E08: Pacotes e reais.
P: Muito bem! Aqui eu tenho a quantidade de pacotes [aponta para o eixo x] e aqui eu tenho o valor em reais [aponta para o eixo y]. O que representa esse ponto A?
E02: 10 pacotes custam 30 reais. P: Como você identificou? E02: Vendo o ponto!
P: Ok! Vejam que olhando para essa situação, eu posso dizer que 0 pacote custa 0 real. Alguém consegue me dizer um outro ponto que obedece a relação dita por E02: 10 pacotes custam 30 reais e que faça parte desse conjunto?
E02: 20?
E12: 12 e ...[As crianças começam a dizer muitos números]
E03: 12 pacotes dá 35 reais? [Outras crianças concordam com E03] P: Por quê?
E05: Porque vai de 5 em 5. [E12 também concorda com E05] E02: O pacote vai de 2 em 2.
E03: Mas é porque a linha está de 5 em 5 e a outra está de 2 em 2. [Menciona os eixos dispostos em escalas diferentes]
O Protocolo 10 mostra que, apesar de os estudantes conseguirem constatar a invariância entre a coordenada dada pelo eixo x e eixo y do gráfico, (10;30), não conseguiram relacionar com outras posições, nem estipular outros pontos. A falta de conhecimento das representações no gráfico é evidente, já que os estudantes, inicialmente, “leram” as escalas dos eixos e não o que estava sendo representado, o ponto A. É importante observar que, enquanto a invariância corresponde à compreensão do operador funcional, a covariação está associada à compreensão dessa relação no conjunto de dados, o que necessita da percepção do operador funcional e escalar.
A pesquisadora explica que, apesar dos eixos serem importantes para a localização do ponto, é preciso que os estudantes atentassem às relações entre as duas coordenadas, no caso, 10 pacotes e 30 reais e como elas estão relacionadas com os demais pontos. Os alunos começam a entender melhor a situação apresentada, ao ser desenhado um segmento da origem até o ponto A e, quando também, representou-se, ao lado do gráfico, uma tabela, separando as grandezas e mostrando as relações, semelhante ao que foi realizado em atividades anteriores e analisadas na seção anterior.
A análise do referido protocolo, também atesta que os alunos possuem um domínio e conhecimento da representação tabular, já que ao representar a situação da Figura 74 em tabela, conseguiram perceber os demais pontos referentes ao gráfico da situação, como percebido na continuação do Protocolo 10.
E12: Ah, assim eu sei! É 3! [E12 mostra que conseguiu relacionar a informação do gráfico com a tabela construída, referindo-se ao operador funcional. A pesquisadora coloca uma setinha saindo do 10 pacotes e chegando no 30 reais. ]
P: Eu estou multiplicando ou dividindo? E11: Multiplicando.
P: Legal, e agora, consigo saber para outras quantidades de pacote? E08: Dá sim! 1 pacote é 3 reais!
E12: 3 pacotes dá 9 reais [As crianças começam a dizer vários pontos que pertencem a essa reta]
P: E se eu quiser saber quanto custarão 1.000 pacotes?
E12: Eita, é muito pacote! Vixi,é muito dinheiro: 1.000 . 3 = 3.000 reais!
A continuação do Protocolo 10 deixa claro que a compreensão dos demais pontos do gráfico, desenhado posteriormente após definição coletiva, com o auxílio do segmento de reta e da tabela, foi possível após o estabelecimento do operador funcional. Verifica-se que os estudantes puderam inferir outros conjuntos de dados que já não estavam no segmento de reta traçado no software, ou seja, foram capazes de fazer projeções para valores que extrapolavam os limites do gráfico na escala representada. É importante observar que enquanto a invariância corresponde a compreensão do operador funcional, a covariação está associada a compreensão dessa relação no conjunto de dados, o que necessita da percepção do operador funcional e escalar. Percebe-se que, ao utilizar as duas representações (tabular e gráfica), os estudantes puderam compreender melhor os invariantes (PRAIN; WALDRIP, 2006) e, assim como Gafanhoto e Canavarro (2011), estabelecerem relações entre as diferentes representações.
Essas ações só foram possíveis devido ao uso do software Geogebra, que trouxe agilidade, precisão e dinamicidade ao processo de construção e reflexão dos conceitos trabalhados, permitindo que o foco fosse na compreensão das relações, na testagem de conjecturas ou no estabelecimento de generalizações. As tecnologias digitais beneficiam o uso de múltiplas representações devido à facilidade e a dinamicidade que proporcionam (PRAIN; WALDRIP, 2006; PIERCE; STACEY, 2001).
Em comparação a momentos de construção do gráfico, também coletivo, mas feito manualmente no quadro (Figura 69 e Protocolo 8), verifica-se que há diferenças qualitativas e quantitativas, uma vez que, na representação feita sem o auxílio do computador, não foi possível ter a precisão de escalas - proporcionalmente distribuídas em cada eixo; rapidez na construção e as simulações de outras situações de forma dinâmica. Essas constatações estão de acordo com a explicação de Borba e Villarreal (2005), ao considerar
que a Matemática produzida com o uso de softwares é diferente da produzida, apenas, com lápis e papel.
A coordenação entre essas representações também tem o potencial de ajudar os estudantes a perceberem equívocos e reelaborarem seus pensamentos. Na Figura 75, tem-se a representação de uma situação de comparação entre o preço de achocolatados de mesma marca, mas, que são vendidos em quantidades diferentes. Para fazer a comparação, o grupo 2 construiu duas tabelas: a primeira, para representar o achocolatado de 270ml e a segunda, o de 200ml. Embora os achocolatados não sejam vendidos em quantidades de 270ml, 400ml, 810ml etc, os estudantes relacionaram o preço por ml, de cada produto, com a quantidade de produtos que poderiam comprar de cada tipo. Por exemplo: 1 achocolatado de 270ml custa R$2,99, 2 achocolatados, desse mesmo tipo, correspondem a 540ml (2 . 270ml) e custa R$5,98 (2 . R$2,99) e assim sucessivamente. Essa estratégia não facilita a comparação das tabelas, já que, em nenhuma das linhas da tabela, houve correspondência de preço ou quantidade. A percepção e comparação dos dois produtos ficou mais evidente pelo gráfico (Figura 75).
Figura 75 – Comparação de preço de achocolatado - grupo 2.
Fonte: Blog Pensar, conectar e fazer69.
Na Figura 75, observa-se que os estudantes não fizeram legenda para associar a tabela com a reta correspondente, mas que é perceptível que as retas azul e rosa correspondem, respectivamente, aos dados de mesma cor. Verifica-se a existência de um ponto (ponto G) que não pertence a nenhuma das retas.
Logo que a referida atividade foi postada no blog do projeto, um dos alunos questionou seus colegas e a pesquisadora, sobre o ponto fora das retas (Protocolo 11).
Protocolo 11 – Construção do gráfico: ponto fora da reta