas trˆes classes.
Classe I & II 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 23 24 25 27 28 29 32 33 34 35 36 37 38 40 42 43 44 46 50 51 56 57 58 62 72 73 74 76 77 78 94 104 108 128 130 132 134 136 138 140 142 152 156 160 162 164 168 170 172 178 184 200 204 232 Classe III 18 22 60 90 105 122 126 146 150 Classe IV 41 54 110
Tabela 4.3: Classifica¸c˜ao de 83 conjuntos de aut´omatos celulares elementares.
Como se vˆe facilmente, esta nossa proposta para distinguir conjuntos de aut´omatos celulares elementares finitos tem um s´erio problema: embora poucos, existem conjuntos de aut´omatos celulares relativamente aos quais n˜ao ´e poss´ıvel decidir a que classe pertencem. Como vimos, no Cap´ıtulo 3, os diagramas espa¸co-tempo mostram claramente que estamos perante regras de transi¸c˜ao que se revelam extremamente sens´ıveis `a escolha das condi¸c˜oes de fronteira, no sentido em que as dinˆamicas exibidas pelos aut´omatos celulares s˜ao completamente diferentes. Contudo, para perceber se estas exce¸c˜oes devem ser integradas em classes a
definir, pensamos ser necess´ario sair do contexto dos aut´omatos celulares elementares, quer considerando um maior n´umero de vizinhos, quer mesmo estudando aut´omatos celulares bidimensionais. Um pouco `a margem do objetivo deste trabalho, avaliar da possibilidade de classificar os aut´omatos celulares elementares finitos, n˜ao importando a escolha para as condi¸c˜oes de fronteira, pareceu-nos importante estudar com mais algum detalhe duas das regras de transi¸c˜ao que levaram a dinˆamicas completamente distintas como consequˆencia de diferentes escolhas para as condi¸c˜oes de fronteira do sistema.