Restrição e prolongamento de uma função racional

O tópico proposto insere-se no tema das Funções racionais e tem como objetivo conduzir o aluno às definições de restrição e prolongamento de uma função racional. Uma das tarefas apresentadas com esse propósito foi a seguinte:

As designações restrição e prolongamento são por si só sugestivas. Neste sentido, esperava que de forma intuitiva os alunos entendessem esses conceitos sem dificuldade, o que não aconteceu. Aliás, estes tópicos foram os que suscitaram mais dúvidas nos alunos no tema das funções racionais.

A primeira, quarta e sexta questões foram resolvidas corretamente pela generalidade dos alunos da turma. Já a segunda, terceira e quinta questões suscitaram maior dúvida aos alunos.

Professor: Vamos agora para a questão 2. Pede um esboço da função T1(t) sem recurso à calculadora.

Aluno 3: Professor, é para fazer o esboço no momento que existe o corte da luz ou é tudo?

Professor: Eu quero que vocês façam o esboço da função T1, essa função tem um dado comportamento e eu quero que vocês a representem graficamente. Quero um esboço gráfico dessa função. (…)

Professor: Nós já vimos que para t=0 a função valia 250 graus e que a partir daí ia diminuindo. Agora façam o esboço de T2 a partir do momento que a pessoa se apercebeu do corte de energia.

Relativamente à questão 2, verifica-se que 5 alunos responderam corretamente. Por sua vez, 4 não responderam e 11 responderam incorretamente. Da análise às respostas incorretas constata-se que: 4 alunos esboçaram o gráfico da função 𝑇1 (𝑡) como uma reta; 5

calcularam incorretamente as assíntotas; e 2 alunos representaram gráficos completamente despropositados, como são exemplo os seguintes esboços:

Tarefa 4

Numa cozinha, um forno elétrico estava a funcionar a uma temperatura constante quando houve um corte de energia elétrica.

A partir do instante 𝑡 = 0, momento da falha de energia, a temperatura no forno evoluiu de acordo com o seguinte modelo matemático: 𝑇1(𝑡) =150𝑡+250_6𝑡+1 , 𝑇 graus Celcius e 𝑡 horas.

1. Determina a temperatura a que o forno estava a funcionar no momento em que houve o corte de energia elétrica.

2. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇₁ sem recurso à calculadora.

3. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇1 com recurso à calculadora. Identifica propriedades da função e do seu gráfico.

4. A pessoa responsável por vigiar o forno apenas se apercebeu da falha de energia elétrica quando a temperatura no forno era de 75º𝐶. Determina, em minutos, o tempo que decorreu entre o instante em que houve o corte de energia elétrica e o instante em que o mesmo foi detetado.

5. Representa analiticamente e graficamente a função que contextualiza a temperatura do forno a partir do momento que a pessoa responsável por vigiar o forno se apercebeu da falha de energia (𝑇₂).

6. Com o decorrer do tempo, a temperatura no forno aproximou-se de um dado valor. Que significado tem esse valor no contexto do problema e na representação gráfica da função?

No que diz respeito à questão 3, 16 estudantes transcreveram para o papel o esboço gráfico que visualizaram na calculadora gráfica. No entanto, nenhum deles apresentou qualquer propriedade da função e do seu gráfico como é o caso do aluno A2.

Figura 31 - Resolução do aluno A2 à questão 3 da tarefa 4.

A Questão 5 foi a que suscitou maior dificuldade. Apenas 1 aluno respondeu corretamente, 8 alunos não responderam e 11 responderam incorretamente, o que revela dificuldades em adaptarem o gráfico da função 𝑇1(𝑡) ao contexto do problema.

Como o principal objetivo desta aula foi de levar o aluno à definição de restrição e prolongamento de uma função racional, o grupo turma foi confrontado com os esboços gráficos das funções 𝑇1 e 𝑇2. O seguinte diálogo é revelador das dificuldades sentidas na compreensão

desses conceitos:

Professor: Vamos lá analisar o domínio da nova função T2. O domínio de T2 vai de 0.58 fechado até?

Aluno 2: Até mais infinito.

Professor: Muito bem, e de T1 é qual? Alunos: ℝ₀+_.

Professor: Tendo em conta a própria palavra ‘Restrição’, qual é a função que vos parece uma restrição da outra?

Aluno 2: A T2 é uma restrição da T1. Professor: Porquê?

Aluno 2: Porque é um domínio mais pequeno.

Professor: E se agora olharmos para a função T1 e quisermos um prolongamento da função?

Aluno3: Temos de aumentar a função.

Professor: A própria palavra diz-nos para aumentar, estender. Quero então que vocês me digam uma função T3 de maneira que seja um prolongamento da função T1.

Aluno3: Temos que alargar o domínio da função, certo?

Professor: Então temos que considerar o quê? Aluno2: Valores negativos.

Aluno2: Mas −1

6 não pode pertencer porque senão a função não tem significado e o denominador fica igual a zero.

Professor: A vossa colega diz que não consegue alargar a função porque se considerar o ponto de abcissa −1

6 a função deixa de ter significado. Aluno 2: Claro, porque se eu considerar o ponto de abcissa −1

6 o denominador fica igual a zero e não pode ser pois é uma contradição.

Professor: Contradição porquê?

Aluno 3: Então −1₆ não podia pertencer ao domínio e agora já pode?

A dificuldade evidenciada pelos alunos residia no facto de se introduzir o valor −1₆ ao domínio da função resultante do prolongamento de T1 uma vez que anulava o denominador da

expressão que representa esta função.

As formas de utilização da calculadora gráfica e as dificuldades que os alunos sentiram no desenvolvimento da tarefa 4 estão sintetizadas no Quadro 3:

Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4.

Questões Número de alunos segundo as _{diferentes formas de utilização da}

calculadora (20 alunos) Dificuldades detetadas

I II III

1 10 6 4 Incompreensão do contexto da situação apresentada; Manipulação de expressões algébricas. 2 19 1 0 Erros na determinação das assíntotas; _{Incompreensão da situação-problema.} 3 3 14 3 Identificação de propriedades da função e _{do seu gráfico.} 4 14 5 1 Manipulação de expressões algébricas. _{Incompreensão da situação-problema.}

5 12 7 1

Dificuldades em reconhecer que a função 𝑇2 é uma restrição de 𝑇1 ao intervalo [0 ,+∞[ 6 17 3 0 Incompreensão do contexto da situação _apresentada

Também nesta tarefa se evidenciou maior influência ao uso da calculadora como forma de confirmação dos resultados. Apenas na questão 3,70% dos alunos afirmaram ter usado a calculadora gráfica como primeira abordagem à resolução da tarefa. Este facto parece dever- se ao próprio enunciado pedir o esboço com a calculadora gráfica. Nas restantes questões, os alunos privilegiam o uso da calculadora gráfica apenas para confirmação dos resultados. No total das 120 respostas analisadas a toda a tarefa 4, 62,5% dos alunos dizem usar a forma de

utilização da calculadora I (Papel e lápis seguido da calculadora para confirmação). Por sua vez, 30% consideram a forma de utilização da calculadora II (calculadora como primeira abordagem e de seguida papel e lápis). Por último, das 120 respostas analisadas, apenas 7,5% usaram a forma III (apenas calculadora).