Universidade Federal de S˜
ao Carlos
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Departamento de Matem´
atica
Tensores e o Teorema de Stokes
Francisco Carlos Caramello Junior
Bacharelado em Matem´
atica
Liane Bordignon
Orientadora
Trabalho de Conclus˜
ao de Curso A
Primeiro Semestre de 2011
Wer nicht von dreitausend Jahren sich weiß Rechenschaft zu geben, bleib im Dunkeln unerfahren, mag von Tag zu Tage leben. Johann Wolfgang von Goethe, West- ¨Ostlicher Diwan - Buch des Unmuts.
Resumo
No presente trabalho estudamos tensores e formas diferenciais a fim de demons-trarmos o Teorema de Stokes em variedades. Esses t´opicos foram escolhidos como tema pois, al´em de serem de grande importˆancia na forma¸c˜ao de um bacharel em Matem´atica, constituem os pr´e-requisitos para o estudo da cohomologia de De Rhan, que pretendemos abordar no Trabalho de Conclus˜ao de Curso B.
Pref´
acio
Parte da proposta deste trabalho ´e fazer um estudo aprofundado da ´algebra dos tensores, indo al´em do necess´ario para a demonstra¸c˜ao do Teorema de Stokes. O primeiro cap´ıtulo, portanto, d´a o tratamento formal da ´algebra tensorial, utilizando a defini¸c˜ao de produto tensorial via propriedade universal. Mostramos, ent˜ao, que esta abordagem ´e equivalente `aquela mais comum, via produto de fun¸c˜oes multilineares. Em seguida, ainda no primeiro cap´ıtulo, constru´ımos a teoria dos tensores alternados e fazemos uma discuss˜ao sobre determinantes.
No segundo cap´ıtulo introduzimos as variedades, fazendo primeiro uma breve apresenta¸c˜ao das variedades topol´ogicas e em seguida desenvolvendo a teoria das variedades diferenci´aveis. Apresentamos os fibrados tangente e cotangente, atrav´es dos quais definimos campos de vetores e a diferencial de uma fun¸c˜ao. Em seguida introduzimos as formas diferenciais, falamos sobre orienta¸c˜oes em variedades e sobre a orienta¸c˜ao induzida no bordo de uma variedade. Por fim, fazemos a teoria de integra¸c˜ao em variedades, cujo resultado principal ´e o Teorema de Stokes.
Elaboramos, tamb´em, um apˆendice que traz as principais defini¸c˜oes e resultados dos pr´e-requisitos necess´arios para o desenvolvimento do texto.
Tentamos, na medida do poss´ıvel, ilustrar a teoria com exemplos. A grande extens˜ao do trabalho, no entanto, dificultou tanto a inclus˜ao de exemplos mais sofisticados como, o leitor h´a de notar, de figuras no texto. E nossa inten¸c˜´ ao, por´em, aprofundar e completar esta primeira parte do trabalho enquanto estivermos desenvolvendo o projeto do Trabalho de Conclus˜ao de Curso B, que ser´a, como j´a citamos, uma sequˆencia deste.
Sum´
ario
Resumo iv
Pref´acio vi
1 Algebra Multilinear´ 1
1.1 Aplica¸c˜oes Multilineares . . . 1
1.2 Produto Tensorial . . . 2
1.3 Aplica¸c˜oes Lineares . . . 9
1.4 Produto Tensorial de p Espa¸cos Vetoriais . . . 10
1.5 Espa¸cos Duais . . . 12
1.6 Algebra Tensorial . . . 13´
1.7 Tensores Mistos . . . 16
1.8 Algebra das Fun¸c˜´ oes Multilineares . . . 18
1.9 Tensores Alternados . . . 20
1.10 Produto Exterior . . . 26
1.11 Determinantes . . . 28
2 An´alise em Variedades 31 2.1 Variedades Topol´ogicas . . . 31
2.2 Variedades Diferenci´aveis . . . 33
2.3 Fun¸c˜oes Diferenci´aveis . . . 36
2.4 Parti¸c˜oes da Unidade . . . 37
2.5 Vetores Tangentes . . . 41
2.6 Fibrado Tangente e Cotangente . . . 46
2.7 Formas Diferenciais . . . 52 2.8 Orienta¸c˜oes . . . 57 2.9 Integra¸c˜ao . . . 61 Apˆendice 69 Conjuntos . . . 69 Topologia . . . 72 ´ Algebra . . . 76 An´alise . . . 83 ´Indice Remissivo 89
Cap´ıtulo 1
´
Algebra Multilinear
Neste cap´ıtulo apresentamos os tensores. Esses objetos s˜ao uma generaliza¸c˜ao dos vetores e s˜ao o caso geral dos tensores alternados, que tamb´em introduzimos aqui. Estudamos a ´algebra tensorial, a ´algebra exterior e os determinantes. Este ´
ultimo t´opico constitui tanto uma aplica¸c˜ao dos dois primeiros como teoria tamb´em usada no decorrer do trabalho. Os tensores alternados s˜ao retomados no cap´ıtulo 2 ao definirmos as formas diferenciais.
1.1
Aplica¸
c˜
oes Multilineares
Defini¸c˜ao 1.1.1. Sejam p + 1 espa¸cos vetoriais E1, . . . , Ep e G sobre um corpo Γ.
Uma aplica¸c˜ao f : E1 × · · · × Ep → G ´e p-linear se, ∀ i, 1 ≤ i ≤ p,
f (x1, . . . , xi+ yi, . . . , xp) = f (x1, . . . , xi, . . . , xp) + f (x1, . . . , yi, . . . , xp),
para todo xi, yi ∈ Ei, e
f (x1, . . . , λxi, . . . , xp) = λf (x1, . . . , xi, . . . , xp),
para todo λ ∈ Γ
Costumamos chamar uma aplica¸c˜ao 2-linear de bilinear e, mais geralmente, uma aplica¸c˜ao p-linear de multilinear. Quando G = Γ na defini¸c˜ao acima, chamamos f de funcional p-linear.
O conjunto das aplica¸c˜oes p-lineares f : E1 × · · · × Ep → G ser´a denotado por
L(E1, . . . , Ep; G). Definimos a soma e o produto por escalar em L(E1, . . . , Ep; G)
respectivamente por
(f + g)(x1, . . . , xp) = f (x1, . . . , xp) + g(x1, . . . , xp),
(λf )(x1, . . . , xp) = λf (x1, . . . , xp).
Proposi¸c˜ao 1.1.2. O conjunto L(E1, . . . , Ep; G) munido com as opera¸c˜oes acima
1.2
Produto Tensorial
Defini¸c˜ao 1.2.1. Sejam E, F e T espa¸cos vetoriais sobre Γ e ⊗ : E × F → T uma aplica¸c˜ao bilinear. Dizemos que ⊗ tem a propriedade universal se satisfaz:
(1) Os vetores ⊗(x, y) geram T .
(2) Se ϕ ´e uma aplica¸c˜ao bilinear de E × F em qualquer espa¸co vetorial H, ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao linear f : T → H tal que o diagrama
E × F ϕ // ⊗ H T f ;; comuta.
Daqui em diante denotaremos ⊗(x, y) por x ⊗ y.
Exemplo 1.2.2. Considere a aplica¸c˜ao bilinear Γ × F → F dada por λ ⊗ y = λy. Como 1 ⊗ y = y, essa aplica¸c˜ao satisfaz (1). Para verificar (2), seja ϕ : Γ × F → H uma aplica¸c˜ao bilinear qualquer e defina f : F → H por
f (y) = ϕ(1, y). Ent˜ao, para todo λ ∈ Γ, y ∈ F
ϕ(λ, y) = λϕ(1, y) = λf (y) = f (λy) = f (λ ⊗ y). Portanto vale (2).
Proposi¸c˜ao 1.2.3. Sejam ai ∈ E, i = 1, . . . , r, vetores linearmente independentes
e bi ∈ F , i = 1, . . . , r, vetores quaisquer. Ent˜ao a rela¸c˜ao
X
i
ai⊗ bi = 0
implica bi = 0, para todo i.
Demonstra¸c˜ao: Como ai s˜ao linearmente independentes, podemos tomar r fun¸c˜oes
lineares fi : E → Γ tais que
fi(aj) = δji =
1 se i = j, 0 se i 6= j. Considere a fun¸c˜ao bilinear
Φ(x, y) =
r
X
i=1
fi(x)gi(y),
onde x ∈ E, y ∈ F e gi s˜ao fun¸c˜oes lineares arbitr´arias em F . Pela condi¸c˜ao (2) da
propriedade universal, existe uma fun¸c˜ao linear h em T tal que h(x ⊗ y) =X
i
Ent˜ao h X j aj ⊗ bj ! =X i,j fi(aj)gi(bj) = X i gi(bi). ComoP jaj⊗ bj = 0, temos que P
igi(bi) = 0. Mas, como gi s˜ao arbitr´arias, segue
que bi = 0 ∀ i.
Corol´ario 1.2.4. Se a 6= 0 e b 6= 0, ent˜ao a ⊗ b 6= 0.
Proposi¸c˜ao 1.2.5. Seja {eα}α∈A uma base de E. Ent˜ao todo vetor z ∈ T pode ser
escrito na forma
z =X
α
eα⊗ bα,
com bα ∈ F , onde apenas uma quantidade finita de bα ´e diferente de zero. Al´em
disso, os bα ficam unicamente determinados por z.
Demonstra¸c˜ao: Pela condi¸c˜ao (1) da propriedade universal, z ´e uma soma finita da forma z =X ν xν⊗ yν, com xν ∈ E, yν ∈ F . Escreva xν = P αλ α νeα, λαν ∈ Γ. Ent˜ao z =X ν,α λανeα⊗ yν = X ν,α eα⊗ λανyν = X α eα⊗ bα, onde bα = P
νλανyν. Para provar a unicidade, suponha que
X α eα⊗ bα = X α eα⊗ b0α, com bα, b0α ∈ F . Ent˜ao X α eα⊗ (bα− b0α) = 0 e, pela Proposicao 1.2.3, bα= b0α
Proposi¸c˜ao 1.2.6. Qualquer vetor z ∈ T , z 6= 0, pode ser escrito na forma z =
r
X
i=1
xi⊗ yi,
onde xi ∈ E, yi ∈ F , {xi} ´e linearmente independente e {yi} ´e linearmente
indepen-dente.
Demonstra¸c˜ao: Escreva z = Pr
i=1xi⊗ yi de forma que r seja m´ınimo. Se r = 1,
pela bilinearidade de ⊗, x1 6= 0 e y1 6= 0. Caso r ≥ 2, se os vetores xis˜ao linearmente
dependentes, podemos assumir que xr =
r−1
X
i=1
Ent˜ao temos que z = r−1 X i=1 xi⊗ yi+ r−1 X i=1 λixi⊗ yr = r−1 X i=1 xi⊗ (yi+ λiyr) = r−1 X i=1 xi⊗ yi0,
contrariando a minimalidade de r. Portanto {xi} ´e linearmente independente.
De forma an´aloga mostramos que yi s˜ao linearmente independentes.
A seguir mostraremos a existˆencia e a unicidade de aplica¸c˜oes bilineares com a propriedade universal.
Proposi¸c˜ao 1.2.7. Suponha que ⊗1 : E × F → T1 e ⊗2 : E × F → T2 s˜ao
aplica¸c˜oes bilineares com a propriedade universal. Ent˜ao existe um isomorfismo linear f : T1 → T2 tal que
f (x ⊗1y) = x ⊗2y
para todo x ∈ E, y ∈ F .
Demonstra¸c˜ao: De fato, pela condi¸c˜ao (2) da propriedade universal, temos aplica¸c˜oes lineares f : T1 → T2 e g : T2 → T1 tais que f (x ⊗1 y) = x ⊗2 y
e g(x ⊗2 y) = x ⊗1 y para todo x ∈ E, y ∈ F . Essas rela¸c˜oes implicam que
g(f (x ⊗1y)) = x ⊗1 y e que f (g(x ⊗2y)) = x ⊗2y. A condi¸c˜ao (1) da propriedade
universal garante que g ◦ f = id = f ◦ g. Logo f e g s˜ao isomorfismos lineares
inversos.
Proposi¸c˜ao 1.2.8. Existe uma aplica¸c˜ao bilinear ⊗ : E × F → T que tem a propriedade universal.
Demonstra¸c˜ao: Considere o espa¸co vetorial livre M (E × F ) gerado por E × F e N (E, F ) o subespa¸co de M (E × F ) gerado pelos vetores
(λx1+ µx2, y) − λ(x1, y) − µ(x2, y)
e
(x, λy1+ µy2) − λ(x, y1) − µ(x, y2).
Tome T = M (E × F )/N (E, F ) e π : M (E × F ) → T a proje¸c˜ao canˆonica. Defina ⊗ : E × F → T por x ⊗ y = π(x, y). Como π(λx1+ µx2, y) = λπ(x1, y) + µπ(x2, y),
segue que
(λx1 + µx2) ⊗ y = π(λx1+ µx2, y)
= λπ(x1, y) + µπ(x2, y)
= λx1⊗ y + µx2⊗ y.
De forma an´aloga mostramos a linearidade em y. Note que todo vetor z ∈ T ´e uma soma finita z = π X i,j λij(xi, yj) ! ,
com xi ∈ E, yj ∈ F . Ent˜ao X i,j λijxi ⊗ yj = X i,j λijπ(xi, yj) = π X i,j λij(xi, yj) ! = z e, portanto, ⊗ satisfaz a condi¸c˜ao (1) da propriedade universal.
Considere agora uma aplica¸c˜ao bilinear Ψ : E × F → H, onde H ´e um espa¸co vetorial qualquer. Como {(x, y) | x ∈ E , y ∈ F } forma uma base para M (E × F ), existe uma aplica¸c˜ao linear g : M (E × F ) → H unicamente determinada tal que g(x, y) = Ψ(x, y). Da bilinearidade de Ψ segue que N (E, F ) ⊂ ker(g). De fato, se
z = (λx1+ µx2, y) − λ(x1, y) − µ(x2, y)
´e um gerador de N (E, F ), ent˜ao
g(z) = g(λx1+ µx2, y) − λg(x1, y) − µg(x2, y)
= Ψ(λx1 + µx2, y) − λΨ(x1, y) − µΨ(x2, y)
= 0.
Analogamente mostramos que g((x, λy1+ µy2) − λ(x, y1) − µ(x, y2)) = 0.
Portanto g induz uma aplica¸c˜ao linear f : M (E × F )/N (E, F ) → H tal que f ◦ π = g. Em particular,
(f ◦ ⊗)(x, y) = f (π(x, y)) = g(x, y) = Ψ(x, y)
e, ent˜ao, ⊗ satisfaz a condi¸c˜ao (2) da propriedade universal. Defini¸c˜ao 1.2.9. O produto tensorial de dois espa¸cos vetoriais E e F ´e um par (T, ⊗) onde ⊗ : E × F → T ´e uma aplica¸c˜ao bilinear com a propriedade universal. O espa¸co T determinado por E e F ´e chamado de produto tensorial de E e F e denotado por E ⊗ F . Os elementos de E ⊗ F s˜ao chamados de tensores e os tensores da forma e ⊗ f , com e ∈ E, f ∈ F , s˜ao ditos decompon´ıveis.
Exemplo 1.2.10. O par (Mn×m, β), onde β : Γn× Γm → Mn×m ´e a aplica¸c˜ao
bilinear definida por
(ξ1, . . . , ξn) × (η1, . . . , ηm) 7→ ξ1η1 . . . ξ1ηm .. . ... ξnη1 . . . ξnηm , ´e o produto tensorial de Γn por Γm.
Mais geralmente, temos o seguinte:
Exemplo 1.2.11. Seja Mn1×···×nk o conjunto das matrizes k-dimensionais com
en-tradas em um corpo Γ, ou seja, um elemento A de Mn1×···×nk se escreve como
onde ξi1...ik ∈ Γ, com i
j = 1, . . . , nj. Com a soma e a multiplica¸c˜ao por escalar
A + B = (ξi1...ik + ηi1...ik), λA = (λξi1...ik), Mn1×···×nk torna-se um espa¸co vetorial
sobre Γ.
O par (Mn1×···×nk×m1×···×ml, ⊗), onde
⊗ : Mn1×···×nk × Mm1×···×ml → Mn1×···×nk×m1×···×ml
´e a aplica¸c˜ao bilinear definida por
(ξi1...ik) × (ηi1...il) 7→ (ξi1...ikηi1...il),
´e o produto tensorial de Mn1×···×nk e Mm1×···×ml.
Proposi¸c˜ao 1.2.12. Sejam E, F e G espa¸cos vetoriais. Existe um isomorfismo linear
Φ : L(E ⊗ F ; G) → L(E, F ; G). Demonstra¸c˜ao: Dada f ∈ L(E ⊗ F ; G), seja
Φ(f ) = f ◦ ⊗.
A condi¸c˜ao (2) da propriedade universal implica que Φ ´e sobrejetora, uma vez que afirma que qualquer aplica¸c˜ao bilinear ψ : E × F → G pode ser fatorada sobre o produto tensorial, ou seja, pode ser escrita como ψ = f ◦ ⊗.
Suponha que f ◦ ⊗ = 0 para alguma aplica¸c˜ao linear f : E ⊗ F → G. Pela condi¸c˜ao (1) da propriedade universal, E ⊗ F ´e gerado pelos produtos x ⊗ y, e segue
que f = 0.
Lema 1.2.13. Sejam Eα, α ∈ I e Fβ, β ∈ J duas fam´ılias de espa¸cos vetoriais sobre
Γ e seja, para cada par (α, β), (Eα⊗ Fβ, ⊗) o produto tensorial de Eα e Fβ. Sejam
e E =M α Eα, F =e M β Fβ, G =e M α,β Eα⊗ Fβ,
e seja ϕ : eE × eF → eG a aplica¸c˜ao bilinear dada por ϕ(˜x, ˜y) =X
α,β
iαβ(πα(˜x) ⊗ πβ(˜y)),
onde πα : eE → Eα e πβ : eF → Fβ s˜ao as proje¸c˜oes canˆonicas e iαβ : Eα⊗ Fβ → eG ´e
a inclus˜ao canˆonica. Ent˜ao ( eG, ϕ) ´e o produto tensorial de eE e eF .
Demonstra¸c˜ao: A condi¸c˜ao (1) da propriedade universal ´e trivialmente satisfeita, pois todo elemento de eG se escreve, por defini¸c˜ao, como soma de elementos de Eα⊗ Fβ. Para verificar a condi¸c˜ao (2), seja eΨ : eE × eF → H uma aplica¸c˜ao bilinear
qualquer. Defina Ψαβ : Eα× Fβ → H por
onde iα : Eα → eE e iβ : Fβ → eF s˜ao as inclus˜oes canˆonicas. Ent˜ao Ψαβ induz uma
aplica¸c˜ao linear fαβ : Eα⊗ Fβ → H tal que
Ψαβ(x, y) = fαβ(x ⊗ y),
onde x ∈ Eα e y ∈ Fβ. Sendo παβ : eG → Eα⊗ Fβ a proje¸c˜ao canˆonica, defina uma
aplica¸c˜ao linear f : eG → H por
f =X α,β fαβ◦ παβ. Segue que (f ◦ ϕ)(˜x, ˜y) = f X α,β iαβ(πα(˜x) ⊗ πβ(˜y)) ! = X α,β fαβ(πα(˜x) ⊗ πβ(˜y)) = X α,β Ψαβ(πα(˜x), πβ(˜y)) = Ψe X α iα(πα(˜x)), X β iβ(πβ(˜y)) ! = Ψ(˜e x, ˜y). Portanto f ◦ ϕ = eΨ.
Lema 1.2.14. Seja (E ⊗ F, ⊗) o produto tensorial dos espa¸cos vetoriais E e F e suponha que E =L
αEα e F =
L
βFβ s˜ao decomposi¸c˜oes em soma direta. Ent˜ao
E ⊗ F = M
α,β
Eα⊗ Fβ.
Demonstra¸c˜ao: Pela condi¸c˜ao (1) da propriedade universal, E ⊗ F ´e gerado pelos produtos da forma x ⊗ y, x ∈ E, y ∈ F . Como x =P
αxα, xα ∈ Eα e y = P βyβ, yβ ∈ Fβ, segue que x ⊗ y =X α,β xα⊗ yβ.
Isso mostra que E ⊗ F ´e a soma dos subespa¸cos Eα ⊗ Fβ. Para mostrar que a
decomposi¸c˜ao ´e direta, considere as somas diretas e E =M α Eα, F =e M β Fβ, G =e M α,β Eα⊗ Fβ
e as inclus˜oes e proje¸c˜oes canˆonicas iα, iβ, iαβ, πα, πβ e παβ como no Lema 1.2.13.
Ent˜ao, se ϕ : eE × eF → eG ´e a aplica¸c˜ao bilinear dada por ϕ(˜x ⊗ ˜y) =X
α,β
o Lema 1.2.13 mostrou que o par ( eG, ϕ) ´e o produto tensorial de eE e eF .
Considere agora os isomorfismos lineares f : E → eE e g : F → eF definidos por f (x) =X α iα(xα), g(x) = X β iβ(yβ), sendo x = P αxα, xα ∈ Eα e y = P
βyβ, yβ ∈ Fβ, e defina uma aplica¸c˜ao linear
Ψ : E × F → eG por
Ψ(x, y) = ϕ(f (x), g(y)).
Pela condi¸c˜ao (2) da propriedade universal, existe uma aplica¸c˜ao linear h : E ⊗ F → e
G tal que
h(x ⊗ y) = Ψ(x, y) = ϕ(f (x), g(y)).
Se x ∈ Eλ e y ∈ Fµ para algum (λ, µ) fixo, segue das defini¸c˜oes de f , g e ϕ que
h(x ⊗ y) = ϕ(f (x), g(y)) = ϕ(iλ(x), iµ(y))
= X
α,β
iαβ(πα(iλ(x)) ⊗ πβ(iµ(y))) = iλµ(x ⊗ y),
e isso mostra que h leva cada subespa¸co Eα⊗Fβ de E ⊗F no subespa¸co iαβ(Eα⊗Fβ)
de eG. Como a decomposi¸c˜ao eG = P α,βiαβ(Eα ⊗ Fβ) ´e direta, a decomposi¸c˜ao E ⊗ F =P α,βEα⊗ Fβ tamb´em o ´e, ou seja, E ⊗ F =M α,β (Eα⊗ Fβ).
Proposi¸c˜ao 1.2.15. Sejam (aα)α∈I e (bβ)β∈J bases, respectivamente dos espa¸cos
vetoriais E e F . Ent˜ao (aα⊗ bβ)α∈I,β∈J ´e uma base de E ⊗ F .
Demonstra¸c˜ao: Sejam Eα e Fβ os subespa¸cos de E e F gerados por aα e bβ
respectivamente. Ent˜ao E =L
αEα e F =
L
βFβ e segue do lema (1.2.14) que
E ⊗ F = M
α,β
Eα⊗ Fβ.
Mostramos no Corol´ario (1.2.4) que aα 6= 0 e bβ 6= 0 implica aα ⊗ bβ 6= 0. Por
outro lado, a condi¸c˜ao (1) da propriedade universal aplicada a Eα e Fβ implica que
Eα⊗ Fβ ´e gerado por um ´unico elemento aα⊗ bβ. Ent˜ao E ⊗ F ´e soma direta dos
subespa¸cos gerados pelos produtos aα⊗ bβ, e, portanto, estes formam uma base para
E ⊗ F .
Segue tamb´em que, se E e F tˆem dimens˜ao finita, E ⊗ F tem dimens˜ao finita e dim(E ⊗ F ) = dim(E) dim(F ).
1.3
Aplica¸
c˜
oes Lineares
Dados E, E0, F , F0, espa¸cos vetoriais, considere ϕ : E → E0 e ψ : F → F0 aplica¸c˜oes lineares. Definimos uma aplica¸c˜ao bilinear E × F → E0⊗ F0 por
(x, y) → ϕ(x) ⊗ ψ(y).
Pela condi¸c˜ao (2) da propriedade universal, existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear χ : E ⊗ F → E0⊗ F0 tal que
χ(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y). A correspondˆencia (ϕ, ψ) → χ define uma aplica¸c˜ao bilinear
β : L(E; E0) × L(F ; F0) → L(E ⊗ F ; E0⊗ F0) Proposi¸c˜ao 1.3.1. A aplica¸c˜ao linear
f : L(E; E0) ⊗ L(F ; F0) → L(E ⊗ F ; E0⊗ F0) induzida pela aplica¸c˜ao β ´e injetiva.
Demonstra¸c˜ao: Seja w tal que f (w) = 0. Se w 6= 0 podemos escrever, pela Proposi¸c˜ao 1.2.6, w = r X i=1 ϕi⊗ ψi
ϕi ∈ L(E; E0) e ψi ∈ L(F ; F0) sendo ϕi linearmente independentes e ψi linearmente
independentes. Ent˜ao f (w) =P iβ(ϕi, ψi) e, como f (w) = 0, r X i=1 ϕi(x) ⊗ ψi(y) = 0, (1.1)
para todo par x ∈ E, y ∈ F .
Tome a ∈ E tal que ϕ1(a) 6= 0 e seja p ≥ 1 o n´umero m´aximo de vetores
linear-mente independentes no conjunto {ϕ1(a), . . . , ϕr(a)}. Suponha que ϕ1(a), . . . , ϕp(a)
sejam tais vetores linearmente independentes. Temos ϕj(a) = p X i=1 λjiϕi(a), j = p + 1, . . . , r, e, por (1.1), p X i=1 ϕi(a) ⊗ ψi(y) + r X j=p+1 p X i=1 λjiϕi(a) ! ⊗ ψj(y) = 0, ou seja, p X i=1 ϕi(a) ⊗ r X j=p+1 λjiψj(y) + ψi(y) ! = 0.
Como os vetores ϕ1(a), . . . , ϕp(a) s˜ao linearmente independentes, segue que ψi(y) + r X j=p+1 λjiψj(y) = 0,
com i = 1, . . . , p, para todo y ∈ F . Isto ´e, ψi+
Pr
j=p+1λjiψj = 0, contradizendo a
hip´otese de que ϕj s˜ao linearmente independentes. Portanto, f ´e injetiva.
Corol´ario 1.3.2. O par (im(β), β) ´e o produto tensorial de L(E; E0) e L(F ; F0). Corol´ario 1.3.3. A aplica¸c˜ao bilinear β : L(E) × L(F ) → L(E ⊗ F ) dada por
β(f, g)(x ⊗ y) = f (x)g(y) ´e tal que (im(β), β) ´e o produto tensorial de L(E) e L(F ).
Corol´ario 1.3.4. Se E e F tˆem dimens˜ao finita, os elementos β(ϕ, ψ) geram o espa¸co L(E ⊗ F ; E0⊗ F0) e ent˜ao (L(E ⊗ F ; E0⊗ F0), β) ´e o produto tensorial de
L(E; E0) e L(F ; F0).
Chamamos β(ϕ, ψ) de produto tensorial das aplica¸c˜oes lineares ϕ e ψ e denota-mos β(ϕ, ψ) = ϕ ⊗ ψ. A f´ormula χ(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y) lˆe-se, ent˜ao
(ϕ ⊗ ψ)(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y).
1.4
Produto Tensorial de p Espa¸
cos Vetoriais
Defini¸c˜ao 1.4.1. Sejam Ei, i = 1, . . . , p, p espa¸cos vetoriais e
⊗ : E1× · · · × Ep → T
uma aplica¸c˜ao p linear. Dizemos que ⊗ tem a propriedade universal se satisfaz: (1) Os vetores x1⊗ · · · ⊗ xp geram T .
(2) Toda aplica¸c˜ao p-linear ϕ : E1× · · · × Ep → H (H um espa¸co vetorial qualquer)
pode ser escrita na forma
ϕ(x1, . . . , xp) = f (x1⊗ · · · ⊗ xp),
onde f : T → H ´e linear.
A existˆencia e unicidade de aplica¸c˜oes p-lineares com a propriedade universal s˜ao demonstradas da mesma maneira como no caso p = 2.
Defini¸c˜ao 1.4.2. O produto tensorial de p espa¸cos Ei, i = 1, . . . , p, ´e um par
(T, ⊗) onde ⊗ : E1 × · · · × Ep → T ´e uma aplica¸c˜ao p-linear com a propriedade
universal. O espa¸co T ´e chamado de produto tensorial dos espa¸cos Ei e denotado
por E1 ⊗ · · · ⊗ Ep. Os elementos de E1 ⊗ · · · ⊗ Ep s˜ao chamados de tensores e os
Analogamente a Proposi¸c˜ao 1.2.12, se H ´e um espa¸co vetorial qualquer a corres-pondˆencia ϕ ↔ f expressa pelo diagrama comutativo
E × · · · × Ep ϕ // ⊗ H E1⊗ · · · ⊗ Ep f 88
determina um isomorfismo linear
Φ : L(E1⊗ · · · ⊗ Ep; H) → L(E1, . . . , Ep; H).
Proposi¸c˜ao 1.4.3. Sejam E1, E2 e E3trˆes espa¸cos vetoriais. Existe um isomorfismo
linear f : E1⊗ E2⊗ E3 → (E1⊗ E2) ⊗ E3 tal que
f (x ⊗ y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z.
Demonstra¸c˜ao: Considere a aplica¸c˜ao 3-linear E1 × E2× E3 → (E1 ⊗ E2) ⊗ E3
dada por
(x, y, z) → (x ⊗ y) ⊗ z.
Pela condi¸c˜ao (2) da propriedade universal, existe uma aplica¸c˜ao linear induzida f : E1⊗ E2⊗ E3 → (E1⊗ E2) ⊗ E3 tal que
f (x ⊗ y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z.
Por outro lado, para cada z ∈ E3 fixo existe uma aplica¸c˜ao bilinear βz : E1×
E2× E3 → E1⊗ E2⊗ E3 definida por
βz(x, y) = x ⊗ y ⊗ z,
que induz uma aplica¸c˜ao linear gz : E1⊗ E2 → E1⊗ E2⊗ E3 tal que
gz(x ⊗ y) = x ⊗ y ⊗ z.
Defina Ψ : (E1⊗ E2) × E3 → E1⊗ E2⊗ E3 por Ψ(u, z) = gz(u), onde u ∈ E1⊗ E2,
z ∈ E3. Ent˜ao Ψ induz uma aplica¸c˜ao linear
g : (E1⊗ E2) ⊗ E3 → E1⊗ E2⊗ E3
tal que Ψ(u, z) = g(u ⊗ z), u ∈ E1⊗ E2, z ∈ E3.
Temos ent˜ao que
g((x ⊗ y) ⊗ z) = Ψ(x ⊗ y, z) = gz(x ⊗ y) = x ⊗ y ⊗ z
e, pela defini¸c˜ao de f , f (g((x ⊗ y) ⊗ z)) = (x ⊗ y) ⊗ z, mostrando que f ´e um isomorfismo linear e g seu inverso. Da mesma maneira construimos um isomorfismo linear h : E1 ⊗ E2 ⊗ E3 →
E1⊗ (E2⊗ E3) tal que h(x ⊗ y ⊗ z) = x ⊗ (y ⊗ z). Assim, h ◦ f−1 ´e um isomorfismo
Mais geralmente, se Ei, i = 1, . . . , p + q s˜ao p + q espa¸cos vetoriais, existe
exatamente um isomorfismo
f : (E1⊗ · · · ⊗ Ep) ⊗ (Ep+1⊗ · · · ⊗ Ep+q) → E1⊗ · · · ⊗ Ep+q
tal que
f ((x1⊗ · · · ⊗ xp) ⊗ (xp+1⊗ · · · ⊗ xp+q)) = x1⊗ · · · ⊗ xp+q,
e segue que h´a uma ´unica aplica¸c˜ao bilinear
β : (E1⊗ · · · ⊗ Ep) × (Ep+1⊗ · · · ⊗ Ep+q) → E1⊗ · · · ⊗ Ep+q
tal que
β(x1⊗ · · · ⊗ xp, xp+1⊗ · · · ⊗ xp+q) = x1⊗ · · · ⊗ xp+q,
e que o par (E1⊗· · ·⊗Ep+q, β) ´e o produto tensorial de E1⊗· · ·⊗Epe Ep+1⊗· · ·⊗Ep+q.
A teoria para o caso p = 2 se estende ao caso geral, ent˜ao, de maneira natural. Em particular, se (ai
ν) ´e uma base para Ei, i = 1, . . . , p, os produtos a1ν1 ⊗ · · · ⊗ a
p νp
formam uma base para E1⊗ · · · ⊗ Ep, e, se os espa¸cos Ei tˆem dimens˜ao finita,
dim(E1⊗ · · · ⊗ Ep) = dim(E1) . . . dim(Ep).
1.5
Espa¸
cos Duais
Proposi¸c˜ao 1.5.1. Sejam E, E0, E00 e F , F0, F00 espa¸cos vetoriais sobre Γ e ϕ : E × E0 → E00, ψ : F × F0 → F00
aplica¸c˜oes bilineares. Ent˜ao existe exatamente uma aplica¸c˜ao bilinear χ : (E ⊗ F ) × (E0 ⊗ F0) → E00× F00 tal que
χ(x ⊗ y, x0⊗ y0) = ϕ(x, x0) ⊗ ψ(y, y0),
com x ∈ E, x0 ∈ E0, y ∈ F , y0 ∈ F0.
Demonstra¸c˜ao: Como E ⊗ F e E0⊗ F0 s˜ao gerados pelos produtos x ⊗ y e x0⊗ y0
respectivamente, fica claro que se χ existe ela ´e unicamente determinada por ϕ e ψ. Para mostrar a existˆencia de χ, considere as aplica¸c˜oes lineares
f : E ⊗ E0 → E00, g : F ⊗ F0 → F00
induzidas, respectivamente, por ϕ e ψ. Ent˜ao f ⊗ g : (E ⊗ E0) ⊗ (F ⊗ F0) → E00⊗ F00
´e linear. Tome S : (E ⊗ F ) ⊗ (E0⊗ F0) → (E ⊗ E0) ⊗ (F ⊗ F0) o isomorfismo linear
definido por
S(x ⊗ y) ⊗ (x0⊗ y0)= (x ⊗ x0) ⊗ (y ⊗ y0)
e defina χ(u, v) = (f ⊗ g)S(u ⊗ v) onde u ∈ E ⊗ F , v ∈ E0⊗ F0. Segue que
χ(x ⊗ y, x0⊗ y0) = (f ⊗ g)((x ⊗ x0) ⊗ (y ⊗ y0)) = f (x ⊗ x0) ⊗ g(y ⊗ y0) = ϕ(x, x0)ψ(y, y0).
Isso termina a demonstra¸c˜ao. Denotaremos χ por ϕ ⊗ ψ. Em particular, todo par de fun¸c˜oes bilineares
Φ : E × E0 → Γ, Ψ : F × F0 → Γ
induz uma fun¸c˜ao bilinear Φ ⊗ Ψ : (E ⊗ F ) × (E0⊗ F0) → Γ tal que
(Φ ⊗ Ψ)(x ⊗ y, x0⊗ y0) = Φ(x, x0)Ψ(y, y0).
Suponha, agora, que E∗ e F∗ s˜ao os duais de E e F e sejam ambos os produtos escalares denotados por h·, ·i. O resultado acima mostra que existe exatamente uma fun¸c˜ao bilinear h·, ·i : (E∗⊗ F∗) × (E ⊗ F ) → Γ tal que
hx∗⊗ y∗, x ⊗ yi = hx∗, xihy∗, yi.
Em outras palavras, se E∗ e F∗ s˜ao os duais de E e F , a dualidade entre E∗⊗ F∗
e E ⊗ F ´e induzida.
Sejam Ei∗, Ei, i = 1, . . . , p, pares de duais onde todos os produtos escalares s˜ao
denotados por h·, ·i. Como no caso p = 2, um produto escalar entre E1∗⊗ · · · ⊗ E∗ n e E1⊗ · · · ⊗ En tal que hx1⊗ · · · ⊗ xn, x1⊗ · · · ⊗ xni = hx1, x1i . . . hxn, xni, onde xi ∈ E∗ i e xi ∈ Ei, ´e induzido.
1.6
Algebra Tensorial
´
Defini¸c˜ao 1.6.1. Seja E um espa¸co vetorial e p ≥ 2. O par (N
p(E), ⊗ p), onde O p p(E) = E ⊗ · · · ⊗ E | {z } p
´e chamado de p-´esima potˆencia tensorial de E e os elementos de N
p(E) s˜ao ditos
tensores de grau p ou p-tensores.
Estendemos a defini¸c˜ao para os casos p = 0 e p = 1 colocando N
0(E) = Γ e
N
1(E) = E.
Tensores da forma x1⊗ · · · ⊗ xp, p ≥ 1, e tensores de grau zero s˜ao chamados de
decompon´ıveis.
Para todo p e q h´a uma ´unica aplica¸c˜ao bilinear β :O p (E) ×O q (E) →O p+q (E) tal que β(x1⊗ · · · ⊗ xp, xp+1⊗ · · · ⊗ xp+q) = x1⊗ · · · ⊗ xp+q
e, al´em disso, o par (N
p+q(E), β) ´e o produto tensorial de
N
p(E) e
N
q(E), como
mostramos na Se¸c˜ao 1.4. Escreveremos, portanto, u ⊗ v ao inv´es de β(u, v). Assim, temos
(x1⊗ · · · ⊗ xp) ⊗ (xp+1⊗ · · · ⊗ xp+q) = x1⊗ · · · ⊗ xp+q. (1.2)
O tensor u ⊗ v ´e chamado de produto dos tensores u e v. O produto (1.2) ´e associativo, como segue de sua defini¸c˜ao, mas n˜ao ´e comutativo (exceto para o caso dim E = 1). De fato, se x, y ∈ E s˜ao linearmente independentes, os produtos x ⊗ y e y ⊗ x tamb´em o s˜ao, e logo, x ⊗ y 6= y ⊗ x.
Note que o produto λ ⊗ x, onde λ ∈ N
0(E) = Γ e x ∈
N
p(E), ´e o vetor
λx ∈N
p(E) obtido pela multiplica¸c˜ao de x pelo escalar λ.
Segue tamb´em do que consideramos na Se¸c˜ao 1.4 que, se (eν)ν∈N ´e uma base
de E, os produtos eν1 ⊗ · · · ⊗ eνp formam uma base de
N
p(E). Em particular, se
dim E = n < ∞, e (ei) ´e uma base de E, os produtos ei1 ⊗ · · · ⊗ eip formam uma
base deN p(E) e dim N p(E)
= np. Nesse caso, todo tensor x ∈N
p(E) pode ser
escrito unicamente como
x = X
i1,...,ip
λi1...ipe
i1 ⊗ · · · ⊗ eip,
onde ij = 1, . . . , n para todo j = 1, . . . , p.
Os coeficientes λi1...ip s˜ao chamados de componentes de x em rela¸c˜ao `a base (e
i).
Defini¸c˜ao 1.6.2. Seja (A, +, ·, Γ) um espa¸co vetorial e : A × A → A. Dizemos que (A, +, , ·, Γ) ´e uma ´algebra sobre Γ se satisfaz, para todo x, y, z ∈ E e para todo λ, µ ∈ Γ,
(1) (x + y) z = x z + y z. (2) x (y + z) = x y + x z. (3) (λ · x) (µ · y) = (λµ) · (x y).
Quando ´e associativa, dizemos que a ´algebra A ´e uma ´algebra associativa sobre Γ.
Defini¸c˜ao 1.6.3. Uma ´algebra graduada ´e uma ´algebra sobre um corpo (A, +, , ·, Γ) que admite uma decomposi¸c˜ao em soma direta
A =M
k
Ak
tal que o produto satisfaz {xk xl | xk∈ Ak, xl ∈ Al} ⊂ Ak+l.
Defini¸c˜ao 1.6.4. Sejam (A1, +1, 1, ·1, Γ) e (A2, +2, 2, ·2, Γ) ´algebras sobre Γ e
ϕ : A1 → A2 uma bije¸c˜ao. Dizemos que ϕ ´e um isomorfismo entre as ´algebras A1 e
A2 se ϕ satisfaz
(1) ϕ(λ ·1a) = λ ·2ϕ(a).
(3) ϕ(a 1b) = ϕ(a) 2ϕ(b).
para todo a, b ∈ A1, λ ∈ Γ.
Seja (N
p(E), ⊗
p) a p-´esima potˆencia tensorial de E, e considere a soma direta
O (E) = ∞ M p=0 O p (E) ! .
Os elementos deN(E) s˜ao as sequˆencias do tipo (u0, u1, . . . ) com up ∈Np(E) onde
apenas um n´umero finito de up s˜ao n˜ao nulos. Definindo uma aplica¸c˜ao bilinear
:N(E) × N(E) → N(E) por
u v =X
p,q
up⊗ vq,
onde u, v ∈ N(E), u = Ppup, v =
P
qvq, temos que (N(E), +, , ·, Γ) ´e uma
´
algebra graduada associativa.
A qu´ıntupla (N(E), +, , ·, Γ) ´e chamada de ´algebra tensorial sobre o espa¸co vetorial E.
Suponha que E e E∗ s˜ao duais com rela¸c˜ao ao produto escalar h·, ·i e considere N(E) e N(E∗) as ´algebras tensoriais sobre E e E∗. De acordo com a Se¸c˜ao 1.5,
´e induzido entre N
p(E) e
N
p(E
∗), para cada p ≥ 1, um ´unico produto escalar tal
que hx1⊗ · · · ⊗ xp, x 1⊗ · · · ⊗ xpi = hx1, x1i . . . hxp, xpi, com xi ∈N i(E ∗), x i ∈ N
i(E). Estendemos a defini¸c˜ao para p = 0 colocando
hλ, µi = λµ, com λ, µ ∈N
0(E) = Γ.
Os produtos escalares entre N
p(E
∗) e N
p(E) assim definidos podem ser
es-tendidos de maneira ´unica a um produto escalar h·, ·i entre N(E∗) e N(E), dado
por hu∗, vi =X p hup, vpi, onde u∗ =P pup e v = P pvp.
Se E tem dimens˜ao finita e (ei), (ei) s˜ao bases para E e E∗respectivamente, ent˜ao
o produto escalar entre os vetores das bases induzidas ei1 ⊗ · · · ⊗ eip e e
j1 ⊗ · · · ⊗ ejp ´e dado por hej1 ⊗ · · · ⊗ ejp, e i1 ⊗ · · · ⊗ eipi = δ j1 i1 . . . δ jp ip
Essa f´ormula mostra que as bases (ei1⊗ · · · ⊗ eip) e (e
j1⊗ · · · ⊗ ejp) s˜ao duais e que
o produto escalar entre dois tensores u = X i1,...,ip λi1...ipe i1 ⊗ · · · ⊗ eip, u ∗ = X j1,...,jp µj1...jpe j1 ⊗ · · · ⊗ ejp
´e dado por
hu∗, ui = X
i1,...,ip
λi1...ipµ
i1...ip.
Caso E seja um espa¸co vetorial e E∗ o seu dual, denotaremos a partir de agora, por simplicidade, as k-´esimas potˆencias tensoriais de E e E∗ respectivamente por N
k(E) e
Nk
(E). Os tensores em N
k(E) s˜ao chamados de tensores contravariantes
de grau k sobre E e aqueles emNk
(E) de tensores covariantes de grau k sobre E.
1.7
Tensores Mistos
Defini¸c˜ao 1.7.1. Seja E um espa¸co vetorial e E∗ o seu dual. Para cada par (p, q), p ≥ 1, q ≥ 1, definimos p O q (E) = p O (E) ! ⊗ O q (E) ! . Estendemos a defini¸c˜ao para os casos p = 0 e q = 0 colocando
p O 0 (E) = p O (E), 0 O q (E) =O q (E). Os elementos de Np
q(E) s˜ao chamados tensores mistos sobre o E e s˜ao ditos
ho-mogˆeneos de bigrau (p, q). O n´umero p + q ´e chamado de grau total. Um tensor ω ∈Np
q(E) da forma
ω = x1⊗ · · · ⊗ xp⊗ x1⊗ · · · ⊗ xq,
onde xi ∈ E∗ e x
i ∈ E, ´e chamado de decompon´ıvel.
Pelo que vimos na Se¸c˜ao 1.5, o produto escalar entre E∗ e E induz um produto escalar entre Np
q(E) e
Nq
p(E) determinado por
hu∗⊗ v, v∗⊗ ui = hu∗, uihv∗, vi. Portanto, quaisquer dois espa¸cos Np
q(E) e
Nq
p(E) s˜ao duais.
A seguir faremos a constru¸c˜ao do produto tensorial de ´algebras para, em seguida definirmos a ´algebra tensorial mista.
Defini¸c˜ao 1.7.2. Seja A uma ´algebra. O produto : A × A → A determina uma aplica¸c˜ao linear µA: A ⊗ A → A tal que
µA(x ⊗ y) = x y,
Reciprocamente, se A ´e um espa¸co vetorial e µA : A ⊗ A → A ´e uma aplica¸c˜ao
linear, uma multiplica¸c˜ao em A ´e induzida por x y = µA(x ⊗ y)
e, ent˜ao, A se torna uma ´algebra. Isso mostra que h´a uma bije¸c˜ao entre os produtos de A e as aplica¸c˜oes lineares µA : A ⊗ A → A.
Sejam A e B ´algebras com aplica¸c˜oes estruturais µAe µBrespectivamente, e seja
S : (A ⊗ B) ⊗ (A ⊗ B) → (A ⊗ A) ⊗ (B ⊗ B) o operador definido por S(x1⊗ y1 ⊗ x2 ⊗ y2) = x1⊗ x2⊗ y1⊗ y2.
Ent˜ao uma aplica¸c˜ao linear µA⊗B : (A ⊗ B) ⊗ (A ⊗ B) → A ⊗ B dada por
µA⊗B = (µA⊗ µB) ◦ S
determina uma estrutura de ´algebra em A ⊗ B.
Defini¸c˜ao 1.7.3. A ´algebra A ⊗ B como constru´ımos acima ´e chamada de produto tensorial canˆonico das ´algebras A e B.
Perceba que o produto em A ⊗ B satisfaz
(x1⊗ y1) (x2⊗ y2) = µA⊗B(x1⊗ y1 ⊗ x2 ⊗ y2)
= µA⊗ µB(S(x1⊗ y1 ⊗ x2 ⊗ y2))
= µA⊗ µB(x1⊗ x2⊗ y1⊗ y2)
= µA(x1⊗ x2) ⊗ µB(y1⊗ y2)
= x1 x2⊗ y1 y2.
Assim, o produto tensorial canˆonico de duas ´algebras associativas ´e associativo e, se os elementos unidade de A e B s˜ao, respectivamente IA e IB, o elemento unidade
de A ⊗ B ´e IA⊗ IB.
Defini¸c˜ao 1.7.4. A ´algebra tensorial mista sobre o par de espa¸cos vetoriais E∗ e E ´e o produto tensorial canˆonico entre as ´algebras N(E∗) e N(E) e ser´a denotada
porN(E∗, E). Ou seja,
O (E∗, E) =O(E∗) ⊗O(E). Tome ip : p O (E) →O(E∗), iq : O q (E) →O(E), ipq : p O q (E) →O(E∗, E) as inclus˜oes canˆonicas e identifique os espa¸cos Np
(E), N
q(E) e
Np
q(E) com suas
respectivas imagens por essas inclus˜oes. Temos ent˜ao a decomposi¸c˜ao O (E∗, E) =M p,q p O (E) ⊗O q (E) ! .
Se E tem dimens˜ao finita n e (ei), (e
j), com i, j = 1, . . . , n, s˜ao bases de E∗ e E
respectivamente, ent˜ao os produtos ei1...ip
j1...jq = e
i1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ e
j1 ⊗ · · · ⊗ ejq
formam uma base deNp
q(E), logo, todo tensor w ∈
Np
q(E) pode ser escrito como
w = X i1,...,ip,j1,...,jq λj1...jq i1...ipe i1...ip j1...jq.
Considere agora p ≥ 1, q ≥ 1, (k, l) um par fixo com 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q, e a aplica¸c˜ao (p + q)-linear Φkl : E∗× · · · × E∗ | {z } p × E × · · · × E | {z } q → p−1 O q−1 (E) dada por Φkl(x1, . . . , xp, x1, . . . , xq) = hxi, xjix1⊗ · · · ⊗ bxk⊗ · · · ⊗ xp⊗ x1⊗ · · · ⊗xbl⊗ · · · ⊗ xq, onde bxk, b xl indicam a omiss˜ao de xk, xl.
Defini¸c˜ao 1.7.5. Pela propriedade universal, Φk
l determina uma ´unica aplica¸c˜ao
linear Clk : p O q (E) → p−1 O q−1 (E).
chamada de operador contra¸c˜ao com respeito a (k, l). O tensor Φk
l(w) ´e chamado de
contra¸c˜ao de w com respeito a (k, l).
Note que, em particular, C11(x∗⊗ x) = hx∗, xi.
1.8
Algebra das Fun¸
´
c˜
oes Multilineares
Defini¸c˜ao 1.8.1. Seja (E, +, ·, Γ) um espa¸co vetorial, com dim(E) = n < ∞. Para cada p ≥ 1, denotamos por Tp(E) o espa¸co das fun¸c˜oes p-lineares
f : E × · · · × E → Γ. Estendemos a defini¸c˜ao para p = 0 colocando T0(E) = Γ.
Defini¸c˜ao 1.8.2. O produto de uma fun¸c˜ao p-linear f ∈ Tp(E) por uma fun¸c˜ao q-linear g ∈ Tq(E) ´e a fun¸c˜ao p + q-linear dada por
O conjunto T•(E) = ∞ M p=0 Tp(E)
munido da multiplica¸c˜ao acima definida torna-se uma ´algebra graduada associativa, como segue da proposi¸c˜ao seguinte:
Proposi¸c˜ao 1.8.3. Os espa¸cos Tp(E) e Np
(E) s˜ao isomorfos. Demonstra¸c˜ao: Considere a aplica¸c˜ao p-linear
ϕ : E∗× · · · × E∗ | {z } p → Tp(E) dada por ϕ(f1, . . . , fp) = f1 · · · fp,
onde fi ∈ E∗. Mostremos que ϕ tem a propriedade universal.
Fixe (e1, . . . , en) uma base de E e seja (e1, . . . , en) a base dual. Ent˜ao os produtos
da forma ei1...ip = ei1 · · · eip, onde i
j = 1, . . . , n, formam uma base para Tp(E). De
fato, Se f ∈ Tp(E), como todo vetor x ∈ E pode ser escrito na forma x =P
ie i(x)e i, temos que f (x1, . . . , xp) = f X i ei(x1)ei, . . . , X i ei(xp)ei ! = X i1,...,ip ei1(x 1) . . . eip(xp)f (ei1, . . . , eip),
que nos d´a a equa¸c˜ao
f = X
i1,...,ip
f (ei1, . . . , eip)e
i1 · · · eip
e, portanto, os produtos ei1 · · · eip geram Tp(E). Se
X i1,...,ip λi1...ipe i1 · · · eip = 0, ent˜ao X i1,...,ip λi1...iphe i1, x 1i . . . heip, xpi = 0
para todo xi ∈ E. Fixando (j1, . . . , jp) e colocando xi = eji, a rela¸c˜ao acima implica
λj1...jp = 0. Logo os produtos e
i1 · · · eip formam uma base para Tp(E), e
dim(Tp(E)) = np. Pela generaliza¸c˜ao do Corol´ario 1.3.4 para o produto tensorial de p espa¸cos vetoriais, segue que ϕ tem a propriedade universal.
Considere, ent˜ao, a aplica¸c˜ao linear α :Np
(E) → Tp(E) induzida por ϕ. Temos
E∗× · · · × E∗ ϕ // ⊗p Tp(E) Np (E) α 77
Em particular, α(ei1 ⊗ · · · ⊗ eip) = ei1 · · · eip. Como os produtos ei1 · · · eip
formam uma base de Tp(E), segue que α ´e um isomorfismo. Por fim, note que
α(u∗⊗ v∗) = α(u∗) α(v∗),
portanto α ´e um isomorfismo de ´algebras. Considerando Tp(E) p ≥ 1 o espa¸co das fun¸c˜oes p-lineares f : E∗× · · · × E∗ → Γ,
considerando T0(E) = Γ, e aplicando os resultados acima, obtemos uma
multi-plica¸c˜ao entre os espa¸cos Tp(E), que faz de
T•(E) = ∞
M
p=0
Tp(E)
uma ´algebra associativa. Os espa¸cos Tp(E) e T
p(E) s˜ao duais com rela¸c˜ao ao produto
hf, gi = X
i1,...,ip
f (ei1, . . . , eip)g(e
i1, . . . , eip)
pois este ´e preservado via os isomorfismos Np
(E) → Tp(E) e N
p(E) → Tp(E).
Esses isomorfismos nos fornecem uma maneira um pouco mais concreta de en-carar o produto tensorial. Essencialmente isto se d´a pois as opera¸c˜oes num espa¸co vetorial abstrato E s˜ao adimitidas axiomaticamente, enquanto conseguimos expli-citar as opera¸c˜oes em E∗. Por esse motivo, mais o fato de que as constru¸c˜oes envolvendo E∗ nos ser˜ao mais necess´arias nos pr´oximos cap´ıtulos do que as cons-tru¸c˜oes envolvendo E, a partir daqui, trabalharemos comNp
(E) via o isomorfismo Np
(E) ' Tp(E) e com a identifica¸c˜ao ⊗ ≡ . Ou seja, definindo, para f ∈ Tp(E),
g ∈ Tq(E),
f ⊗ g(x1, . . . , xp+q) = f (x1, . . . , xp)g(xp+1, . . . , xp+q).
1.9
Tensores Alternados
Esta se¸c˜ao introduz os tensores alternados. Estes nos permitem definir as formas diferenciais, que ser˜ao os integrandos no Teorema de Stokes.
Defini¸c˜ao 1.9.1. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ e f ∈ Nk
(E). O tensor f ´e dito alternado se
f (x1, . . . , xk) = 0
Defini¸c˜ao 1.9.2. Seja E um espa¸co vetorial e f ∈ Nk
(E). O tensor f ´e dito anti-sim´etrico se
f (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xk) = −f (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xk),
para quaisquer x1, . . . , xk ∈ E.
Proposi¸c˜ao 1.9.3. Um tensor f ∈ Nk
(E) ´e alternado se, e somente se, ´e anti-sim´etrico.
Demonstra¸c˜ao: Escrevamos, por simplicidade,
f (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xk) = ϕ(xi, xj).
Ent˜ao, se f ´e alternado,
0 = ϕ(xi+ xj, xi+ xj) = ϕ(xi, xi) + ϕ(xi, xj) + ϕ(xj, xi) + ϕ(xj, xj)
= ϕ(xi, xj) + ϕ(xj, xi)
e, ent˜ao f ´e anti-sim´etrico. Reciprocamente, se f ´e anti-sim´etrico, ϕ(xi, xi) =
−ϕ(xi, xi), que implica 2ϕ(xi, xi) = 0, e f ´e alternado.
Indicaremos o subespa¸co deNk
(E) dos tensores k-lineares alternados porVk (E). Proposi¸c˜ao 1.9.4. Seja f ∈ Vk
(E). Se x1, . . . , xk ∈ E s˜ao linearmente
dependen-tes, ent˜ao f (x1, . . . , xk) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Como x1, . . . , xk ∈ E s˜ao linearmente dependentes, ao menos um
deles, xi, se escreve como combina¸c˜ao linear dos anteriores. Ou seja
xi = X j<i λjxj. Segue que f (x1, . . . , xk) = f x1, . . . , X j<i λjxj, . . . , xk ! = X j<i λjf (x1, . . . , xj, . . . , xj, . . . , xk) = 0, e terminamos.
Corol´ario 1.9.5. Se dim(E) < k, ent˜aoVk
(E) = {0}.
Defini¸c˜ao 1.9.6. Seja A um conjunto. Uma permuta¸c˜ao de A ´e uma bije¸c˜ao σ : A → A.
Em vista da defini¸c˜ao acima, cada permuta¸c˜ao σ admite uma inversa σ−1 dada por
σ−1(y) = x ⇔ σ(x) = y, e temos σ−1◦ σ = σ ◦ σ−1 = id.
Como ◦ ´e associativa, segue que o conjunto das permuta¸c˜oes de um conjunto A com a opera¸c˜ao ◦ constitui um grupo, que indicaremos por S(A). Em especial, denotaremos S({1, . . . , k}) por Sk. Adotaremos tamb´em o costume de denotar a
opera¸c˜ao ◦ por justaposi¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.9.7. Uma permuta¸c˜ao τ ∈ Sk chama-se uma transposi¸c˜ao quando
existem a, b ∈ N, a, b ≤ k, tais que τ (a) = b, τ (b) = a e τ (i) = i para todo i ∈ {1, . . . , k} \ {a, b}.
Claramente, se τ ´e transposi¸c˜ao, τ2 = id.
Lema 1.9.8. Toda permuta¸c˜ao σ ∈ Sk pode ser escrita como um produto τ1. . . τl
de transposi¸c˜oes com a paridade de l ´unica.
Como a paridade de l em σ = τ1. . . τl ´e ´unica, fazemos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.9.9. Seja σ ∈ Sk. Dizemos que σ ´e par se esta se escreve como um
produto de um n´umero par de transposi¸c˜oes. Caso contr´ario, dizemos que σ ´e ´ımpar. Definimos ainda
sig(σ) =
1 se σ ´e par, −1 se σ ´e ´ımpar. Uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sk induz um homomorfismo
σ : k O (E) → k O (E) definido por (σf )(x1, . . . , xk) = f (xσ(1), . . . , xσ(k)). ´
E imediato verificar que σf ´e, de fato, k-linear, e que o operador σ ´e linear. Proposi¸c˜ao 1.9.10. Sejam σ, ρ ∈ Sk e seja f ∈Nk(E). Ent˜ao
σ(ρf ) = (σρ)f.
Demonstra¸c˜ao: Dados x1, . . . , xk ∈ E, escrevamos wi = xσ(i), i = 1, . . . , k. Ent˜ao
wρ(i) = xσρ(i) e temos
σ(ρf )(x1, . . . , xk) = (ρf )(w1, . . . , wk)
= f (wρ(1), . . . , wρ(k))
= f (xσρ(1), . . . , xσρ(k))
= ((σρ)f )(x1, . . . , xk),
Em particular, para quaisquer σ ∈ Sk, f ∈
Nk
(E), temos σ−1(σf ) = (σ−1σ)f = f . O homomorfismo σ :Nk
(E) →Nk
(E) ´e, portanto, invert´ıvel, sendo seu inverso induzido por σ−1.
Como vimos no Lema 1.9.8, toda permuta¸c˜ao se escreve como um produto de transposi¸c˜oes. Sendo assim, f ∈ Nk
(E) ´e alternado se, e somente se, para toda permuta¸c˜ao σ ∈ Sk vale
f (xσ(1), . . . , xσ(k)) = sig(σ)f (x1, . . . , xk).
Em outras palavras, f ∈Vk
(E) se, e somente se, f ´e k-linear e f = sig(σ)σf para toda σ ∈ Sk.
De fato, se f ´e alternado e τ ∈ Sk ´e uma transposi¸c˜ao, temos τ f = −f , ou seja,
f = sig(τ )τ f . Como toda permuta¸c˜ao ´e um produto de transposi¸c˜oes, temos σf = (τ1. . . τn)f = τ1(. . . (τnf )) = (−1)nf = sig(σ)f.
Reciprocamente, se f = sig(σ)σf para toda σ ∈ Sk, em particular τ f = −f para
toda transposi¸c˜ao τ , e portanto f ´e alternado. Defini¸c˜ao 1.9.11. Definimos a proje¸c˜ao alt :Nk
(E) →Vk (E) por alt(f ) = 1 k! X σ∈Sk sig(σ)σf.
Usaremos no decorrer dessa se¸c˜ao o fato que, fixada ρ ∈ Sk, a aplica¸c˜ao σ → ρσ
´e uma bije¸c˜ao em Sk, ou seja, vale
X σ∈Sk sig(σ)σf = X σ∈Sk sig(σρ)σρf = k! alt(f ). Lema 1.9.12. Seja f ∈Nk (E). Ent˜ao (1) alt(f ) ´e alternado.
(2) f ´e alternado se, e somente se, alt(f ) = f .
(3) se existe uma permuta¸c˜ao ´ımpar ρ ∈ Sk tal que ρf = f , ent˜ao alt(f ) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Para qualquer permuta¸c˜ao ρ ∈ Sk temos
ρ(alt(f )) = ρ 1 k! X σ∈Sk sig(σ)σf ! = 1 k! X σ∈Sk sig(σ)ρσf = sig(ρ)1 k! X σ∈Sk sig(ρσ)ρσf = sig(ρ) alt(f )
e, portanto alt(f ) ´e alternado.
Para demonstrar (2) note que, se f ∈ Vk
(E) ent˜ao sig(σ)f = σf para toda σ ∈ Sk, de modo que alt(f ) = f . Reciprocamente, se alt(f ) = f ent˜ao f ´e alternado,
pela parte (1).
Por fim, se tivermos ρf = f com sig(ρ) = −1, ent˜ao alt(f ) = X σ∈Sk sig(σ)σρf = −X σ∈Sk sig(σρ)σρf = − alt(f ) e, portanto, alt(f ) = 0.
Proposi¸c˜ao 1.9.13. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, f1, . . . , fk ∈ E∗ e σ ∈ S k.
Vale
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk) = fσ(1)⊗ · · · ⊗ fσ(k).
Demonstra¸c˜ao: Dados v1, . . . , vk ∈ E, por defini¸c˜ao temos
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk)(v
1, . . . , vk) = f1⊗ · · · ⊗ fk(vσ−1(1), . . . , vσ−1(k))
= f1(vσ−1(1)) . . . fk(vσ−1(k)).
Nesse ´ultimo produto, o fator que possui ´ındice superior σ(i) ´e fσ(i)(v
i). Alterando
a ordem dos produtos,
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk)(v
1, . . . , vk) = fσ(1)(v1) ⊗ · · · ⊗ fσ(k)(vk)
= fσ(1)⊗ · · · ⊗ fσ(k)(v
1, . . . , vk).
Isso termina a demonstra¸c˜ao. Defini¸c˜ao 1.9.14. Seja k ∈ N. Uma k-upla I = (i1, . . . , ik), onde ij ∈ N, ´e chamada
de ´ındice m´ultiplo de comprimento k. Caso i1 < · · · < ik, I ´e um ´ındice m´ultiplo
crescente de comprimento k. Dada uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sk, definimos
Iσ = (iσ(1), . . . , iσ(k)).
Os ´ındices m´ultiplos nos permitem uma maior simplicidade na nota¸c˜ao. Sendo E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre Γ, (ei) uma base ordenada de E∗ e
I = (i1, . . . , ik) um ´ındice m´ultiplo de comprimento k, definimos eI ∈
Vk
(E) por eI = k! alt(ei1 ⊗ · · · ⊗ eik). (1.3)
O coeficiente k! ´e utilizado apenas para anular o coeficiente na defini¸c˜ao de alt : Nk
(E) → Vk
(E). Coeficiente este que, a menos desse caso, simplifica nossa nota¸c˜ao.
Se I e J s˜ao ´ındices m´ultiplos, generalizamos a nota¸c˜ao δji para ´ındices m´ultiplos colocando δIJ =
sig(σ) se I e J n˜ao tˆem entradas repetidas e J = Iσ, para alguma σ ∈ Sk,
0 se I ou J tˆem entradas repetidas ou se J n˜ao ´e permuta¸c˜ao de I.
Lema 1.9.15. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n, (ei) uma base de E e (ei)
a base dual a (ei).
(1) Se I tem um ´ındice repetido, ent˜ao eI = 0.
(2) Se J = Iσ para alguma σ ∈ Sk, ent˜ao eI = sig(σ)eJ.
(3) eI(ej1, . . . , ejk) = e
I(e
J) = δJI.
Teorema 1.9.16. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n < ∞ sobre Γ, (ei) uma base de E∗ e
ϕ = alt ◦ ⊗ : E∗ × · · · × E∗ → k
^ (E).
Ent˜ao ϕ ´e alternada e os tensores da forma eJ = k!ϕ(ej1, . . . , ejk), onde J =
(j1, . . . , jk) ´e um ´ındice m´ultiplo crescente com ji ∈ {1, . . . , n}, formam uma base
deVk (E). Em particular, dim k ^ (E) ! =n k = n! k!(n − k)!.
Demonstra¸c˜ao: Tome f1, . . . , fk ∈ E∗ com fi = fj para algum i 6= j.
Conside-rando a transposi¸c˜ao τ ∈ Sk tal que τ (i) = j, temos, pela f´ormula 1.3, que
τ (f1⊗ · · · ⊗ fk) = f1⊗ · · · ⊗ fk.
Como sig(τ ) = −1, segue pelo Lema 1.9.12, que ϕ(f1, . . . , fk) = alt(f1⊗ · · · ⊗ fk) =
0. Logo ϕ ´e k-linear alternada.
Para demonstrar a segunda parte, recordemos que os produtos ei1 ⊗ · · · ⊗ eik,
ij = 1, . . . , n, formam uma base de Nk(E). Como a imagem de alt : Nk(E) →
Vk
(E) ´e todo o Vk
(E), segue que os tensores k!ϕ(ei1, . . . , eik) geramVk(E). Al´em
disso, como ϕ ´e alternada, se a sequˆencia i1, . . . , ik possui elementos repetidos,
ϕ(ei1, . . . , eik) = alt(ei1 ⊗ · · · ⊗ eik) = 0.
Como ϕ(v1, . . . , vk) no m´aximo muda de sinal quando alteramos a ordem de suas
vari´aveis, conclu´ımos que os tensores da forma eJ = k!ϕ(ej1, . . . , ejk), onde J =
(j1, . . . , jk) ´e um ´ındice m´ultiplo crescente com ji ∈ {1, . . . , n}, s˜ao suficientes para
gerarVk
(E). Resta mostrar que estes s˜ao linearmente independentes. Ora, temos que
eJ = k! alt(ej1 ⊗ · · · ⊗ ejk) = X
σ∈Sk
sig(σ)ejσ(1) ⊗ · · · ⊗ ejσ(k).
Da´ı vemos que, se denotarmos |I| = {i1, . . . , ik},
eJ = X
|I|=|J|
±ei1 ⊗ · · · ⊗ eik,
onde a soma se estende para todas os ´ındices m´ultiplos (i1, . . . , ik) que diferem de
(j1, . . . , jk) apenas pela ordem dos elementos. Para cada um desses ´ındices temos
(i1, . . . , ik) = (jσ(1), . . . , jσ(k)), e o sinal da parcela ei1 ⊗ · · · ⊗ eik fica determinado
por sig(σ). Segue da igualdade acima e do fato de que {ei1⊗ · · · ⊗ eik} ´e linearmente
independente, que os tensores eJ s˜ao linearmente independentes.
Corol´ario 1.9.17. Se dim(E) = n, ent˜ao dim (Vn
1.10
Produto Exterior
Defini¸c˜ao 1.10.1. Seja f ∈ Vk
(E) e g ∈ Vl
(E). Definimos f ∧ g ∈ Vk+l (E), o produto exterior de f e g, por
f ∧ g = (k + l)!
k!l! alt(f ⊗ g).
O coeficiente acima ´e motivado pela simplicidade na f´ormula seguinte.
Lema 1.10.2. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n < ∞ sobre Γ e (ei) uma base de E∗. Para quaisquer ´ındices m´ultiplos I = (i1, . . . , ik) e J = (j1, . . . , jl) com
entradas em {1, . . . , n}, temos
eI∧ eJ = eIJ,
onde IJ = (i1, . . . , ik, j1, . . . , jl).
Demonstra¸c˜ao: Por multilinearidade ´e suficiente mostrar que eI ∧ eJ(e
p1, . . . , epk+l) = e
IJ(e
p1, . . . , epk+l) (1.4)
para qualquer sequˆencia (ep1, . . . , epk+l) de vetores da base de E dual a (e
i).
Caso P = (p1, . . . , pk+l) tenha alguma entrada repetida, ou P tenha alguma
entrada que n˜ao aparece nem em I nem em J , (1.4) nos d´a 0 = 0. Caso P = IJ , e P n˜ao tenha entradas repetidas, temos eI ∧ eJ(e
p1, . . . , epk+l) =
1. Precisamos mostrar que, neste caso, o lado direito de (1.4) tamb´em ´e 1. Por defini¸c˜ao, sendo eI∧ eJ(e
p1, . . . , epk+l) = H, temos H = (k + l)! k!l! alt(e I⊗ eJ)(e p1, . . . , epk+l) = 1 k!l! X σ∈Sk+l sig(σ)eI(epσ(1), . . . , epσ(k))e J(e pσ(k+1), . . . , epσ(k+l)).
Note que as ´unicas parcelas n˜ao nulas da soma acima s˜ao aquelas nas quais σ permuta as primeiras k e as ´ultimas l entradas de P separadamente. Ou seja, σ deve se escrever como σ = µν, onde µ ∈ Sk e ν ∈ Sl, sendo que µ age sobre {1, . . . , k} e ν
age sobre {k + 1, . . . , k + l}. Como sig(µν) = sig(µ) sig(ν), temos H = 1 k!l! X µ∈Sk ν∈Sl sig(µν)eI(epµ(1), . . . , epµ(k))e J (epν(k+1), . . . , epν(k+l)) = 1 k! X µ∈Sk sig(µ)eI(epµ(1), . . . , epµ(k)) ! 1 l! X ν∈Sl sig(ν)eJ(epν(k+1), . . . , epν(k+l)) ! = alt(eI)(ep1, . . . , epk) alt(e
J )(epk+1, . . . , epk+l) = (eI)(ep1, . . . , epk)(e J)(e pk+1, . . . , epk+l) = 1.
Por fim, caso P = σ(IJ ) para alguma σ ∈ Sk+l, e P n˜ao tenha entradas repetidas,
aplicar σ−1 a P nos leva ao caso anterior. Como o efeito de aplicar tal permuta¸c˜ao ´e multiplicar ambos os lados de (1.4) pelo sinal sig(σ), o resultado ainda vale.
Proposi¸c˜ao 1.10.3. Sejam f ∈Vk (E), g ∈Vl (E), h ∈Vm (E) e α, β ∈ Γ, ent˜ao (1) (αf + βg) ∧ h = α(f ∧ h) + β(g ∧ h), h ∧ (αf + βg) = α(h ∧ f ) + β(h ∧ g). (2) f ∧ (g ∧ h) = (f ∧ g) ∧ h. (3) f ∧ g = (−1)klg ∧ f . (4) Se (e1, . . . , en) ´e uma base de E∗e I = (i
1, . . . , ik) ´e um ´ındice m´ultiplo qualquer,
ent˜ao ei1 ∧ · · · ∧ eik = eI.
Demonstra¸c˜ao: O ´ıtem (1) segue diretamente da defini¸c˜ao, pois ⊗ ´e multilinear e alt ´e linear.
Temos, pelo Lema 1.10.2,
(eI∧ eJ) ∧ eK = eIJ ∧ eK = eIJ K = eI∧ eJ K = eI∧ (eJ∧ eK).
O ´ıtem (2) segue da observa¸c˜ao acima e da bilinearidade (´ıtem (1)). Para mostrar o ´ıtem (3), temos que, tamb´em pelo Lema 1.10.2,
eI∧ eJ = eIJ = sig(σ)eJ I = sig(σ)eJ ∧ eI,
onde σ ´e a permuta¸c˜ao que leva IJ em J I. Note que, σ pode ser escrita como um produto τ1. . . τkl de transposi¸c˜oes (transpondo cada entrada de I atrav´es das
entradas de J ). Pelo Lema 1.9.8, a paridade de kl ´e ´unica. O caso geral segue da bilinearidade.
Por fim, (4) segue por indu¸c˜ao no resultado do Lema 1.10.2. A propriedade em (3) ´e chamada de anticomutatividade. Em vista do ´ıtem (4), temos que, se (ei) ´e base de um espa¸co vetorial E de dimens˜ao n, os tensores da forma ei1 ∧ · · · ∧ eik, com i
1 < ... < ik, ij ∈ {1, . . . , n} formam uma base de
Vk
(E). Defini¸c˜ao 1.10.4. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n < ∞ sobre Γ. Defini-mos o espa¸co vetorialV(E) por
^ (E) = n M k=0 k ^ (E). Segue do Teorema 1.9.16 que
dim^(E)= n X k=0 n k = 2n.
Pela Proposi¸c˜ao 1.10.3, (V(E), +, ∧, ·, Γ) ´e uma ´algebra graduada associativa anti-comutativa, que chamamos de ´algebra exterior sobre o espa¸co vetorial E.
A constru¸c˜ao do produto exterior pode ser feita, de forma similar `a constru¸c˜ao do produto tensorial, via propriedade universal. Mostra-se que o espa¸co obtido desta forma ´e isomorfo ao que constru´ımos aqui.
1.11
Determinantes
Como aplica¸c˜ao do Corol´ario 1.9.17, daremos uma defini¸c˜ao intr´ınseca do deter-minante de um operador linear T : E → E.
Sejam E e F espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre Γ. Uma aplica¸c˜ao linear T : E → F induz, para cada k > 0, uma nova aplica¸c˜ao linear T#:Vk
(F ) →Vk (E) definida por
(T#f )(v1, . . . , vk) = f (T v1, . . . , T vk),
onde f ∈Vk
(F ) e v1, . . . , vk ∈ E s˜ao arbitr´arios. Verifica-se que,
(1) Se T = id : E → E, ent˜ao T#= id :Vk (E) →Vk (E). (2) Se S : E → F e T : F → G s˜ao lineares, (T ◦ S)#= S#◦ T#: k ^ (G) → k ^ (E). Em particular, se S : E → F ´e um isomorfismo, (S−1)#◦ S#= (S ◦ S−1 )# = (id)# = id : k ^ (F ) → k ^ (F ). Analogamente, S#◦ (S−1)#= id :Vk (E) →Vk (E). Portanto, se S : E → F ´e um isomorfismo, S#:Vk (F ) →Vk (E) tamb´em o ´e, e (S#)−1 = (S−1)#.
Considere agora T : E → E, sendo dim(E) = n. Como dim (Vn
(E)) = 1, segue que T#:Vn
(E) →Vn
(E) ´e meramente uma multiplica¸c˜ao por um escalar, ou seja, existe λ tal que T#f = λf para todo f ∈Vn
(E).
Defini¸c˜ao 1.11.1. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, com dim(E) = n, e T : E → E linear. Definimos det(T ) o determinante de T por
det(T ) = λ, onde λ ´e tal que T#f = λf , T#:Vn
(E) →Vn (E).
Proposi¸c˜ao 1.11.2. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, com dim(E) = n, e S, T : E → E lineares. O determinante det(T ) satisfaz:
(1) Se T = id : E → E, ent˜ao det(T ) = 1. (2) det(S ◦ T ) = det(S) det(T ).
(3) det(T ) 6= 0 se, e somente se, T ´e invert´ıvel.
Demonstra¸c˜ao: O item (1) segue pois (id)# = id. Para mostrar (2), seja f ∈
Vn
(E). Temos
(S ◦ T )#f = T#◦ (S#f ) = T#(det(S)f ) = det(T ) det(S)f,
logo det(S ◦ T ) = det(S) det(T ). Da´ı segue que, se T ´e invert´ıvel, 1 = det(id) = det(T ◦ T−1) = det(T ) det(T−1),
que implica det(T ) 6= 0 e que det(T−1) = det(T )−1. Reciprocamente, se det(T ) 6= 0, tomando (e1, . . . , en) uma base ordenada de E e f = eJ ∈
Vn
(E), com J = (1, . . . , n), temos f (e1, . . . , en) = 1. Por defini¸c˜ao,
f (T e1, . . . , T en) = det(T ).
Como det(T ) 6= 0, pela Proposi¸c˜ao 1.9.4, T e1, . . . , T en s˜ao linearmente
independen-tes e, portanto, constituem uma base de E. Assim T leva base de E em base de E
e ´e, ent˜ao, invert´ıvel.
Defini¸c˜ao 1.11.3. Seja α = (αi
j), i, j = 1, . . . , n, αij ∈ Γ uma matriz quadrada.
Definiremos o determinante de α por
det(α) = det( ˜α), onde ˜ αej = n X i=1 αijei, com j = 1, . . . , n.
Ou seja, det(α) ´e o determinante da transforma¸c˜ao linear ˜α : Γn → Γn cuja
matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica (e1, . . . , en) de Γn ´e α.
Proposi¸c˜ao 1.11.4. Seja Mn×n = Γn× · · · × Γno espa¸co vetorial das matrizes n × n
com entradas em Γ. O determinante ´e o ´unico n-tensor alternado det : Mn×n → Γ
dos vetores coluna de uma matriz que assume o valor 1 na matriz identidade. Demonstra¸c˜ao: Seja f0 ∈Vn(Γn) o ´unico n-tensor alternado tal que
f0(e1, . . . , en) = 1,
sendo (e1, . . . , en) a base canˆonica de Γn. Ent˜ao, dada qualquer matriz α = (αji) ∈
Mn×n, cujos vetores coluna s˜ao α1, . . . , αn, onde cada αj = (αj1, . . . , αnj). Temos
α1 = ˜αe1, . . . , αn = ˜αen, e, ent˜ao
det(α) = det( ˜α) = det( ˜α)f0(e1, . . . , en) = f0( ˜αe1, . . . , ˜αen) = f0(α1, . . . , αn).
Temos ent˜ao que det(α) ´e uma aplica¸c˜ao n-linear alternada das colunas de α, que assume o valor 1 na matriz cujas colunas s˜ao e1, . . . , en, ou seja, na matriz
identidade. A unicidade segue da unicidade de f0.
Lema 1.11.5. Seja E uma espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : E → E linear. Para qualquer matriz α que represente T relativamente a uma base qualquer de E, vale det(T ) = det(α)
Corol´ario 1.11.6. Seja dim(E) = n. Dados f ∈ Vn
(E), α = (αi
j) ∈ Mn×n e
(e1, . . . , en) uma base de E. Tem-se
f n X i=1 αi1ei, . . . , n X i=1 αinen ! = det(α)f (e1, . . . , en).
Demonstra¸c˜ao: De fato, α ´e a matriz, relativa `a base (e1, . . . , en), de T : E → E
tal que T ej =
P
iα i
jei, j = 1, . . . , n. Logo det(α) = det(T ).
Defini¸c˜ao 1.11.7. Seja E um espa¸co vetorial com dim(E) = n e (e1, . . . , en) uma
base de E. Dados u1, . . . , un∈ E definimos o determinante de u1, . . . , un em rela¸c˜ao
a (e1, . . . , en) como o determinante da matriz α = (αij) das coordenadas de u1, . . . , un
na base (e1, . . . , en) (ou seja, uj =P αijei), denotado por
det
(e1,...,en)
[u1, . . . , un].
Se E = Γn e a base (e1, . . . , en) ´e a base canˆonica, denotamos simplesmente
det[u1, . . . , un], que se torna o determinante da matriz cujos vetores coluna s˜ao
u1, . . . , un∈ Γn.
Pelo Corol´ario 1.11.6 acima, dada (e1, . . . , en) base de E e u1, . . . , un∈ E, sendo
J = (1, . . . , n), temos
det
(e1,...,en)
[u1, . . . , un] = eJ(u1, . . . , un)
(eJ como em 1.3).
Sejam, agora, α1, . . . , αn os vetores coluna de α = (αij) ∈ Mn×n. Temos
α1 = (α11, . . . , α n
1), . . . , αn= (α1n, . . . , α n n).
Seja f0 ∈ Vn(Γn) o ´unico n-tensor alternado tal que f0(e1, . . . , en) = 1, sendo
(e1, . . . , en) a base canˆonica de Γn. Vimos que
det(α) = f0(α1, . . . , αn).
Temos tamb´em que f0 = k! alt(e1, . . . , en). Portanto,
f0 =
X
σ∈Sk
sig(σ)eσ(1)⊗ · · · ⊗ eσ(n).
Segue, ent˜ao, que
det(α) = X
σ∈Sk
sig(σ)ασ(1)1 . . . ασ(n)n
que ´e uma das express˜oes geralmente usadas como defini¸c˜ao do determinante de uma matriz.
Cap´ıtulo 2
An´
alise em Variedades
Neste cap´ıtulo introduzimos as variedades, que s˜ao uma generaliza¸c˜ao das su-perf´ıcies. Damos uma breve introdu¸c˜ao `as variedades topol´ogicas e depois focamos nas variedades suaves. No decorrer do cap´ıtulo fazemos um breve estudo sobre a diferenciabilidade de fun¸c˜oes entre variedades suaves e apresentamos o ferramental da teoria, como vetores tangentes, parti¸c˜oes da unidade e orienta¸c˜oes. Mais `a frente ´e feita a introdu¸c˜ao das formas diferenciais e, por fim, a teoria de integra¸c˜ao em variedades. O Teorema de Stokes fecha o cap´ıtulo.
2.1
Variedades Topol´
ogicas
Aqui definiremos a no¸c˜ao de variedade topol´ogica, caso geral do objeto que ser´a nosso ambiente nas pr´oximas se¸c˜oes, as variedades diferenci´aveis.
Defini¸c˜ao 2.1.1. Uma variedade parametrizada de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tri-pla (M, τ, ϕ) onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico e ϕ : M → eU um homeomorfismo, denominado parametriza¸c˜ao de M , entre M e um aberto eU ⊂ Rn.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Seja (M, τ ) um espa¸co topol´ogico. Um atlas de dimens˜ao n sobre M ´e uma fam´ılia A de homeomorfismos (denominados parametriza¸c˜oes) ϕλ : Uλ ∈
τ → eUλ ⊂ Rn, λ ∈ Γ, eUλ abertos, onde
M = [
λ∈Γ
Uλ.
Dizemos que o atlas A ´e compat´ıvel se, ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ∩ Uµ6= ∅,
a fun¸c˜ao (denominada mudan¸ca de carta)
ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ : ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ)
for um homeomorfismo.
Defini¸c˜ao 2.1.3. Uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tripla (M, τ, A) onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com base enumer´avel e A ´e um atlas compat´ıvel de dimens˜ao n sobre M .
Quando n˜ao houver ambiguidade, escreveremos apenas “M uma variedade to-pol´ogica de dimens˜ao n” para denotar uma variedade topol´ogica, ao inv´es de (M, τ, A).
Dada uma variedade topol´ogica (M, τ, A) de dimens˜ao n, uma dupla (U, ϕ), onde U ´e um aberto de M e ϕ : U → eU ´e um homeomorfismo de A, ´e chamada de carta de coordenadas (ou simplesmente carta). Chamamos, ainda, ϕ de fun¸c˜ao de coordenadas. Pela defini¸c˜ao de variedade, todo ponto p de uma variedade topol´ogica M de dimens˜ao n est´a contido no dom´ınio de alguma carta (U, ϕ) do atlas A de M . Quando ϕ(p) = 0 dizemos que ϕ ´e centrada em p.
Exemplo 2.1.4. O espa¸co Rn com a topologia induzida pela m´etrica euclideana ´e
uma variedade de dimens˜ao n pois, de fato, ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff, por ser um espa¸co m´etrico, e o conjunto de todas as bolas abertas de centro e raio racionais constituem uma base enumer´avel.
Exemplo 2.1.5. Seja U ⊂ Rn aberto e F : U → Rk uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Consi-deremos o gr´afico de F , o subconjunto de Rn× Rk
graf(F ) = {(x, y) ∈ Rn× Rk | x ∈ U e y = F (x)}
com a topologia induzida. Seja π1 : Rn× Rk → Rn, π(x, y) = x e φF : graf(F ) → U
a restri¸c˜ao de π1 a graf(F ).
Como φF ´e a restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao cont´ınua, φF ´e cont´ınua. Al´em disso φF ´e
um homeomorfismo pois possui inversa cont´ınua φ−1F (x) = (x, F (x)).
Portanto graf(F ) ´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n. Exemplo 2.1.6. Seja
Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1}
a n-esfera munida com a topologia induzida de Rn+1 (portanto Hausdorff e de base enumer´avel). Sejam
Ui+ = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn | xi > 0},
Ui− = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn | xi < 0},
onde i = 1, . . . , n + 1. Tome Bn(0, 1) a bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rn e f : Bn(0, 1) → R a fun¸c˜ao
f (u) =p1 − kuk2.
Ent˜ao, para cada i, Ui+∩ Sn ´e o gr´afico da fun¸c˜ao xi = f (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1),
onde xbi indica que xi ´e omitido. Analogamente, Ui−∩ Sn ´e o gr´afico da fun¸c˜ao
xi = −f (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1). Logo, sendo φ±i : Ui±∩ Sn→ Bn(0, 1) dada por
φ±i (x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . ,xbi, . . . , xn+1), temos que cada (Ui±∩ Sn, φ
i) ´e uma carta de coordenadas de Sn. Como cada ponto
de Sn est´a no dom´ınio de pelo menos uma dessas 2n + 2 cartas, Sn´e uma variedade
Exemplo 2.1.7. Sejam M1, . . . , Mk variedades topol´ogicas de dimens˜ao
n1, . . . , nkrespectivamente. O produto M1× · · · × Mk ´e um espa¸co de Hausdorff e de
base enumer´avel (lema 3.2.10). Dado qualquer ponto (p1, . . . , pk) ∈ M1× · · · × Mk
podemos escolher uma carta (Ui, ϕi) para cada Mi com pi ∈ Ui. A fun¸c˜ao
ϕ1× · · · × ϕk: U1× · · · × Uk → Rn1+···+nk
´e um homeomorfismo sobre o aberto im(ϕ1× · · · × ϕk) ⊂ Rn1+···+nk. Assim, M1×
· · · × Mk´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n1+ · · · + nk com cartas da forma
(U1× · · · × Uk, ϕ1× · · · × ϕk).
Exemplo 2.1.8. Para qualquer n ∈ N, n 6= 0, o n-torus ´e o espa¸co produto Tn =
S1× · · · × S1. Pelo exemplo acima, Tn ´e uma variedade topol´ogica de dimens˜ao n.
2.2
Variedades Diferenci´
aveis
Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja (M, τ ) um espa¸co topol´ogico. Um atlas diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) de dimens˜ao n sobre M ´e uma fam´ılia A de
homeomor-fismos (denominados parametriza¸c˜oes) ϕλ : Uλ ∈ τ → eUλ ⊂ Rn, λ ∈ Γ, eUλ abertos,
onde
(1) M =S
λ∈ΓUλ.
(2) ∀ λ, µ ∈ Γ verificando Uλµ = Uλ ∩ Uµ 6= ∅ a fun¸c˜ao (denominada mudan¸ca de
carta)
ϕλµ = ϕµ◦ ϕ−1λ : ϕλ(Uλµ) → ϕµ(Uλµ)
´e um difeomorfismo (de classe Ck ou de classe C∞). Neste caso dizemos que as
cartas (Uλ, ϕλ) e (Uµ, ϕµ) s˜ao compat´ıveis.
Um atlas diferenci´avel A em uma variedade M ´e maximal quando toda carta (U, ϕ) compat´ıvel com todas as cartas pertencentes a A tamb´em pertence a A.
Quando um atlas diferenci´avel A sobre M ´e de classe C∞, chamamos A de atlas suave.
Defini¸c˜ao 2.2.2. Uma variedade diferenci´avel (de classe Ck ou de classe C∞) de dimens˜ao n sem bordo ´e uma tripla (M, τ, A), onde (M, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com base enumer´avel e A ´e um atlas diferenci´avel (de classe Ck ou de
classe C∞) maximal de dimens˜ao n sobre M .
Chamaremos uma variedade sem bordo M munida com um atlas suave A, de variedade suave. Um atlas suave maximal em uma variedade topol´ogica M de dimens˜ao n ´e tamb´em chamado de estrutura suave em M .
Proposi¸c˜ao 2.2.3. Seja (M, τ ) uma variedade topol´ogica. Ent˜ao todo atlas suave sobre M est´a contido em um ´unico atlas suave maximal.
