Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja (M, τ ) um espa¸co topol´ogico. Um atlas diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) de dimens˜ao n sobre M ´e uma fam´ılia A de homeomor-
fismos (denominados parametriza¸c˜oes) ϕλ : Uλ ∈ τ → eUλ ⊂ Rn, λ ∈ Γ, eUλ abertos,
onde
(1) M =S
λ∈ΓUλ.
(2) ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ ∩ Uµ 6= ∅ a fun¸c˜ao (denominada mudan¸ca de
carta)
ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ : ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ)
´e um difeomorfismo (de classe Ck ou de classe C∞). Neste caso dizemos que as
cartas (Uλ, ϕλ) e (Uµ, ϕµ) s˜ao compat´ıveis.
Um atlas diferenci´avel A em uma variedade M ´e maximal quando toda carta (U, ϕ) compat´ıvel com todas as cartas pertencentes a A tamb´em pertence a A.
Quando um atlas diferenci´avel A sobre M ´e de classe C∞, chamamos A de atlas suave.
Defini¸c˜ao 2.2.2. Uma variedade diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tripla (M, τ, A), onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com base enumer´avel e A ´e um atlas diferenci´avel (de classe Ck ou de
classe C∞) maximal de dimens˜ao n sobre M .
Chamaremos uma variedade sem bordo M munida com um atlas suave A, de variedade suave. Um atlas suave maximal em uma variedade topol´ogica M de dimens˜ao n ´e tamb´em chamado de estrutura suave em M .
Proposi¸c˜ao 2.2.3. Seja (M, τ ) uma variedade topol´ogica. Ent˜ao todo atlas suave sobre M est´a contido em um ´unico atlas suave maximal.
Demonstra¸c˜ao: Seja A um atlas suave sobre M e A o conjunto de todas as cartas compat´ıveis com qualquer carta em A. Precisamos mostrar que quaisquer duas cartas de A s˜ao compat´ıveis entre si, ou seja, ∀ (U, ϕ), (V, ψ) ∈ A, a fun¸c˜ao ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ) ´e um difeomorfismo de classe C∞.
Seja x = ϕ(p) ∈ ϕ(U ∩ V ). Como os dom´ınios das cartas de A cobrem M , existe alguma carta (W, θ) ∈ A tal que p ∈ W . Como toda carta em A ´e compat´ıvel com (W, θ), temos que θ ◦ ϕ−1 e ψ ◦ θ−1 s˜ao difeomorfismos de classe C∞ em seus respectivos dom´ınios. Como p ∈ U ∩ V ∩ W , a fun¸c˜ao ψ ◦ ϕ−1 = (ψ ◦ θ−1) ◦ (θ ◦ ϕ−1) ´e difeomorfismo C∞ em uma vizinhan¸ca de x. Logo ψ ◦ ϕ−1 ´e difeomorfismo C∞ em uma vizinhan¸ca de cada ponto de ϕ(U ∩ V ). Portanto A ´e um atlas suave.
Para mostrar queA ´e maximal, basta notar que uma carta compat´ıvel com qual- quer carta de A ´e, em particular, compat´ıvel com qualquer carta de A e, portanto, por defini¸c˜ao pertence a A. Se B ´e um atlas maximal qualquer contendo A, toda carta de B ´e compat´ıvel com qualquer carta de A, portanto, B ⊂ A. E, como B ´e
maximal, B = A.
Defini¸c˜ao 2.2.4. Dada uma carta (U, ϕ) de M uma variedade suave sem bordo, dizemos que U ´e uma bola de coordenadas se ϕ(U ) = Bρ(x) ⊂ Rn.
Exemplo 2.2.5. Seja (M, τ ) um espa¸co topol´ogico, com M um conjunto discreto. Para cada ponto de p ∈ M , ϕp : {p} → R0 determina um homeomorfismo, e o con-
junto A = {({p}, ϕp) | p ∈ M } satisfaz trivialmente a condi¸c˜ao de compatibilidade.
Assim, (M, τ, A) ´e uma variedade suave sem bordo.
Exemplo 2.2.6. O conjunto Rn´e uma variedade suave sem bordo quando munido
com o atlas A = {(Rn, IRn)}, onde I
Rn ´e a fun¸c˜ao identidade em R n.
Note que, se uma variedade topol´ogica M pode ser coberta por uma ´unica carta, a condi¸c˜ao de compatibilidade fica satisfeita trivialmente, portanto qualquer carta deste tipo determina uma estrutura suave em M .
Exemplo 2.2.7. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n. Qualquer norma em E determina uma topologia. Com esta topologia, E admite uma estrutura suave como segue.
Qualquer base ordenada (e1, . . . , en) de E define um isomorfismo e : Rn → E,
e(x) =
n
X
i=1
xiei.
Esta fun¸c˜ao ´e um homeomorfismo, portanto o atlas A = {(E, e−1)} define uma estrutura suave. Precisamos mostrar que esta estrutura suave ´e independente da escolha da base. De fato, seja (˜e1, . . . ˜en) qualquer outra base e ˜e(x) =
P
jxj˜ej
o isomorfismo correspondente. Ent˜ao ei = PjAije˜j para cada i, e [Aji] ´e uma
matriz invert´ıvel. A mudan¸ca entre duas cartas ´e dada por (˜e−1 ◦ e)(x) = ˜x onde ˜ x = (˜x1, . . . , ˜xn) ´e determinado por n X j=1 ˜ xje˜j = n X i=1 xiei = n X i,j=1 xiAji˜ej,
e segue que ˜xj =
P
iA j
ixi. Logo, a fun¸c˜ao x 7→ ˜x ´e uma transforma¸c˜ao linear
invert´ıvel e, portanto, um difeomorfismo de classe C∞. Assim as cartas s˜ao com- pat´ıveis e conclu´ımos que todas as bases determinam o mesmo atlas suave.
Exemplo 2.2.8. Seja Mm×n(R) o espa¸co das matrizes m × n com entradas reais.
Com as opera¸c˜oes usuais, Mm×n(R) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao mn e, pelo
exemplo acima, uma variedade suave de dimens˜ao mn sem bordo. Analogamente, Mm×n(C) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao 2mn sobre R, logo, uma variedade
suave de dimens˜ao 2mn sem bordo.
Exemplo 2.2.9. Sejam M1, . . . , Mk variedades suaves de dimens˜ao n1, . . . , nk res-
pectivamente. J´a vimos que M1× · · · × Mk´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao
n1+ · · · + nk, com cartas da forma (U1 × · · · × Uk, ϕ1× · · · × ϕk) (exemplo 2.1.7).
Quaisquer duas dessas cartas s˜ao compat´ıveis pois
(ψ1× · · · × ψk) ◦ (ϕ1× · · · × ϕk)−1 = (ψ1◦ ϕ−11 ) × · · · × (ψk◦ ϕ−1k )
´e um difeomorfismo de classe Ck. Isso define uma estrutura natural de variedade
suave em M1× · · · × Mk.
Lema 2.2.10. Seja M um conjunto, {Uα} uma cole¸c˜ao de subconjuntos de M e
ϕα : Uα → Rn uma cole¸c˜ao de fun¸c˜oes injetivas tais que:
(1) Para cada α, ϕα(Uα) ´e um aberto de Rn.
(2) Para cada α e β, ϕα(Uα∩ Uβ) e ϕβ(Uα∩ Uβ) s˜ao abertos de Rn.
(3) Se Uα∩ Uβ 6= ∅, ϕα◦ ϕ−1β : ϕβ(Uα∩ Uβ) → ϕα(Uα∩ Uβ) ´e um difeomorfismo.
(4) Existe uma subcobertura enumer´avel Uαi de M .
(5) Se p e q s˜ao pontos distintos de M , ent˜ao existe Uα tal que p, q ∈ Uα, ou existem
Uα, Uβ disjuntos tais que p ∈ Uα e q ∈ Uβ.
Ent˜ao M admite uma ´unica estrutura de variedade suave sem bordo tal que cada (Uα, ϕα) ´e uma carta.
Em muitas aplica¸c˜oes de variedades, especialmente as que envolvem integra¸c˜ao, lidaremos com espa¸cos que seriam variedades suaves, n˜ao fosse por uma esp´ecie de borda. Para formalizarmos tais espa¸cos precisamos generalizar nossa defini¸c˜ao de variedade. Quando definimos um atlas sobre um espa¸co topol´ogico, os homeomorfis- mos do atlas tinham como dom´ınio os abertos de Rn. Agora esses homeomorfismos ter˜ao como dom´ınio os abertos (com a topologia induzida de Rn) do conjunto
Hn = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | xn≥ 0}.
Defini¸c˜ao 2.2.11. Uma variedade diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) de
dimens˜ao n com bordo ´e uma tripla (M, τ, A), onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com base enumer´avel e A ´e um atlas diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) maximal de dimens˜ao n sobre M tal que as parametriza¸c˜oes ϕλ : Uλ ∈
(1) M =S
λ∈ΓUλ.
(2) ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ ∩ Uµ 6= ∅ a fun¸c˜ao (denominada mudan¸ca de
carta)
ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ : ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ)
´e um difeomorfismo (de classe Ck ou de classe C∞).
(3) ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ∩ Uµ 6= ∅, a mudan¸ca de carta ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ :
ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ) deve verificar
ϕλµ(∂(ϕλ(Uλµ))) = ∂ (ϕµ(Uλµ)) ,
onde ∂(ϕλ(Uλµ)) = ϕλ(Uλµ) ∩ ∂(Hn), ∂(ϕµ(Uλµ)) = ϕµ(Uλµ) ∩ ∂(Hn), sendo
∂(Hn) = {(x
1, . . . , xn) ∈ Rn | xn = 0}.
Definimos ainda o bordo e o interior de (M, τ, A) respectivamente por ∂M = [
λ∈Γ
ϕ−1λ (∂ eUλ), int M = M \ ∂M,
onde ∂ eUλ = eUλ ∩ ∂(Hn).
Note que decorre diretamente desta defini¸c˜ao que o interior de uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n com bordo ´e uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n sem bordo. Al´em disso, se o bordo ∂M de uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n com bordo, ´e, desde que ∂M 6= ∅, uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n − 1 sem bordo.
Chamaremos uma variedade diferenci´avel com bordo M munida de um atlas suave de variedade suave com bordo.