Como aplica¸c˜ao do Corol´ario 1.9.17, daremos uma defini¸c˜ao intr´ınseca do deter- minante de um operador linear T : E → E.
Sejam E e F espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre Γ. Uma aplica¸c˜ao linear T : E → F induz, para cada k > 0, uma nova aplica¸c˜ao linear T#:Vk
(F ) →Vk (E) definida por
(T#f )(v1, . . . , vk) = f (T v1, . . . , T vk),
onde f ∈Vk
(F ) e v1, . . . , vk ∈ E s˜ao arbitr´arios. Verifica-se que,
(1) Se T = id : E → E, ent˜ao T#= id :Vk (E) →Vk (E). (2) Se S : E → F e T : F → G s˜ao lineares, (T ◦ S)#= S#◦ T#: k ^ (G) → k ^ (E). Em particular, se S : E → F ´e um isomorfismo, (S−1)#◦ S#= (S ◦ S−1 )# = (id)# = id : k ^ (F ) → k ^ (F ). Analogamente, S#◦ (S−1)#= id :Vk (E) →Vk (E). Portanto, se S : E → F ´e um isomorfismo, S#:Vk (F ) →Vk (E) tamb´em o ´e, e (S#)−1 = (S−1)#.
Considere agora T : E → E, sendo dim(E) = n. Como dim (Vn
(E)) = 1, segue que T#:Vn
(E) →Vn
(E) ´e meramente uma multiplica¸c˜ao por um escalar, ou seja, existe λ tal que T#f = λf para todo f ∈Vn
(E).
Defini¸c˜ao 1.11.1. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, com dim(E) = n, e T : E → E linear. Definimos det(T ) o determinante de T por
det(T ) = λ, onde λ ´e tal que T#f = λf , T#:Vn
(E) →Vn (E).
Proposi¸c˜ao 1.11.2. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, com dim(E) = n, e S, T : E → E lineares. O determinante det(T ) satisfaz:
(1) Se T = id : E → E, ent˜ao det(T ) = 1. (2) det(S ◦ T ) = det(S) det(T ).
(3) det(T ) 6= 0 se, e somente se, T ´e invert´ıvel.
Demonstra¸c˜ao: O item (1) segue pois (id)# = id. Para mostrar (2), seja f ∈
Vn
(E). Temos
(S ◦ T )#f = T#◦ (S#f ) = T#(det(S)f ) = det(T ) det(S)f,
logo det(S ◦ T ) = det(S) det(T ). Da´ı segue que, se T ´e invert´ıvel, 1 = det(id) = det(T ◦ T−1) = det(T ) det(T−1),
que implica det(T ) 6= 0 e que det(T−1) = det(T )−1. Reciprocamente, se det(T ) 6= 0, tomando (e1, . . . , en) uma base ordenada de E e f = eJ ∈
Vn
(E), com J = (1, . . . , n), temos f (e1, . . . , en) = 1. Por defini¸c˜ao,
f (T e1, . . . , T en) = det(T ).
Como det(T ) 6= 0, pela Proposi¸c˜ao 1.9.4, T e1, . . . , T en s˜ao linearmente independen-
tes e, portanto, constituem uma base de E. Assim T leva base de E em base de E
e ´e, ent˜ao, invert´ıvel.
Defini¸c˜ao 1.11.3. Seja α = (αi
j), i, j = 1, . . . , n, αij ∈ Γ uma matriz quadrada.
Definiremos o determinante de α por
det(α) = det( ˜α), onde ˜ αej = n X i=1 αijei, com j = 1, . . . , n.
Ou seja, det(α) ´e o determinante da transforma¸c˜ao linear ˜α : Γn → Γn cuja
matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica (e1, . . . , en) de Γn ´e α.
Proposi¸c˜ao 1.11.4. Seja Mn×n = Γn× · · · × Γno espa¸co vetorial das matrizes n × n
com entradas em Γ. O determinante ´e o ´unico n-tensor alternado det : Mn×n → Γ
dos vetores coluna de uma matriz que assume o valor 1 na matriz identidade. Demonstra¸c˜ao: Seja f0 ∈Vn(Γn) o ´unico n-tensor alternado tal que
f0(e1, . . . , en) = 1,
sendo (e1, . . . , en) a base canˆonica de Γn. Ent˜ao, dada qualquer matriz α = (αji) ∈
Mn×n, cujos vetores coluna s˜ao α1, . . . , αn, onde cada αj = (αj1, . . . , αnj). Temos
α1 = ˜αe1, . . . , αn = ˜αen, e, ent˜ao
det(α) = det( ˜α) = det( ˜α)f0(e1, . . . , en) = f0( ˜αe1, . . . , ˜αen) = f0(α1, . . . , αn).
Temos ent˜ao que det(α) ´e uma aplica¸c˜ao n-linear alternada das colunas de α, que assume o valor 1 na matriz cujas colunas s˜ao e1, . . . , en, ou seja, na matriz
identidade. A unicidade segue da unicidade de f0.
Lema 1.11.5. Seja E uma espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : E → E linear. Para qualquer matriz α que represente T relativamente a uma base qualquer de E, vale det(T ) = det(α)
Corol´ario 1.11.6. Seja dim(E) = n. Dados f ∈ Vn
(E), α = (αi
j) ∈ Mn×n e
(e1, . . . , en) uma base de E. Tem-se
f n X i=1 αi1ei, . . . , n X i=1 αinen ! = det(α)f (e1, . . . , en).
Demonstra¸c˜ao: De fato, α ´e a matriz, relativa `a base (e1, . . . , en), de T : E → E
tal que T ej =
P
iα i
jei, j = 1, . . . , n. Logo det(α) = det(T ).
Defini¸c˜ao 1.11.7. Seja E um espa¸co vetorial com dim(E) = n e (e1, . . . , en) uma
base de E. Dados u1, . . . , un∈ E definimos o determinante de u1, . . . , un em rela¸c˜ao
a (e1, . . . , en) como o determinante da matriz α = (αij) das coordenadas de u1, . . . , un
na base (e1, . . . , en) (ou seja, uj =P αijei), denotado por
det
(e1,...,en)
[u1, . . . , un].
Se E = Γn e a base (e1, . . . , en) ´e a base canˆonica, denotamos simplesmente
det[u1, . . . , un], que se torna o determinante da matriz cujos vetores coluna s˜ao
u1, . . . , un∈ Γn.
Pelo Corol´ario 1.11.6 acima, dada (e1, . . . , en) base de E e u1, . . . , un∈ E, sendo
J = (1, . . . , n), temos
det
(e1,...,en)
[u1, . . . , un] = eJ(u1, . . . , un)
(eJ como em 1.3).
Sejam, agora, α1, . . . , αn os vetores coluna de α = (αij) ∈ Mn×n. Temos
α1 = (α11, . . . , α n
1), . . . , αn= (α1n, . . . , α n n).
Seja f0 ∈ Vn(Γn) o ´unico n-tensor alternado tal que f0(e1, . . . , en) = 1, sendo
(e1, . . . , en) a base canˆonica de Γn. Vimos que
det(α) = f0(α1, . . . , αn).
Temos tamb´em que f0 = k! alt(e1, . . . , en). Portanto,
f0 =
X
σ∈Sk
sig(σ)eσ(1)⊗ · · · ⊗ eσ(n).
Segue, ent˜ao, que
det(α) = X
σ∈Sk
sig(σ)ασ(1)1 . . . ασ(n)n
que ´e uma das express˜oes geralmente usadas como defini¸c˜ao do determinante de uma matriz.
Cap´ıtulo 2
An´alise em Variedades
Neste cap´ıtulo introduzimos as variedades, que s˜ao uma generaliza¸c˜ao das su- perf´ıcies. Damos uma breve introdu¸c˜ao `as variedades topol´ogicas e depois focamos nas variedades suaves. No decorrer do cap´ıtulo fazemos um breve estudo sobre a diferenciabilidade de fun¸c˜oes entre variedades suaves e apresentamos o ferramental da teoria, como vetores tangentes, parti¸c˜oes da unidade e orienta¸c˜oes. Mais `a frente ´e feita a introdu¸c˜ao das formas diferenciais e, por fim, a teoria de integra¸c˜ao em variedades. O Teorema de Stokes fecha o cap´ıtulo.
2.1
Variedades Topol´ogicas
Aqui definiremos a no¸c˜ao de variedade topol´ogica, caso geral do objeto que ser´a nosso ambiente nas pr´oximas se¸c˜oes, as variedades diferenci´aveis.
Defini¸c˜ao 2.1.1. Uma variedade parametrizada de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tri- pla (M, τ, ϕ) onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico e ϕ : M → eU um homeomorfismo, denominado parametriza¸c˜ao de M , entre M e um aberto eU ⊂ Rn.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Seja (M, τ ) um espa¸co topol´ogico. Um atlas de dimens˜ao n sobre M ´e uma fam´ılia A de homeomorfismos (denominados parametriza¸c˜oes) ϕλ : Uλ ∈
τ → eUλ ⊂ Rn, λ ∈ Γ, eUλ abertos, onde
M = [
λ∈Γ
Uλ.
Dizemos que o atlas A ´e compat´ıvel se, ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ∩ Uµ6= ∅,
a fun¸c˜ao (denominada mudan¸ca de carta)
ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ : ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ)
for um homeomorfismo.
Defini¸c˜ao 2.1.3. Uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tripla (M, τ, A) onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com base enumer´avel e A ´e um atlas compat´ıvel de dimens˜ao n sobre M .
Quando n˜ao houver ambiguidade, escreveremos apenas “M uma variedade to- pol´ogica de dimens˜ao n” para denotar uma variedade topol´ogica, ao inv´es de (M, τ, A).
Dada uma variedade topol´ogica (M, τ, A) de dimens˜ao n, uma dupla (U, ϕ), onde U ´e um aberto de M e ϕ : U → eU ´e um homeomorfismo de A, ´e chamada de carta de coordenadas (ou simplesmente carta). Chamamos, ainda, ϕ de fun¸c˜ao de coordenadas. Pela defini¸c˜ao de variedade, todo ponto p de uma variedade topol´ogica M de dimens˜ao n est´a contido no dom´ınio de alguma carta (U, ϕ) do atlas A de M . Quando ϕ(p) = 0 dizemos que ϕ ´e centrada em p.
Exemplo 2.1.4. O espa¸co Rn com a topologia induzida pela m´etrica euclideana ´e
uma variedade de dimens˜ao n pois, de fato, ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff, por ser um espa¸co m´etrico, e o conjunto de todas as bolas abertas de centro e raio racionais constituem uma base enumer´avel.
Exemplo 2.1.5. Seja U ⊂ Rn aberto e F : U → Rk uma fun¸c˜ao cont´ınua. Consi-
deremos o gr´afico de F , o subconjunto de Rn× Rk
graf(F ) = {(x, y) ∈ Rn× Rk | x ∈ U e y = F (x)}
com a topologia induzida. Seja π1 : Rn× Rk → Rn, π(x, y) = x e φF : graf(F ) → U
a restri¸c˜ao de π1 a graf(F ).
Como φF ´e a restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao cont´ınua, φF ´e cont´ınua. Al´em disso φF ´e
um homeomorfismo pois possui inversa cont´ınua φ−1F (x) = (x, F (x)).
Portanto graf(F ) ´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n. Exemplo 2.1.6. Seja
Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1}
a n-esfera munida com a topologia induzida de Rn+1 (portanto Hausdorff e de base enumer´avel). Sejam
Ui+ = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn | xi > 0},
Ui− = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn | xi < 0},
onde i = 1, . . . , n + 1. Tome Bn(0, 1) a bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rn e f : Bn(0, 1) → R a fun¸c˜ao
f (u) =p1 − kuk2.
Ent˜ao, para cada i, Ui+∩ Sn ´e o gr´afico da fun¸c˜ao xi = f (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1),
onde xbi indica que xi ´e omitido. Analogamente, Ui−∩ Sn ´e o gr´afico da fun¸c˜ao
xi = −f (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1). Logo, sendo φ±i : Ui±∩ Sn→ Bn(0, 1) dada por
φ±i (x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1), temos que cada (Ui±∩ Sn, φ
i) ´e uma carta de coordenadas de Sn. Como cada ponto
de Sn est´a no dom´ınio de pelo menos uma dessas 2n + 2 cartas, Sn´e uma variedade
Exemplo 2.1.7. Sejam M1, . . . , Mk variedades topol´ogicas de dimens˜ao
n1, . . . , nkrespectivamente. O produto M1× · · · × Mk ´e um espa¸co de Hausdorff e de
base enumer´avel (lema 3.2.10). Dado qualquer ponto (p1, . . . , pk) ∈ M1× · · · × Mk
podemos escolher uma carta (Ui, ϕi) para cada Mi com pi ∈ Ui. A fun¸c˜ao
ϕ1× · · · × ϕk: U1× · · · × Uk → Rn1+···+nk
´e um homeomorfismo sobre o aberto im(ϕ1× · · · × ϕk) ⊂ Rn1+···+nk. Assim, M1×
· · · × Mk´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n1+ · · · + nk com cartas da forma
(U1× · · · × Uk, ϕ1× · · · × ϕk).
Exemplo 2.1.8. Para qualquer n ∈ N, n 6= 0, o n-torus ´e o espa¸co produto Tn =
S1× · · · × S1. Pelo exemplo acima, Tn ´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n.