E08: G(800; 14,97).
E02: E por que ele está fora da reta?
E08: Não sei [A pesquisadora aproveita esse momento para fazer a mediação]. P: Vamos analisar?
E08: Aqui, 200ml é R$4,99. Então 400ml é R$9,98 e 800ml é R$14,97. [Refere-se a tabela azul que também está errada]
P: E será que 2 . 9,98 = 14,97? [E08 refaz as contas] E08: Não, dá R$19,96. [Percebe que cometeu um erro] P: E os outros pontos, será que estão certos?
E08: Está sim, pois, estão todos dentro das retas.
O Protocolo 11, mostra que E02 percebe que há uma regularidade nos pontos relacionados na tabela com a representação gráfica no plano cartesiano, logo, para que as relações permaneçam as mesmas os pontos precisam seguir o mesmo padrão. Diante dessa constatação, os gráficos também passaram a ser utilizados pelos estudantes como forma de verificar e corrigir, quando necessário, os cálculos das relações tabulares.
Averigua-se que a representação tabular feita no aplicativo online Cacoo não foi suficiente para a percepção de que haviam relações calculadas inadequadamente, por isso, não apresentavam comportamento linear, como verificado por E02 (Protocolo 11) ao constatar um ponto fora da reta representada pelo grupo 2.
Borba e Villarreal (2005) mencionam que a visualização provoca dois tipos de raciocínio, o primeiro relacionado ao uso de demonstração formal, e o segundo, ligado à elaboração da solução do problema e ao teste e explicação de conjecturas e de resultados alcançados, como pode ser visto no caso anteriormente descrito.
No decorrer da intervenção, foram propostas diferentes atividades para desenvolver o conceito de covariação, sempre explorando as múltiplas representações. Para a construção dessas representações eram usados, além do Geogebra, o aplicativo online Cacoo.
A integração do uso desses recursos (Geogebra, Cacoo), como visto na Figura 75, foi importante para explorar o potencial individual de cada recurso e amenizar algumas das limitações observadas (CASTRO; CASTRO FILHO, 2012). Assim, uma das potencialidades do aplicativo Cacoo é a criação de infográficos70 que representassem as situações que surgiram na intervenção, usando, para isso, representações icônicas, tabulares e gráficas e, em alguns casos, textos, como na Figura 76.
Figura 76 – Postagem do Grupo 2 - Atividade do Apêndice H.
Fonte: Blog Pensar, conectar e fazer71.
70É um desenho ou imagem que também possui textos que explicam ou informam sobre determinado assunto. 71 http://pensar-conectar-fazer.blogspot.com.br/2015/09/uma-aventura-percorrida.html
Na Figura 76 e no blog do projeto, é possível constatar o potencial de representação e visualização de invariantes, proporcionado pelo aplicativo Cacoo. Nessa situação em específico (Apêndice H), os estudantes construíram tabelas, fizeram o gráfico mostrando a situação e colocaram suas conclusões de forma textual. No entanto, o aplicativo não favoreceu e nem facilitou a representação gráfica, já que a malha, os eixos e as escalas dos eixos tinham que ser definidos manualmente, o que demandou muito tempo e algumas imprecisões na representação.
Na Figura 76, é possível visualizar que no primeiro gráfico, referente ao desempenho de Marina, o eixo x foi representado com uma escala de 1 em 1, mas, após os três primeiros pontos da malha, pula para o 10. O mesmo acontece com o gráfico que representa o desempenho de Kiara, que pula de 3 para 14, não obedecendo à escala.
Compreende-se a importância de saber estabelecer escalas na representação, mas, nessa situação em específico, esse problema foi decorrente das limitações do aplicativo e restrições do conhecimento matemático do grupo. Castro (2012) afirma que é importante conhecer as potencialidades e as limitações dos recursos digitais utilizados, pois, dessa forma, é possível conseguir um melhor aproveitamento da situação proposta. Considerando que a finalidade inicial seria fazê-los compreender e relacionar conjuntos de dados, optou-se em construir os gráficos lineares no Geogebra, explicando a definição dessas escalas dos eixos a partir do software.
A visualização e as representações puderam, também, ser exploradas pelo recurso digital Equilibrando Proporções. Considerando as dificuldades inerentes da situação de proporção simples de correspondência muitos-para-muitos (GITIRANA et al., 2014; SANTOS, 2015), utilizou-se essa ferramenta para auxiliar na compreensão dessas relações
Embora o objetivo do referido recurso seja apenas analisar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, este foi explorado de outras formas. Convém aqui ressaltar que as situações propostas nesse recurso, além de serem de proporção simples – correspondência muitos-para-muitos, também exploram o campo numérico dos números racionais, com algumas grandezas e relações expressas por números decimais, por se tratar de grandezas contínuas.
Diante do potencial existente no recurso para explorar as representações de uma grandeza e suas relações de diferentes formas, foi solicitado que os estudantes não apenas identificassem o tipo de relação das grandezas, mas que, quando as grandezas fossem diretamente proporcionais, resolvessem a situação proposta no recurso. Para isso, poderiam manipular e simular as grandezas da forma que achassem conveniente, usar a calculadora ou
fazer outras representações em uma folha. Ao utilizar o recurso, a primeira situação diretamente proporcional que surgiu foi a que está representada na Figura 77.
Figura 77 – Situação 3 do recurso digital Equilibrando proporção.
Fonte: Screenshoot de tela do site.
A Figura 77 apresenta uma situação72 de correspondência muitos-para-muitos, de multiplicação e divisão. É possível verificar na tela, a existência de ícones que representam, de forma icônica, as grandezas da situação (quantidade de carnes e quantidade de pessoas). O recurso permite a interação com esses ícones (simulação), de tal forma que é possível aumentar ou diminuir a quantidade de uma grandeza e ver como esse aumento ou diminuição influencia na quantidade da outra grandeza, já que elas estão relacionadas. Essa visualização é realizável por meio de representação numérica e icônica da quantidade de grandezas. Há ainda, a representação da relação entre as grandezas de forma tabular, porém, não permite interação, pois é estática. O recurso também não apresenta gráfico linear representando a situação.
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A situação 3, da Figura 77 apresenta uma situação em que se estabelece a quantidade de carne por pessoa consumida em uma churrascaria. Convém mencionar que, em uma situação real, as pessoas não consomem a mesma quantidade de carne, além disso, a média estabelecida por pessoa, está muito acima do normal.
Verifica-se, portanto, o potencial demonstrado pelo recurso digital Equilibrando proporções de representar os invariantes presentes nas relações de correspondência-muitos- para-muitos de diferentes formas, possibilitando o desenvolvimento da compreensão da covariação, a partir do estabelecimento das relações entre quantidades distintas e iguais.
A utilização do recurso foi feita de forma individual, mas os estudantes podiam discutir estratégias e resoluções com seus colegas de grupo. Inicialmente, os estudantes faziam as simulações, mas não sabiam muito bem o que elas significavam (Protocolo 12).