E08: Porque eu tenho que comprar 4 ingressos para duas horas, cada uma hora custa 6 reais, então, para 4 ingressos para 2 horas eu coloquei 6x4 aqui! [Aponta para a folha de resolução do teste]
P: E por que você somou?
E08: Porque foram 4 ingressos e foram 6 reais, então dá 24! [Refere-se, mais uma vez, a primeira parte da resolução]. Então, 24 + 24 dá 48. Aqui é porque não foi só 1 hora, foram 2 horas, então é 24 + 24.
No Protocolo 4, a criança explica todos os procedimentos adotados para a resolução. Fica claro, em sua fala, a compreensão de que há uma relação entre ingressos e horas, assim como entre o preço e o número de horas. Todavia, essa compreensão não foi atingida pelos demais colegas, já que houve baixos índices de acertos (apenas E02 e E09 responderam corretamente).
A análise dos teoremas-em-ação utilizados pelos estudantes que não conseguiram acertar a 5a questão do teste, evidencia a falta da compreensão do tipo de relação que acontece entre as três grandezas envolvidas (ingresso, preço e hora), como detalhado anteriormente.
Na Figura 56, tem-se uma estratégia aditiva que só apresenta a relação entre o preço e a quantidade de ingressos. Esse tipo de compreensão da relação também pode ser verificado na Figura 57.
Figura 56 – Estratégia de proporção dupla - raciocínio aditivo.
Fonte: Pré-teste de E05.
Figura 57 – Estratégia de proporção dupla - relação entre duas grandezas.
Fonte: Pré-teste de E11.
A Figura 57, também mostra que E11 fez uma associação entre o preço e a quantidade de ingressos, usando como simbologia o sinal de igualdade (=). Durante a entrevista foi esclarecido que o símbolo matemático não foi usado com o sentido matemático de igualdade, mas para apontar a relação entre as grandezas: "[...] um ingresso vale 6 reais, dois valem 12 reais..." (informação verbal de E11).
Embora E11 tenha feito um uso inadequado do signo e não tenha ciência de todas as relações da situação, essa forma de explicitar a relação, chamou atenção por não ser um procedimento esperado e nem comum em estudantes do 6° ano.
A comparação do desempenho dos alunos entre o pré-teste (16,67%) e pós-teste (50%) mostra que os estudantes tiveram pouca melhoria, se comparado ao desempenho alcançado nas demais situações. Atribui-se ao fato de não ter surgido, durante intervenção, situações de proporção dupla, principalmente, considerando que estas teriam uma representação gráfica diferente das demais situações trabalhadas até aqui, o que poderia causar um obstáculo para a compreensão dos estudantes. No pós-teste (Apêndice D), a situação de proporção dupla teve o mesmo enunciado do pré-teste.
Mesmo assim, verificam-se estratégias diferentes das apresentadas no pré-teste, principalmente, explicitando as grandezas, suas relações, além de utilizarem, predominantemente, o raciocínio multiplicativo (Figura 58, Figura 59 e Figura 60).
Na Figura 58, verifica-se que E02 conseguiu identificar as grandezas presentes na situação, porém não indica as relações funcionais e nem escalares. Ao multiplicar 6 . 4, E02 faz correspondência entre preço e ingresso, encontrando que 4 ingressos custarão R$24,00. Como o ingresso só dá direito a 1 hora na lanhouse, E02 percebeu ainda, a necessidade de relacionar o valor obtido com a quantidade de horas: 24 . 2, demonstra ter percebido que a grandeza relacionada com o preço tem dependência com as grandezas relacionadas aos ingressos e as horas. Logo, f(x,y) = 6xy, em que 'x' representa a quantidade de ingressos e 'y' a quantidade de horas.
Figura 58 – Proporção dupla - estratégia multiplicativa - relações dependentes e independentes.
Fonte: Pós-teste de E02.
Ao resolver essa situação, os estudantes estão utilizando teoremas-em-ação relacionados com as propriedades das funções bilineares (GITIRANA et al., 2014). Dessa forma, considerando o valor a ser pago: preço = f (ingresso, hora). Logo:
f(ingresso1+ ingresso2+ ingresso3+ ingresso4,horas)= f(ingresso1,hora ) + f(ingresso2,hora ) + f(ingresso3, hora) + f(ingresso4, hora). O que evidencia que a grandeza correspondente ao preço é dependente das grandezas que estão relacionas a hora e ingressos, mas que, estas duas últimas, são independentes entre si.
Diante da dificuldade de visualizar as relações de dependência e independência entre as grandezas presentes em situações de proporção dupla, verificaram-se estratégias em que os estudantes consideraram todas as grandezas dependentes (Figura 59).
Figura 59 – Proporção dupla - estratégia multiplicativa- relações dependentes.
Fonte: Pós-teste de E11.
A Figura 59 deixa evidente que E11 identificou as grandezas e as relacionou, definindo o operador funcional entre reais e horas como 6 reais por hora. O operador funcional definido entre preço pago por ingresso foi considerado como o inverso da relação encontrada de preço por hora. É possível verificar na linha seguinte, que também coloca que 1 hora custa 24 reais, se forem 4 ingressos. Em entrevista, E11 deixou claro que não sabia como relacionar o valor a ser pago pelos 4 ingressos com a quantidade de horas.
Também houve estratégia em que o estudante considerou apenas uma relação, no caso, entre preço e quantidade de ingressos, como visualizado na Figura 60.
Figura 60 – Proporção dupla - estratégia multiplicativa - relação única.
Fonte: Pós-teste de E12.
Decerto, em relação à proporção dupla, a intervenção contribuiu para que os estudantes identificassem as grandezas e algumas relações, porém, não foi eficiente em possibilitar que os estudantes compreendessem o tipo de relações - de dependência e/ou independência - entre as grandezas. Percebe-se, nos exemplos apresentados, que os estudantes conseguem, na maioria dos casos, compreender a invariância entre as grandezas com relações dependentes, mas ao analisar a situação como um todo e compreender como se comporta o conjunto de dados da situação - covariação, não obtiveram êxito.
Buscou-se, na literatura, trabalhos que pudessem subsidiar a discussão das estratégias e teoremas-em-ação, assim como, indicar melhores opções didáticas para a abordagem de proporção dupla, contudo, são escassos. Sabe-se que, de acordo com pesquisas, a proporção múltipla traz maior dificuldade do que a proporção dupla (GITIRANA et al., 2014). Todavia, o que foi percebido após a intervenção, é que os alunos do GE apresentaram maior dificuldade em proporção dupla do que em múltipla. Acredita-se que isso possa ter correspondência com o tipo de relações presentes nessa estrutura e, ao fato de que a intervenção se baseou em representações gráficas feitas, apenas, para funções lineares.
5.2 Desempenho na compreensão de grandezas
No pré e pós-teste (Apêndices C e D), a identificação do tipo de grandezas, direta ou inversamente proporcionais, foi feita por meio dos resultados da 6a questão. Essa questão continha quatro situações em que era necessário verificar se o raciocínio apresentado na situação em relação à proporcionalidade das grandezas estava correto, indicando se era verdadeiro ou falso. Para isso, os estudantes precisavam analisar as situações e inferir se a relação era verdadeira ou não.
Para determinar o desempenho dos estudantes, foi atribuído 0 ponto para as questões que não estavam corretas ou em branco e 1 ponto para as questões corretas. Desta forma, o estudante que conseguisse responder todas essas situações corretamente, teria
pontuação máxima de 4 pontos. Esses critérios foram adotados nas análises dos pré e pós-
testes do GC e GE e deram origem aos dados do Apêndice O, utilizados nessa análise.
A Tabela 4 apresenta os resultados em relação aos desempenhos dos estudantes em situações que requisitam a compreensão de grandezas direta e inversamente proporcionais.
Tabela 4 – Média e Desvio Padrão em Compreensão de Grandezas direta e inversamente proporcionais por grupo no pré-teste e no pós-teste.
Situações analisadas Grupo Experimental (GE)
Média/Desvio padrão
Grupo Controle (GC)
Média/Desvio padrão Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Compreensão de grandezas direta
e inversamente proporcionais
3,17/±1,19 3,5/±0,52 2,87/±0,91 2,87/±1,13 Fonte: Elaboração própria (Ver Apêndice O).
Verifica-se que a média dos estudantes, do grupo experimental e controle já eram relativamente altas, antes da intervenção com 3,17 e 2,87, respectivamente, de um total máximo de 4 pontos. Após a intervenção, a média do grupo experimental teve uma pequena melhora, assim como diminuição do desvio-padrão (dados mais homogêneos - próximos da média); enquanto que o grupo controle, manteve a média, com aumento do desvio padrão (Tabela 4). Apesar do aumento na média e da diminuição do desvio-padrão, as análises estatísticas não apresentaram mudanças significativas nem entre grupo controle e experimental e nem entre pré-teste e pós-teste de cada grupo, pois todos os níveis de significância (p) deram maiores que 0,05 (Quadro 10).
Quadro 10 – Resultados dos testes estatísticos e níveis de significância - Compreensão de Grandezas direta e inversamente proporcionais.
Comparação Normalidade Teste Usado
Nível de significância (p)
Controle x experimental (pré-teste) Não U de Mann-Whitney 0,24536 Controle x experimental (pós-teste) Não U de Mann-Whitney 0,121184 Pré-teste x Pós-teste (Experimental) Não Wilcoxon 0,529369 Pré-teste x Pós-teste (Controle) Não Wilcoxon 0,69487
Fonte: Elaboração própria (Softwa r e Sta tistica : versão 12.0).
Muito embora os resultados não sejam estatisticamente melhores, verifica-se um desempenho satisfatório, com cerca de 87,5% de aproveitamento67. Se esse desempenho já era alto no pré-teste, era de se esperar pouca mudança numa intervenção.
Ainda que os estudantes tenham apresentado um bom desempenho no pré-teste e pós-teste em relação a identificação da natureza das grandezas pode-se afirmar que esses testes não foram suficientes para analisar as noções iniciais e finais sobre o que é grandeza e a compreensão de suas relações.
O que se percebeu, ao verificar os conhecimentos prévios desses estudantes em entrevistas realizadas, é que os alunos não tinham compreensão de grandezas, mesmo aqueles que acertaram as sentenças no pré-teste que estavam relacionadas com grandezas direta e inversamente proporcionais.
Essa constatação inicial foi feita durante a primeira intervenção, por meio de sondagem sobre as concepções de multiplicação e divisão. Para isso, foi utilizada uma situação sugerida pelos estudantes: “Um caderno custa R$ 10,00. Se eu comprar 9 cadernos
67 Dado obtido calculando a porcentagem de acertos do GE, em relação a pontuação máxima possível, no pós- teste - Apêndice N.
quanto eu vou gastar? ” (situação construída coletivamente pelos alunos). Durante resolução dessa situação, E08 realizou o produto dos números presentes na situação proposta (Protocolo 5).
Protocolo 5 – Resolução de situação: noção inicial de grandeza.