Considerações Gerais e Descrição dos Métodos

Aliados aos métodos experimentais, cálculos teóricos são largamente empregados e têm se destacado como ferramentas poderosas para toda a Química. Com o desenvolvimento de “hardwares” e algoritmos mais robustos, sistemas moleculares cada vez maiores têm sido estudados por métodos, que incluem correlação eletrônica para seus cálculos em tempos cada vez mais

curtos.121 Entre os aspectos fundamentais dos cálculos teóricos em química, área muitas vezes chamada de química computacional, a relação entre o tempo de cálculo e a acurácia da propriedade medida é a primeira a ser analisada antes de se iniciar um estudo, sendo esse aspecto um dos grandes motivadores em se desenvolver novos métodos para a química computacional.122 Neste sentido, pensando-se na natureza do sistema molecular que se tem à mão e nos recursos computacionais disponíveis, em geral, o químico teórico pode escolher entre os vários níveis de teoria implementados em pacotes comerciais para cálculos de química computacional. São muitos os métodos de química computacional, sendo bastante extenso o detalhamento matemático de cada um desses métodos. Por essa razão, não se pretende tratar aqui as descrições matemáticas dos métodos computacionais utilizados, mas, ao invés disso, serão definidas qualitativamente as quatro grandes classes de métodos computacionais: mecânica molecular (MM), ab initio, semi-empríricos (SE) e teoria do funcional de densidade (DFT - Density Functional Theory)

• A mecânica molecular (MM),123 expressa a energia molecular como uma função da resistência da molécula em sofrer estiramento de comprimentos de ligação, deformações de ângulos de ligação e ângulos diedros, sendo essa equação de energia utilizada para encontrar a geometria de equilíbrio molecular. Dessa maneira, a MM é um método baseado em física clássica e é uma alternativa para os dispendiosos métodos que se propõem a resolver a equação de Schrödinger (veja abaixo). Contudo, uma vez que os métodos de MM não fazem referência a elétrons, estes não podem fornecer explicitamente propriedades eletrônicas. Além disso, ao contrário de métodos baseados em mecânica quântica, a representação da ligação química é essencial para a MM, sendo necessário especificar o comprimento e força de cada ligação do sistema molecular de interesse para se construir sua equação de energia.124,125

Como as propriedades de ligação química dependem da distribuição eletrônica e elétrons não são explicitamente representados na MM, parâmetros como comprimentos e forças de ligações devem ser incluídos em métodos MM a partir de dados experimentais ou por métodos computacionais baseados em mecânica

quântica, isto é, métodos de MM devem ser parametrizados. Neste sentido, um conjunto de moléculas específicas é utilizado para parametrizar a equação de energia dos métodos de MM e, portanto, uma equação parametrizada para uma classe de compostos não necessariamente possui bom desempenho para outras classes de compostos. Métodos de MM são, consequentemente, construídos parametricamente para um conjunto de compostos específico. A principal vantagem de se trabalhar com MM é que seus cálculos são rápidos, se comparados à outros métodos computacionais. Uma molécula relativamente grande, e.g. colesterol (C27H46O), pode ser otimizada em poucos segundos, mesmo em um computador pessoal, utilizando-se MM.123-125

• Os ab initio (do latim: a partir do início), como o nome sugere, diferentemente da MM, não usam parâmetros experimentais e se propõem em obter a energia (E) do sistema molecular de interesse solucionando a equação de Schrödinger multieletrônica:

H^ = ψ(1,2,3...n) Eψ(1,2,3...n) Eq. 3

Sendo H^ o operador Hamiltoniano para um sistema eletrônico não-relativístico e que inclui a aproximação de Born-Oppenheimer, que é aplicado à função de onda deste sistema

ψ

Em que o primeiro termo é o termo de energia cinética dos elétrons, o segundo o termo de atração núcleo-elétron e o terceiro termo o de repulsão eletrônica em unidades atômicas (ua). Embora apresentado em ua na Eq. 2, o operador Hamiltoniano depende de algumas constantes físicas: velocidade da luz, massas e cargas dos elétrons e núcleos e da constante de Planck e, portanto, são os únicos parâmetros de origem experimental incluídos em cálculos ab initio.126

Uma vez que a equação de Schrödinger multieletrônica não pode ser resolvida analiticamente, devido ao terceiro termo do operador Hamiltoniano, várias aproximações foram propostas para a sua resolução, sendo estas aproximações

as que caracterizam cada método ab initio e quanto menos drásticas essas aproximações são feitas, é dito ser maior o nível teórico do método ab initio. Neste sentido, o método ab initio considerado de menor nível teórico de utilização usual é conhecido como o Hartree-Fock (HF), o qual é considera-se que não inclui correlação eletrônica para os seus cálculos, muito embora apresente o termo de repulsão de troca (K; não apresentado neste texto) no seu Hamiltoniano de energia, que surge a partir do Princípio de Exclusão de Pauli, que não permite que dois elétrons de mesmas coordenadas de spin tenham as mesmas coordenadas espaciais, isto é, elétrons de mesmo spin estão correlacionados no método HF.

O método HF usa como aproximação que cada elétron está inserido em um campo eletrostático médio construído por todos os elétrons do sistema molecular, isto é, a probabilidade de um dado elétron possuir um conjunto particular de coordenadas espaciais é independente das coordenadas espaciais dos demais elétrons. Os elétrons evitam-se, devido a interações repulsivas, de uma maneira mais eficiente, do que esta aproximação de campo eletrostático médio construída para o método HF, uma vez que um elétron qualquer 1 interage com outro elétron

2 como uma partícula que se move e os dois elétrons ajustam mutuamente suas

dinâmicas (correlacionam-se) para minimizar a energia de interação entre si.124,126

Assim, o método HF superestima as repulsões eletrônicas e,

consequentemente, a energia molecular deve ser menor (mais negativa) do que pressupõe o tratamento HF. Métodos pós-HF são considerados ser de maior nível teórico, uma vez que tratam a correlação eletrônica de uma maneira mais acurada que o método HF, permitindo que os elétrons, mesmo os de diferentes coordenadas de spin, residam em orbitais não-ocupados de maior energia (orbitais virtuais). A maneira com que os elétrons podem ocupar estes orbitais virtuais caracterizam cada método pós-HF. Entre as aproximações que corrigem o método HF, pode-se citar o método perturbacional de Møller–Plesset (MP), o método de interação de configuração (CI – Configuration Interaction) e o chamado “coupled cluster” (CC), que diferem entre si na abordagem matemática em que a correlação eletrônica é tratada (fora do escopo deste texto). Estes métodos pós-HF tentam tratar a correlação eletrônica quando elétrons estão a curtas distâncias uns dos

outros. De fato, estes métodos atendem a representação da condição de cúspide ou coalescência.127

Entre os populares métodos pós-HF, o MP2 (método perturbacional Møller– Plesset de segunda ordem) é a primeira correção para o método Hartree-Fock, já que faz a excitação apenas de pares de elétrons ocupados para não-ocupados e, consequentemente, é o menos custoso e mais largamente utilizado como referência para outros métodos computacionais quando não se tem dados experimentais ou quando métodos de maior nível teórico são impraticáveis, devido à natureza do sistema molecular de interesse. Com efeito, o método CCSD(T) (couple cluster singles and doubles and perturbative triples), que utiliza operadores de excitação eletrônica para simples e duplas excitações, quando utilizado com um conjunto de bases apropriado, é considerado acurado o suficiente para ser utilizado como referência para métodos de menor custo computacional quando dados experimentais não são possíveis de serem obtidos, porém seu custo computacional é elevado e é, em geral, restrito para sistemas moleculares particulares. O método CCSD(T) é chamado de “gold standard” na literatura por ser o computacionalmente mais dispendioso possível de se aplicar a moléculas de tamanho médio.128 É estimado que o método CCSD(T) aumente em custo computacional em uma proporção de N7, sendo N o número de funções de base do sistema molecular, em comparação com N4 para o método HF e N5 para o método MP2.129

• Os métodos semi-empíricos (SE), como o nome sugere, combinam teoria com experimento, isto é, são parametrizados. Assim como os ab initio, métodos SE são baseados na equação de Schrödinger, mas realizam cálculos que fornecem soluções aproximadas desta equação, evitando-se executar em cálculos dispendiosos presentes nos métodos ab initio, o que os tornam muito mais rápidos que esses últimos. É estimado que cálculos de métodos SE são 100 vezes mais demorados que cálculos MM, mas são 100-1000 vezes mais rápidos que cálculos ab initio. Entre as aproximações feitas nos métodos SE, a aproximação central, e que tem o maior impacto no custo computacional, é chamada de Sobreposição Diferencial Nula (ZDO - Zero Differential Overlap). Não entrando nos detalhes

matemáticos, uma das implicações da ZDO é a de anular parte das chamadas integrais de repulsão de dois elétrons que envolvem diferentes átomos, que são as que levam a maior quantidade de tempo para serem calculadas nos cálculos ab initio. Para compensar a aproximação ZDO, são utilizados parâmetros cujos valores são obtidos de cálculos de alto nível teórico ou de dados experimentais. O número de integrais anuladas e a maneira que são feitas as parametrizações são as que definem os vários métodos SE.124,130

• O método DFT atual baseia-se na abordagem de Kohn-Sham, que,

diferentemente dos métodos ab initio e SE - métodos baseados na função de onda molecular (ψ) e que obtêm as propriedades observáveis desta última - é baseado na densidade eletrônica (ρ). A partir de ψ é possível obter todas as propriedades de um sistema, incluindo ρ. Em princípio, ψ também pode ser obtida a partir de ρ, sendo esta última então uma função, que pode ser obtida da própria função de onda e vice-versa e, portanto, assim como ψ, é possível obter todas as propriedades de um sistema a partir de ρ. Assim, a DFT utiliza a função ρ como alternativa à função ψ para calcular a energia e todas as propriedades do sistema de interesse.124,125 Uma das vantagens de se utilizar a função ρ como alternativa à função ψ é que, independente do número de elétrons do sistema molecular, ρ depende apenas de três coordenadas espaciais (x, y, z), enquanto ψ é uma função das coordenadas espaciais e de spin para cada elétron presente em um sistema molecular, isto é, depende de 4n variáveis, sendo n o número de elétrons do sistema molecular e, consequentemente, aumenta em complexidade de acordo com o número de elétrons do sistema de interesse. Além disso, enquanto ρ é mensurável, isto é, pode ser obtida experimentalmente, ψ não é um observável físico e, de fato, não há uma concordância geral na comunidade científica sobre o significado de ψ.131 Sendo um observável físico, a função ρ é mais facilmente entendida do que o conceito matemático abstrato da função de onda.132 Como será discutido posteriormente (Seção 1.4.4), informações sobre as ligações, geometria, entre outras propriedades do sistema molecular de interesse, podem ser obtidas por análises topológicas interpretativas da função ρ.

Existe uma falta de consenso se a DFT deve ser considerada como um tipo especial de método ab initio ou SE. O primeiro teorema de Hohenberg-Kohn afirma que todas as propriedades de uma molécula no estado fundamental podem ser determinadas pela função de densidade eletrônica do estado fundamental (ρ0).133 Assim, o valor de qualquer propriedade do estado fundamental de uma molécula é um funcional de ρ0. Por definição, uma função é uma regra que converte um número em outro número. Por exemplo, a função f(x) = x³ converte o número 3 (X = 3) em outro número, que é o número 27 neste caso. Um funcional, por outro lado, é uma regra que converte uma função a um número. Por exemplo, a função f(x) = x3 é convertida ao número 4 pelo funcional , -./0₁# 2/. Assim, como por definição uma função converte um número a outro número, um funcional pode ser entendido como uma função que converte uma função a um número.

, -./0₁# 2/ é então uma função da função f(x) e pode ser escrito como F[f(x)]. Por conseguinte, a energia do estado fundamental molecular (E0) é um funcional da densidade eletrônica do estado fundamental ρ0:

F[ρ0] = E0 Eq. 5

O primeiro teorema de Hohenberg-Kohn afirma então que o funcional F pode fornecer o valor da propriedade de interesse, mas não diz qual é este funcional e como este pode ser encontrado. De fato, a forma matemática correta do funcional não é conhecida e não há uma maneira sistemática de se melhorar o resultado teórico com funcionais da DFT, enquanto que em métodos ab initio pode-se chegar cada vez mais próximo do valor exato da solução da equação de Schrödinger, aumentado-se o nível teórico. Na prática, então, usam-se diferentes funcionais da DFT e os compara com uma referência apropriada. Os funcionais da DFT são atualmente construídos, com alguns deles utilizando parâmetros empíricos, comparando-se os resultados obtidos a partir destes com resultados experimentais e/ou com métodos ab initio de alto nível teórico. Por essa razão, a DFT é considerada em parte um método SE, mas devido à baixa utilização de

parâmetros empíricos nos funcionais e a possibilidade de (um dia) se encontrar o funcional exato, faz com que a DFT seja considerada também ab initio.125

A abordagem de Kohn-Sham para a DFT utiliza as chamadas equações de Kohn-Sham e é matematicamente análoga à abordagem do método HF. Com efeito, na abordagem Kohn-Sham são utilizados orbitais (orbitais de Kohn-Sham), que são similares àqueles utilizados nos métodos ab initio e, portanto, a baixa complexidade da função ρ, que depende apenas de três variáveis espaciais, é perdida com a reintrodução da função de onda ψ. Devido a esse procedimento, o

custo computacional dos métodos DFT usuais aumenta em uma proporção de N3,

que é menor que o aumento de N4 do ab initio HF (na prática ambos os métodos têm aumento menor que N3). Contudo, com os métodos DFT, em geral, obtêm resultados com a mesma qualidade ou com maior qualidade que os métodos ab initio pós-HF, mas, como supracitado, levam praticamente o mesmo tempo de um cálculo HF.134

A abordagem Kohn-Sham para a DFT apresenta um tratamento matemático similar ao HF, mas enquanto a aproximação HF não trata a correlação eletrônica apropriadamente e, consequentemente, não pode fornecer a energia exata do sistema, mesmo utilizando o maior conjunto de bases possível, sendo esta limitação chamada de limite Hartree-Fock, a DFT pode fornecer a energia exata se conhecermos a densidade eletrônica exata do sistema e o funcional exato. Em outras palavras, como enfatizado por Merril:135 “enquanto soluções da equação HF podem ser vistas como soluções exatas para uma descrição aproximada, as equações de Kohn-Sham são aproximações de uma descrição exata!”. Ao contrário dos métodos ab initio, que tentam descrever a correlação eletrônica de maneira perturbativa ou CI, a DFT inclui o termo de correlação eletrônica diretamente no Hamiltoniano de Kohn-Sham (H^KS), representado pelo funcional de troca-correlação (EXC; também chamado de energia de troca-correlação). Embora o funcional EXC inclua o termo de correlação eletrônica diretamente no H^KS, a forma matemática deste funcional não é conhecida, sendo o único termo dos funcionais da DFT, que algum método de cálculo deve ser elaborado para que este seja encontrado e é o principal desafio na pesquisa da DFT.124

Vários funcionais aproximados foram desenvolvidos para se obter EXC, sendo esta a principal diferença entre os métodos da DFT. A aproximação mais simples para se encontrar o valor de EXC é conhecida como aproximação local da densidade (LDA – Local Density Approximation). A densidade eletrônica (ρ) pode ser convenientemente imaginada como uma nuvem ou gás de carga negativa, que varia de densidade ao longo de um sistema molecular. Os funcionais que utilizam

a LDA tratam ρ como sendo aproximadamente constante, sendo essa uma função

que varia muito lentamente ao longo do sistema molecular. Uma vez que a densidade eletrônica de um átomo ou molécula varia consideravelmente ponto a ponto, a LDA é insuficiente para descrevê-la.136 Assim, foram desenvolvidos funcionais que utilizam, além da LDA, o gradiente (primeira derivada em relação à posição) de ρ, que analisa o comportamento da função a uma distância infinitesimal de um ponto escolhido e, por essa razão, métodos que utilizam gradiente são chamados de não-locais, enquanto os que utilizam apenas LDA são chamados de locais. Funcionais que utilizam a correção do gradiente para a LDA utilizam a chamada aproximação do gradiente generalizado (GGA - Generalized- Gradient Approximation). O funcional da energia de troca-correlação EXC pode ser escrito como uma soma de uma energia de troca (EX) e de correlação (EC):

EXC = EX + EC Eq. 6

Sendo o funcional de troca (EX) de Becke, chamado de B88,137 e os funcionais de correlação (EC) de Perdew138 (P86) e o de Lee-Yang-Parr139 (LYP), um dos primeiros e mais populares funcionais GGA desenvolvidos. Os métodos da DFT são designados de acordo com o funcional de troca e o funcional de correlação que esses utilizam, p. ex., um funcional que utiliza o funcional de troca B88 e o funcional de correlação LYP para os seus cálculos é chamado de funcional B88LYP.

Com o desenvolvimento dos funcionais B88 e LYP, a DFT começou a ter grande repercussão e foi utilizada em muitos sistemas, sendo outros funcionais também elaborados subsequentemente. Seguindo este desenvolvimento de

funcionais da DFT, a correção natural para os funcionais GGA foi a de se introduzir além do gradiente da densidade eletrônica (∇ρ), o Laplaciano da densidade eletrônica (∇2

ρ) para o funcional de energia de troca-correlação. Assim, os funcionais que utilizam o Laplaciano da densidade eletrônica são chamados de funcionais meta-GGA, sendo o funcional TSSP (Two-Perdew-Staroverov-Scuseria) um dos funcionais meta-GGAs mais usuais. Outra metodologia que tenta melhorar os funcionais GGA inclui o termo de troca do método HF para o funcional de energia EXC e por essa razão são chamados de funcionais híbridos. O funcional híbrido mais popular é o B3LYP.140 Este funcional é uma combinação do funcional híbrido de troca de Becke de três parâmetros (B3), que utiliza três parâmetros empíricos, isto é, cujos valores foram obtidos parametricamente para dar pesos à contribuição do termo de troca provenientes do método HF, do funcional LDA e do funcional B88, e o funcional de correlação LYP. Apesar da aparente arbitrariedade na escolha dos funcionais e dos parâmetros utilizados para o funcional B3LYP, este é o funcional que tem apresentado o melhor desempenho para uma grande quantidade de aplicações em química.

Contudo, é reconhecida a deficiência dos funcionais convencionais da DFT, sejam estes LDA, GGA, meta-GGA ou híbridos, para descreverem interações chamadas de forças de dispersão ou forças de van-der-Waals, que são onipresentes em compostos que apresentem interações atrativas não covalentes e podem ter contribuição significativa para a energia destes sistemas moleculares. Assim como as contribuições das várias componentes do funcional B3LYP foram parametrizadas, alguns funcionais da DFT foram construídos parametricamente, para contornar a deficiência dos funcionais convencionais, afim de descrever forças de dispersão. Por exemplo, os funcionais M05, M05-2X, M06 e M06-2X de

Zhao e Truhlar foram construídos dessa maneira141,142 e têm apresentado

resultados tão bons quanto métodos ab initio de alto nível para sistemas que

apresentem ligações de hidrogênio e interações de van-der-Waals.143 Com efeito,

interações de van-der-Waals apresentam um comportamento energético dependente da distância (R) entre os átomos participantes dessa interação em

A solução simples e intuitiva para que os funcionais da DFT fossem corrigidos, afim de se descrever interações de dispersão, elaborada por Grimme et al.,144 foi a de se inserir explicitamente termos de atração empíricos com dependência de distância em uma relação de R-6 no funcional de troca-correlação, sendo tal procedimento chamado de DFT-D e DFT-D3 dependendo da implementação. Estes termos de longa distância foram parametrizados para fornecerem a melhor descrição das forças de dispersão e, em princípio, podem ser utilizados em qualquer funcional da DFT.145

Particularmente, interações de van-der-Waals/ligações de hidrogênio são possíveis de serem formadas para os compostos estudados nesta tese e, por esta razão, métodos ab initio de alto nível e/ou dados experimentais devem ser usados como métodos de referência, para se encontrar o melhor funcional com ou sem correção de dispersão, que melhor consegue descrever a geometria destes compostos.

Por fim, aplicações da Química Computacional, em geral, têm dois objetivos: o primeiro é prover valores numéricos para observáveis, que podem ser confrontados com dados obtidos experimentalmente e o segundo é ajudar a entender conceitos empíricos largamente usados em química. Métodos topológicos como a QTAIM (Quantum Theory of Atoms in Molecules),146 a ELF (Electron Localization Functions),147 os recentemente desenvolvidos NCI (Non Covalent Interactions),148 e DORI (Density Overlap Regions Indicator)149 e baseados em orbitais moleculares como o NBO (Natural Bond Orbitals)150 estão inseridos no segundo grupo. Esses podem ajudar a entender porque determinada geometria é mais estável que a outra, quais interações de longa distância e estereoeletrônicas são as mais importantes para diferenciação da energia de um conjunto de isômeros e, consequentemente, a interpretar resultados tanto teóricos, quanto experimentais. Tais métodos são descritos nas seções subsequentes.