Para além do conhecimento do grupo turma desenvolvido ao longo das aulas assistidas e da consulta da documentação existente na escola relativa ao percurso escolar dos alunos nos anos letivos anteriores, elaborei em conformidade um teste diagnóstico (Anexo 1) incidindo sobre os seus conhecimentos de tópicos de funções. Este instrumento de recolha de informação caracteriza-se como estratégia usada para compreender as dificuldades dos alunos sobre a unidade temática em análise. A sua estrutura apresentava dez questões distribuídas por dois grupos com objetivos e níveis de compreensão distintos:
Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico.
Questões Objetivos
1. Compreender o conceito de função;
G
rupo
I 2. Esboçar o gráfico de uma função conhecidas algumas das suas propriedades;
3. Definir condições de modo a verificar determinado número de soluções numa
equação quadrática;
4. Compreender os conceitos de paridade e injetividade de uma função. Utilização do
gráfico de uma função para contextualizar um problema da vida real;
1.1. Identificar o domínio e contradomínio de uma função através da sua representação
gráfica;
1.2. Definir a expressão analítica de uma função a partir da sua representação gráfica;
G
rupo
II
1.3. Interpretar um dado valor da variável independente em contexto do problema apresentado;
1.4. Calcular o valor de x para um dado valor da função e interpretar esse valor tendo em
conta o problema;
1.5. Determinar entre que valores podem variar a variável x dado um intervalo de valores
da função apresentada;
2. Utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de
Em geral, os alunos não revelaram dificuldades em identificar gráficos de funções, embora se evidenciassem falhas nas suas justificações. Os alunos não tiveram igualmente dificuldades em ler o domínio e o contradomínio das funções apresentadas a partir do respetivo gráfico, bem como utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de duas funções. No entanto, a maior parte dos alunos deu respostas incorretas às questões cujo objetivo era esboçar gráficos a partir de algumas propriedades previamente conhecidas do mesmo e também em definir condições de forma a verificar determinado número de soluções, o que revela alguma dificuldade de interpretação da questão em causa. De forma mais pormenorizada, determinou-se o número de alunos que responderam de forma correta, parcialmente correta, incorreta e não respondeu às questões do teste diagnóstico.
Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21)
Para averiguar a compreensão dos alunos sobre o conceito de função, o teste diagnóstico apresentava a seguinte questão:
Da análise à tabela 4, conclui-se que os 3 alunos que responderam incorretamente à Tipo de resposta Questões Grupo I Grupo II 1 2 3 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Correta 7 1 0 0 18 1 11 5 1 13 Parcialmente correta 11 5 0 11 2 5 1 1 1 4 Incorreta 3 15 20 5 1 7 2 0 13 2 Não respondeu 0 0 1 5 0 8 7 15 6 2 Grupo I:Questão 1
Quais dos seguintes gráficos representam funções? Explica o teu raciocínio.
questão 1, indicaram o gráfico II como sendo uma função como é o caso do alunoA11:
As respostas consideradas parcialmente corretas (11), os alunos indicam bem os gráficos que representavam funções. No entanto, 9 não apresentam qualquer justificação e 5 evidenciam confusões nos seus raciocínios como é o caso do aluno A2:
Nesta questão, os estudantes evidenciaram dificuldades nas explicações das suas respostas e também foram notórias dúvidas na própria definição de função.
No que respeita à questão 2 do grupo I, denotaram-se muitas dificuldades:
Se o esboço gráfico do aluno reuniu todas as condições (I, II e III), a resposta é considerada correta. Se se verificar duas é considerada parcialmente correta. Quando verifica uma ou nenhuma das condições referidas, a resposta é avaliada como incorreta. Nesse sentido, foram notórias muitas respostas incorretas (15), como é o caso do aluno A15:
Grupo I: Questão 2
De uma função 𝑓 sabe-se que: I) Df= IR+;
II) D′f= [−1 , 1];
III) A equação f(x) =12 admite uma e uma só solução. Represente uma possível representação gráfica de f.
Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico
Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico
Tal resposta indicia que o aluno interpretou que a condição f(x) =12 representava a função e não revelou cuidado em garantir o contradomínio pretendido e o número de soluções que a equação f(x) =12 satisfazia. Apesar de alguns alunos atenderem ao domínio da função, outros alunos (5) tiveram dificuldades em conciliar as três condições, como ilustra o esboço gráfico efetuado pelo aluno A11:
Quanto à questão 3 do grupo I, não teve qualquer resposta correta:
Todos os alunos, exceto um que não apresentou qualquer resposta, responderam de forma incorreta. As dificuldades evidenciadas vão desde o desconhecimento da condição que possibilita a função quadrática ter duas raízes a erros na manipulação de expressões como de seguida se ilustra:
Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico
A questão 4 do grupo I, à semelhança da anterior, também nenhum aluno respondeu de forma correta quanto à paridade e injetividade das quatro funções representadas graficamente, nem explicaram de forma clara os seus raciocínios:
Grupo I: Questão 3
Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação
f(x) = k admite exatamente duas soluções reais, indique o conjunto de valores que k pode assumir.
Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico
Das 11 respostas parcialmente corretas, concluiu-se que 4 alunos classificaram corretamente a paridade e injetividade de todas as funções. No entanto não explicaram ou foram pouco claros na forma como chegaram às suas respostas, o que denota, uma vez mais, dificuldades em expressar os seus raciocínios. Os restantes 7 apenas classificaram corretamente alguns dos gráficos quanto à paridade e injetividade mas não explicaram de forma convicta as suas análises, o que prova que os conceitos de paridade e injetividade de uma função não estavam consolidados neste grupo turma.
Relativamente às questões do grupo II do teste diagnóstico, verificou-se maior número de respostas incorretas à questão 1.5. Por outro lado, observou-se maior número de não respostas na questão 1.4. Vejamos de seguida a questão 1 do grupo II:
Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico
Grupo I: Questão 4
Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade. Explica o teu raciocínio.
I II III IV
Grupo II
A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico seguinte mostra o lucro (L) da Dona Joaquina (no final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.
1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.
1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.
1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema
1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha lucro nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).
1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer, por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.
Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico
A questão 1.1 foi a que menos suscitou dúvidas dos alunos, uma vez que se apurou apenas 1 resposta incorreta pois o estudante atribuiu um intervalo de valores inadequado ao domínio e contradomínio da função L. As 2 respostas parcialmente corretas devem-se ao facto dos alunos apresentarem apenas os intervalos sem qualquer referência ao seu significado, o que evidencia dificuldades em escreverem notações matemáticas, como é o caso do aluno A7:
Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico
A questão seguinte (1.2) registou apenas 1 resposta assertiva, 7 incorretas e 8 não responderam. As restantes 5 foram avaliadas como parcialmente corretas pois apenas definiram um dos ramos da função considerando essa expressão a representação analítica da função em todo o seu domínio como é o caso do aluno A3:
Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico
A questão seguinte (1.3), a par da 1.1, teve o maior número de respostas corretas (11), apesar de 7 alunos não terem respondido a esta questão. Constatou-se também duas respostas incorretas, devido a erros no cálculo de L(0), e uma parcialmente correta pois o aluno, embora tenha calculado bem o valor da função no ponto de abcissa 0, não explicou o seu significado no contexto do problema.
Já na questão 1.4, apenas 5 alunos responderam corretamente. Observou-se também que 15 alunos não responderam a esta questão e 1 calculou bem o valor da variável independente dado o valor da função, mas não justificou a sua resposta (parcialmente correta). Conclui-se, assim, que os estudantes demonstraram dificuldades na contextualização do problema e interpretação do gráfico apresentado.
Por sua vez, na questão 1.5, o cenário de alunos que não responderam (6) melhorou um pouco. No entanto a maioria dos alunos respondeu incorretamente, observando apenas o
gráfico apresentado e sem qualquer justificação como é o caso do aluno A15:
Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico Por último apresenta-se a questão 2 do grupo II:
A questão que solicitava o recurso da calculadora gráfica não foi reveladora de muitas dificuldades, o que denota que a generalidade dos alunos (13) estava à vontade no manuseamento da calculadora gráfica, nomeadamente no uso do comando que possibilita obter os pontos de interceção de duas funções na máquina e no cálculo da área de triângulos. No entanto, das 4 respostas parcialmente corretas, 3 apresentaram apenas as abcissas dos pontos A e B sem o cálculo da área do triângulo que era pedido e 1 não apresentou o arredondamento referido.