Formas Diferenciais - Tensores e o Teorema de Stokes

As formas diferenciais nada mais são que campos de tensores alternados. Elas generalizam os campos de vetores e serão nossos integrandos na próxima se¸cão. Defini¸cão 2.7.1. Seja M uma variedade suave sem bordo. Definimos o fibrado k-tensorial covariante de M como

k O M = G p∈M k O (TpM ).

Similarmente podemos definir o fibrado l-tensorial contravariante de M e o fibrado (k, l)-tensorial misto de M como

O l M = G p∈M O l (TpM ), k O l M = G p∈M k O l (TpM ).

Perceba que os fibrados tangente e cotangente s˜ao casos especiais de fibrados tensoriais: N

1M = T M e

M = T∗M . Focaremos agora nosso interesse em Nk

M (as constru¸cões que faremos, apesar de não serem de nosso interesse aqui, também servem para N

lM e

l M ).

H´a uma proje¸c˜ao natural π : Nk

M → M dada por π(p, ω) = p. Uma se¸c˜ao de Nk

M é uma se¸cão da proje¸cão π : Nk

M → M , isto ´e, uma fun¸c˜ao cont´ınua Y : M →Nk

M que, a cada p ∈ M associa Y (p) = Yp ∈NkM e que satisfaz

π ◦ Y = idM.

Uma se¸c˜ao deNk

M ´e suave se Y : M →Nk

M ´e suave.

Defini¸cão 2.7.2. Seja M uma variedade suave sem bordo. Uma se¸cão de Nk M é chamada de campo de k-tensores (covariantes) em M . Um campo de k-tensores (covariantes) suave em M é uma se¸cão deNk

M suave.

Denotaremos o espa¸co vetorial de todos os campos de k-tensores suaves em M por Tk_{(M ). Como vimos no Cap´ıtulo 1, dada (dx}i_{) uma base de T}∗

pM , os tensores

da forma dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxik_{, com i}

j = 1, . . . , n, formam uma base para Nk(TpM ).

Assim, dadas coordenadas locais (xi_{), qualquer campo de tensores ξ ∈}Nk

M pode ser escrito nessas coordenadas como

ξ = X

i1,...,ik

ξi1...ik dx

i1 _{⊗ · · · ⊗ dx}ik_.

As fun¸cões ξi1...ik são chamadas de fun¸cões componentes de ξ com rela¸cão a (x

i_).

Lema 2.7.3. Seja M uma variedade suave sem bordo e ξ : M →Nk

M uma se¸c˜ao deNk

M . S˜ao equivalentes: (1) ξ ´e suave.

(2) Para qualquer carta de coordenadas em M , as fun¸c˜oes componentes de ξ s˜ao suaves.

(3) Seja U ⊂ M aberto. Se Xi, . . . , Xks˜ao campos de vetores suaves em U , a fun¸c˜ao

ξ(X1, . . . , Xk) : U → R dada por

ξ(X1, . . . , Xk)(p) = ξp(X1|p, . . . , Xk|p)

´e suave.

Um campo de 1-tensores nada mais é que um campo de covetores. Como um 0-tensor é simplesmente um número real, um campo de 0-tensores é apenas uma fun¸c˜_{ao cont´ınua de M em R.}

Estamos, agora, em condi¸c˜oes de definir as formas diferenciais:

Defini¸c˜ao 2.7.4. Seja M uma variedade suave de dimens˜ao n sem bordo. Denota- remos o subconjunto de Nk

M dos k-tensores covariantes alternados por

k ^ M = G p∈M k ^ (TpM ).

Defini¸c˜ao 2.7.5. Uma se¸c˜ao de Vk

M é chamada de k-forma diferencial em M . Uma k-forma diferencial suave em M é uma se¸cão suave de Vk

M . Usaremos a nota¸c˜ao ω ∈ Vk

M . Denotaremos o espa¸co vetorial das k-formas diferenciais suaves em M por Ak(M ). Como vimos no Cap´ıtulo 1, dada (dxi) uma base de T_p∗M , os tensores da forma dxi1∧· · ·∧dxik_{, com i}

1 < · · · < ik, ij ∈ {1, . . . , n},

formam uma base para Vk

(TpM ). Assim, em coordenadas locais (xi), qualquer k-

forma diferencial ω em M pode ser escrita como ω = X

i1<···<ik

ωi1...ik dx

i1 _{∧ · · · ∧ dx}ik_.

Usaremos como abrevia¸cões, quando não houver risco de confusão, ωI = ωi1...ik

e dxI _{= dx}i1 ∧ · · · ∧ dxik_{, ficando claro que I ´}_{e um ´ındice m´}_{ultiplo crescente de}

comprimento k com entradas em {1, . . . , n}. Assim, P

I diz que a soma se estende

a todos os poss´ıveis ´ındices m´ultiplos I daquele tipo. Dessa forma, uma k-forma diferencial ω em M pode ser escrita em coordenadas locais como

ω =X

ωI dxI.

O resultado an´alogo para formas diferenciais do Lema 1.9.15(3) ´e dxi1 _{∧ · · · ∧ dx}ik ∂ ∂xj1, . . . , ∂ ∂xjk = δ_JI. Portanto as componentes ωI de ω ficam determinadas por

ωI = ω ∂ ∂xi1, . . . , ∂ ∂xik .

Exemplo 2.7.6. Exemplos de formas em R3 _s˜_ao

ξ = sin(xy) dx ∧ dy ζ = x2 dx + y2 dy + z2 dz

Exemplo 2.7.7. Qualquer n-forma em Rn ´e apenas uma fun¸c˜_{ao de R}n _{em R} cont´ınua, pois existe apenas um ´ındice m´ultiplo crescente de comprimento n com entradas em {1, . . . , n}.

Uma 0-forma é também apenas uma fun¸c˜_{ao cont´ınua de R}n_{em R. Uma 1-forma} é um campo de covetores.

Defini¸cão 2.7.8. Seja M uma variedade suave de dimensão n sem bordo, ω uma k-forma diferencial em M e υ uma l-forma diferencial em M . O produto exterior de ω e υ é a (k + l)-forma diferencial

(ω ∧ υ)p = ωp∧ υp

em M .

Se f ´e uma 0-forma, n´os interpretamos o produto f ∧ ω como o produto usual f ω. Definindo A∗(M ) = n M k=0 Ak_{(M ),}

temos que (A∗_{(M ), +, ∧, ·, R) se torna uma ´algebra graduada associativa anticomu-} tativa.

Defini¸c˜ao 2.7.9. Sejam M e N variedades suaves sem bordo, f : M → N suave e ω uma k-forma diferencial em N . Definimos a k-forma diferencial em M , chamada de pullback de ω por f , por

(f∗w)p(X1, . . . , Xk) = wf (p)(f∗X1, . . . , f∗Xk).

Lema 2.7.10. Sejam M e N variedades suaves sem bordo, f : M → N suave, ω uma k-forma diferencial em N e υ uma l-forma diferencial em N . Ent˜ao:

(1) f∗ : Ak(N ) → Ak(M ) ´e linear. (2) f∗(ω ∧ υ) = f∗ω ∧ f∗υ. (3) Em qualquer carta, f∗ X I ωI dxI ! =X I (ωI◦ f ) d(xI ◦ f ).

Este lema nos dá uma fórmula para computarmos pullbacks de formas diferenciais. Note que podemos usá-la, em particular, para determinar a expressão de uma forma em outra carta de coordenadas.

Exemplo 2.7.11. Seja ω a forma diferencial dx ∧ dy em R2_{. Encarando a trans-}

forma¸c˜ao para coordenadas polares

x = r cos(θ) y = r sin(θ)

como uma expressão para a fun¸cão identidade com rela¸cão a diferentes coordenadas no dom´ınio e na imagem, obtemos

ω = dx ∧ dy

= d(r cos(θ)) ∧ d(r sin(θ))

= (cos(θ) dr − r sin(θ) dθ) ∧ (sin(θ) dr + r cos(θ) dθ) = r cos2(θ) dr ∧ dθ − r sin2(θ) dθ ∧ dr.

Como dθ ∧ dr = −dr ∧ dθ, temos

dx ∧ dy = r dr ∧ dθ.

Perceba a similaridade dessa fórmula com a fórmula de mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para integrais duplas. A proposi¸cão seguinte generaliza esse resultado.

Proposi¸c˜ao 2.7.12. Sejam M e N variedades suaves de dimens˜ao n sem bordo, f : M → N suave, (xi_{) e (y}i_{) coordenadas em abertos U ⊂ M e V ⊂ N respectivamente}

e u : V → R suave. Ent˜ao, em U ∩ f−1(V ) vale

f∗(u dy1∧ · · · ∧ dyn) = (u ◦ f ) det(Df ) dx1∧ · · · ∧ dxn, (2.3) onde Df denota a matriz das derivadas parciais de f em coordenadas.

Demonstra¸c˜ao: Como, para cada p ∈ M , Vn

(TpM ) ´e gerado por dx1∧ · · · ∧ dxn,

´e suficiente mostrar que ambos os lados de (2.3) d˜ao o mesmo resultado quando calculados em (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn). Pelo Lema 2.7.10,

f∗(u dy1∧ · · · ∧ dyn_{) = (u ◦ f ) df}1_{∧ · · · ∧ df}n_.

Pela Proposi¸c˜ao 1.10.3, temos df1∧ · · · ∧ dfn ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn = det dfj ∂ ∂xi = det ∂f j ∂xi .

Portanto, o lado esquerdo da equa¸c˜ao 2.3 ´e (u ◦ f ) det(Df ) quando aplicado em (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn).

Por outro lado, o lado direito tamb´em ´e (u ◦ f ) det(Df ), pois dx1∧ · · · ∧ dxn ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn = 1.

Corol´ario 2.7.13. Se (U, (xi_{)) e ( e}_{U , (˜}_xj_{)) s˜}_{ao cartas com U ∩ ( e}_{U ) 6= ∅, em U ∩ ( e}_{U )}

vale d˜x1∧ · · · ∧ d˜xn = det ∂ ˜x j ∂xi dx1∧ · · · ∧ dxn_.

Veremos agora que para qualquer variedade suave M existe um operador diferencial d : Ak(M ) → Ak+1(M ) tal que d(dw) = 0 para toda ω.

Defini¸c˜ao 2.7.14. Seja M uma variedade suave e (U, (xi_{)) uma carta de coorde-}

nadas de M . Definimos d : Ak_{(U ) → A}k+1_{(U ), chamado de k-´}_{esima diferencial}

exterior em M , por d X J ωJ dxJ ! =X J dωJ ∧ dxJ, (2.4) ondeP

JωJ dxJ é a representa¸cão em coordenadas de ω com rela¸cão a (xi) e dωJ é

a diferencial de ωJ.

O teorema a seguir mostra que d está bem definido e que essa defini¸cão é independente de escolha de coordenadas. A demonstra¸cão deste teorema pode ser encontrada em [5].

Teorema 2.7.15. Seja M uma variedade suave. Ent˜ao, para cada k ≥ 0, h´a um ´

unico operador linear

d : Ak(M ) → Ak+1(M ) satisfazendo:

(1) Se f : M → R é uma fun¸cão suave (uma 0-forma), então df é a diferencial de f definida por

df (X) = Xf. (2) Se ω ∈ Ak_{(M ) e υ ∈ A}l_{(M ), ent˜}_ao

d(ω ∧ υ) = dω ∧ υ + (−1)k dυ ∧ ω. (3) d ◦ d = 0.

(4) Para toda carta de coordenadas (U, (xi_{)) de M , d ´}_{e dado por (2.4).}

(5) Se ω = ω0 em um aberto U ∈ M , então dω = dω0 em U . (6) Se U ⊂ M é aberto, então d(ω|U) = (dω)|U.

Exemplo 2.7.16. Em R3_{, qualquer 1-forma suave pode ser escrita como}

ω = P dx + Q dy + R dz, onde P, Q, R : R3 → R s˜ao fun¸c˜oes suaves. Temos

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz = ∂P ∂x dx + ∂P ∂y dy + ∂P ∂z dy ∧ dx + ∂Q ∂x dx + ∂Q ∂y dy + ∂Q ∂z dy ∧ dy + ∂R ∂x dx + ∂R ∂y dy + ∂R ∂z dy ∧ dz = ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx ∧ dy + ∂R ∂x − ∂P ∂z dx ∧ dz + ∂Q ∂y − ∂R ∂z dy ∧ dz.

O pr´oximo lema indica como d se comporta em rela¸c˜ao a pullbacks:

Lema 2.7.17. Sejam M e N variedades suaves e f : M → N suave. Ent˜ao, para toda ω ∈ Ak_{(N ),}

f∗(dω) = d(f∗ω).

Demonstra¸cão: Como d é local (Teorema 2.7.15), segue que se o resultado é válido para uma vizinhan¸ca de cada ponto, ele é válido em M . Em coordenadas locais ω pode ser escrita como uma soma de termos de tipo g dxi1∧ · · · ∧ dxik_{, portanto, por}

linearidade, ´e suficiente mostrar que o resultado vale para uma termo deste tipo. Temos f∗d(g dxi1 _{∧ · · · ∧ dx}ik_{) = f}∗_{(dg ∧ dx}i1 _{∧ · · · ∧ dx}ik₎ = d(g ◦ f ) ∧ (dxi1 _{◦ f ) ∧ · · · ∧ (dx}ik _{◦ f ),} enquanto que df∗(g dxi1 _{∧ · · · ∧ dx}ik_{) = d((g ◦ f )(dx}i1 _{◦ f ) ∧ · · · ∧ (dx}ik_{◦ f ))} = d(g ◦ f ) ∧ (dxi1 _{◦ f ) ∧ · · · ∧ (dx}ik_{◦ f ),} e o resultado segue.

2.8 Orienta¸c˜oes

Grosso modo, uma orienta¸cão para uma reta é escolher um sentido “preferido” nela. Declaramos assim que uma base orientada para tal reta consiste de um vetor que aponta para o sentido escolhido. J´_{a uma base ordenada “preferida” para R}2 consiste de vetores cuja rota¸cão do primeiro vetor até o segundo é uma rota¸cão no sentido anti-horário.

Nessa se¸c˜ao n´os formalizamos e generalizamos esse conceito.

Defini¸cão 2.8.1. Seja E um espa¸co vetorial de dimensão finita n ≥ 1. Dizemos que duas bases ordenadas (ei), (˜ei) de E têm a mesma orienta¸cão se

det(B_ij) > 0,

onde (B_ij) ´e a matriz mudan¸ca de base de (˜ei) para (ei).

Se (ei) ´e uma base de E, denotamos [ei] a classe de todas as bases (˜ei) tais

que (ei) e (˜ei) têm a mesma orienta¸cão. Se dim(E) ≥ 1, uma orienta¸cão em E é

uma classe [ei], para alguma base (ei) escolhida. Uma dupla (E, [ei]) ´e chamada de

espa¸co vetorial orientado, e, se (ei) ∈ [ei], ent˜ao (ei) ´e dita positivamente orientada.

Qualquer base que não perten¸ca à orienta¸cão dada é dita negativamente orientada. Caso dim(E) = 0, uma orienta¸cão para E é simplesmente uma escolha entre +1 ou −1.

Exemplo 2.8.2. Seja n > 0. A orienta¸c˜ao [e1, . . . , en] de Rn determinada pela

base canônica (e1, . . . , en) é chamada de orienta¸cão canônica de Rn. A orienta¸cão

Há uma importante rela¸cão entre orienta¸cões e tensores alternados, como mostra a proposi¸cão a seguir.

Proposi¸c˜ao 2.8.3. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1 e f ∈ Vn

(E), f 6= 0. O conjunto das bases ordenadas (ei) de E tais que f (e1, . . . , en) > 0

´e uma orienta¸c˜ao em E.

Demonstra¸cão: Basta notar que, se f é não nula, como vimos na Se¸cão 1.11, f é

um m´ultiplo do determinante.

Se E ´e um espa¸co vetorial orientado e f ∈ Vn

(E) é um tensor que determina a orienta¸cão em E, dizemos que f é um tensor positivamente orientado. O tensor dx1 ∧ · · · ∧ dxn, por exemplo, é um tensor positivamente orientado de Rn com a

orienta¸c˜ao canˆonica.

Vejamos agora como se generaliza a no¸cão de orienta¸cão para variedades. Seja M uma variedade suave sem bordo. Uma orienta¸cão pontual em M é a escolha de uma orienta¸cão para cada TpM . Note, porém, que este não é um

conceito muito útil, visto que a orienta¸cão em pontos em uma vizinhan¸ca pode não ter nenhuma rela¸cão. Para haver alguma rela¸cão entre uma orienta¸cão e a estrutura suave precisamos de uma condi¸cão extra.

Se é dada uma orienta¸cão pontual em M , dizemos que um referencial local (η1, . . . , ηn) para M é positivamente orientado se, para todo p ∈ U , (η1|p, . . . , ηn|p)

´e uma base positivamente orientada de TpM . Um referencial local negativamente

orientado ´e definido analogamente.

Uma orienta¸cão pontual em M é dita cont´ınua se cada ponto p ∈ M está contido no dom´ınio de um referencial local positivamente orientado.

Agora temos condi¸c˜oes de definir orienta¸c˜oes em uma variedade:

Defini¸cão 2.8.4. Seja M uma variedade suave sem bordo. Uma orienta¸cão em M é uma orienta¸cão pontual cont´ınua em M . Uma variedade suave com uma orienta¸cão escolhida é chamada de variedade orientada, e dizemos que uma variedade M é orientável se existe uma orienta¸cão para M .

Se M tem dimensão 0, uma orienta¸cão em M é simplesmente associa¸cão de +1 ou −1 a cada um de seus pontos. Logo, toda variedade de dimensão 0 é orientável. Seja (U, ϕ) uma carta de coordenadas de uma variedade suave sem bordo M . Dizemos que (U, ϕ) é positivamente orientada se o referencial local (∂/∂xi_{) ´}_{e posi-}

tivamente orientado. Caso contr´ario, (U, ϕ) ´e negativamente orientada.

Defini¸cão 2.8.5. Uma cole¸cão de cartas de coordenadas {(Uα, ϕα)} é dita consis-

tentemente orientada se, para qualquer α, β,

det(D(ϕβ◦ ϕ−1α )) > 0

em ϕα(Uα∩ Uβ), sendo que D(ϕβ ◦ ϕ−1α ) denota a matriz das derivadas parciais de

ϕβ ◦ ϕ−1α em coordenadas.

As duas proposi¸cões seguintes nos fornecem modos mais práticos para especificar orienta¸cões em variedades.

Proposi¸cão 2.8.6. Seja M uma variedade suave de dimensão n > 0 sem bordo. Dada uma cobertura aberta de M por cartas de coordenadas consistentemente orientadas {(Uα, ϕα)}, há uma única orienta¸cão em M tal que cada carta de coordenadas

(Uα, ϕα) ´e positivamente orientada.

Demonstra¸c˜ao: Seja {(Uα, ϕα)} uma cobertura aberta de M por cartas de coor-

denadas consistentemente orientadas. Para qualquer p ∈ M , a condi¸cão de con- sistência implica que a matriz mudan¸ca de base entre as bases determinadas por duas quaisquer cartas tem determinante positivo. Assim, as bases para quaisquer cartas contendo p determinam a mesma orienta¸cão em TpM . Fica, então, definida

uma orienta¸c˜ao pontual em M .

Cada p ∈ M está contido no dom´ınio de pelo menos uma carta de coordenadas, e o referencial local correspondente é positivamente orientado por defini¸cão, portanto tal orienta¸cão pontual é cont´ınua. Proposi¸cão 2.8.7. Seja M uma variedade suave de dimensão n > 0 sem bordo. Qualquer n-forma ω ∈ An(M ), ω(p) 6= 0 ∀p ∈ M , determina uma única orienta¸cão em M tal que ω é positivamente orientada em cada ponto de M .

Demonstra¸cão: A n-forma ω define, pela Proposi¸cão 2.8.3, uma orienta¸cão pontual em M . Precisamos mostrar que esta é cont´ınua.

Sejam (xi_{) coordenadas locais em um dom´ınio conexo U ⊂ M . Em U , ω se}

escreve como

ω = f dx1∧ · · · ∧ dxn_,

para alguma fun¸cão cont´ınua f . Como ω é não nula, f é não nula, e segue que ω ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn = f 6= 0

em todo ponto de U . Como U é conexo, conclu´ımos que essa expressão é sempre positiva ou sempre negativa em U e, portanto, a carta de coordenadas é positivamente orientada ou negativamente orientada. Caso seja negativamente orientada, substitu´ımos xi _{por −x}i_{, obtendo uma nova carta, para a qual o referencial local ´}_e

positivamente orientado. Assim a orienta¸cão pontual definida por ω ´_{e cont´ınua.} Devido a esta última proposi¸cão, qualquer n-forma que não se anula em uma variedade suave de dimensão n é chamada de forma de orienta¸cão. Se M é uma variedade orientada e ω é a forma que determina a orienta¸cão de M , dizemos que ω é positivamente orientada. Verifica-se que, se ω e ξ são duas formas positivamente orientadas em M , então ω = f ξ, para alguma fun¸c˜_{ao f : M → R suave estritamente} positiva.

Note, ainda, que o resultado da Proposi¸cão 2.8.7 continua válido para variedades de dimensão 0 se convencionarmos que ω atribui a orienta¸cão +1 aos pontos nos quais ela é positiva e −1 aos pontos nos quais ela é negativa.

Defini¸cão 2.8.8. Sejam M e N variedades orientadas de dimensão positiva e f : U ⊂ M → V ⊂ N um difeomorfismo local. Dizemos que f preserva orienta¸cão se, para cada p ∈ U , f∗ leva bases positivamente orientadas de TpM em bases

Analogamente, dizemos que f reverte orienta¸c˜ao se f∗ leva bases positivamente

orientadas de TpM em bases negativamente orientadas de Tf (p)N .

Uma orienta¸cão em uma variedade suave com bordo pode ser definida exatamente como fizemos para variedades suaves sem bordo. Como já vimos, bordo de uma variedade suave M de dimensão n com bordo, quando não vazio, é uma variedade suave de dimensão n − 1 sem bordo. Quando munimos M de uma orienta¸cão, esta induz uma orienta¸cão em ∂M , chamada de orienta¸cão induzida no bordo. Vejamos como isso ocorre:

Seja M uma variedade suave de dimensão n com bordo. Então, por defini¸cão, para todo p ∈ ∂M existe uma carta de coordenadas (U, ϕ) tal que p ∈ U e que ϕ(U ∩ ∂M ) = ϕ(U ) ∩ ∂Hn. Seja p ∈ ∂M e (U, (xi)) uma carta de coordenadas com p ∈ U . Dizemos que um vetor

N = n X i=1 Ni ∂ ∂xi p

em TpM aponta para dentro se a componente Nn de N ´e positiva. Analogamente,

dizemos que N aponta para fora se Nn< 0.

Defini¸cão 2.8.9. Um campo de vetores sobre ∂M é uma fun¸cão cont´ınua N : ∂M → T M tal que N (p) = Np ∈ TpM

Note a diferen¸ca entre um campo de vetores sobre ∂M e um campo de vetores em ∂M (este ´ultimo deveria satisfazer Np ∈ Tp∂M para todo p ∈ ∂M ). Dizemos

que um campo de vetores N sobre ∂M aponta para fora se Np aponta para fora,

para cada p ∈ ∂M .

Lema 2.8.10. Seja M uma variedade suave com bordo. Existe um campo suave de vetores que aponta para fora sobre ∂M .

Demonstra¸c˜ao: Sejam (Uα, ϕα) cartas de coordenadas em M tais que cole¸c˜ao {Uα}

´e uma cobertura de uma vizinhan¸ca de ∂M . Em cada uma dessas cartas, Nα = − ∂ ∂xn ∂M ∩Uα

´e um campo suave de vetores sobre ∂M ∩ Uα que aponta para fora. Tome {ψα}

uma parti¸cão da unidade com rela¸cão à cobertura {Uα ∩ ∂M } de ∂M e defina N

um campo suave de vetores sobre ∂M por N =X

ψαNα.

Precisamos mostrar que N aponta para fora. Sejam (y1_{, . . . , y}n_{) coordenadas locais}

em uma vizinhan¸ca de p ∈ ∂M . Como cada Nα aponta para fora, vale dyn(Nα) < 0.

Portanto

dyn(Np) =

pois cada termo da soma acima ´e estritamente negativo e pelo menos um deles ´e

n˜ao nulo.

Dada uma n-forma de orienta¸c˜ao ω em M , a existˆencia de um campo de vetores que aponta para fora N sobre ∂M nos permite definir uma (n − 1)-forma iNω em

M , chamada de contra¸c˜ao de ω com rela¸c˜ao a N e dada por iNω(Y1, . . . , Yn) p =ω(N, Y1, . . . , Yn) p

tal que iNω|∂M ´e uma forma de orienta¸c˜ao em ∂M . Mais precisamente, temos a

proposi¸c˜ao seguinte:

Proposi¸cão 2.8.11. Seja M uma variedade orientada com bordo. Então ∂M é orientável, e a orienta¸cão determinada por qualquer campo suave de vetores sobre ∂M que aponta para fora é independente da escolha desse campo.

A orienta¸cão da proposi¸cão acima damos o nome de orienta¸cão induzida no bordo.

Exemplo 2.8.12. Seja Hn _{munido da orienta¸c˜}_{ao canˆ}_{onica. Vamos determinar a}

orienta¸c˜_{ao induzida em ∂H}n.

Note que ∂Hn _{pode ser identificado com R}n−1 _{via a correspondˆ}_encia

(x1, . . . , xn−1, 0) 7→ (x1, . . . , xn−1).

Como o campo de vetores −∂/∂xn _{sobre ∂H}n _{aponta para fora, o referencial das}

coordenadas padr˜_{ao para R}n−1 _ser´_{a positivamente orientado para ∂H}n _{se, e somente}

se, [−∂/∂xn, ∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn−1] ´e a orienta¸c˜ao canˆ_{onica de R}n. Temos − ∂ ∂xn, ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn−1 = − ∂ ∂xn, ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn−1 = (−1)n ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xn .

Portanto, a orienta¸c˜_{ao induzida em ∂H}n _´_{e igual `}_{a orienta¸c˜}_{ao canˆ}_{onica em R}n−1 _se

n é par e é a orienta¸cão oposta a esta se n é ´ımpar. Em particular, as coordenadas padr˜_{ao em ∂H}n _s˜_{ao positivamente orientadas se, e somente se, n ´}_{e par.}

2.9 Integra¸c˜ao

Nesta se¸c˜ao veremos como integrar n-formas diferenciais em variedades suaves de dimens˜ao n e demonstraremos o Teorema de Stokes em variedades.

Defini¸c˜_{ao 2.9.1. Seja D ⊂ R}n _{um dom´ınio de integra¸c˜}_{ao compacto e ω uma n-}

forma diferencial em D. Definimos a integral de ω em D como Z D ω = Z D f, onde f : Rn_{→ R ´e a fun¸c˜ao cont´ınua tal que}

A defini¸c˜ao acima por ser escrita, de forma mais sugestiva, como Z D ω = Z D f dx1∧ · · · ∧ dxn₌ Z D f dx1. . . dxn.

Defini¸c˜_{ao 2.9.2. Seja U ⊂ R}n _{aberto. Definimos o suporte de uma n-forma dife-}

rencial em U por

supp(ω) ={x ∈ U | ω(x) 6= 0}. Se supp(ω) ´e compacto, dizemos que ω tem suporte compacto.

Para que possamos definir a integral em U de uma n-forma diferencial com suporte compacto, precisamos do seguinte lema:

Lema 2.9.3. Sejam K ⊂ U ⊂ Rn_{tais que U ´}_{e aberto e K ´}_{e compacto. Ent˜}_{ao existe}

um dom´ınio de integra¸c˜ao D tal que K ⊂ D ⊂ U . Assim podemos definir:

Defini¸c˜_{ao 2.9.4. Seja U ⊂ R}n _{aberto e ω uma n-forma diferencial em U com}

suporte compacto. Definimos a integral de ω em U por Z U ω = Z D ω,

onde D ´e qualquer dom´ınio de integra¸c˜ao tal que supp(ω) ⊂ D ⊂ U .

De forma similar, se V ⊂ Hn ´e aberto, e ω ´e uma n-forma diferencial em V com suporte compacto, definimos

Z V ω = Z D∩Hn ω,

onde D ´e qualquer dom´ınio de integra¸c˜ao tal que supp(ω) ⊂ D ⊂ V .

Proposi¸c˜_{ao 2.9.5. Sejam D, E ⊂ R}n _{dom´ınios de integra¸c˜}_{ao compactos e seja}

ω é uma n-forma diferencial em E. Se g : D → E é uma fun¸cão suave tal que g : int(D) → int(E) é um difeomorfismo que preserva ou reverte orienta¸cão, então

Z E ω =          Z D g∗ω se g preserva orienta¸c˜ao − Z D g∗ω se g reverte orienta¸c˜ao

Demonstra¸cão: Sejam (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , yn) as coordenadas padrão em D e E respectivamente e suponha que g preserva orienta¸cão. Escrevendo ω = f dy1∧ · · · ∧ dyn_{, pela formula de mudan¸ca de vari´}_{aveis (Teorema 3.4.24) e pela f´}_ormula

Z E ω = Z E f = Z D (f ◦ g)| det(Dg)| = Z D (f ◦ g)(det(Dg)) = Z D (f ◦ g)(det(Dg)) dx1∧ · · · ∧ dxn = Z D g∗ω.

Se g reverte orienta¸cão, a menos do sinal negativo, que neste caso surge pois | det(Dg)| = − det(Dg), o cálculo é análogo. Corol´_{ario 2.9.6. Sejam U, V ⊂ R}n _{abertos, g : U → V um difeomorfismo que}

preserva orienta¸cão e ω é uma n-forma diferencial em V com suporte compacto. Então Z V ω = Z U g∗ω.

Usando os resultados sobre integra¸c˜_{ao de n-formas diferenciais em R}n _coleta-

dos acima, vamos agora definir integra¸c˜ao de n-formas diferenciais em variedades orientadas.

Se M é uma variedade orientada de dimensão n ≥ 1 sem bordo e ω é uma n- forma diferencial em M com suporte compacto e contido no dom´ınio de uma única carta de coordenadas (U, ϕ) de M , definimos a integral de ω em M como

Z M ω = Z ϕ(U ) (ϕ−1)∗ω.

Note que (ϕ−1)∗ω ´e uma n-forma diferencial com suporte compacto e contido em ϕ(U ) ⊂ Rn_.

Proposi¸cão 2.9.7. Seja M é uma variedade orientada de dimensão n ≥ 1 sem bordo e ω é uma n-forma diferencial em M com suporte compacto e contido no dom´ınio de uma única carta de coordenadas orientada (U, ϕ) de M . Então

n˜ao depende da escolha da carta de coordenadas (U, ϕ).

Demonstra¸c˜ao: Seja ( eU ,ϕ) outra carta de coordenadas orientada tal que supp(ω) ⊂_e e

U . Comoϕ◦ϕ_e −1 : ϕ(U ∩ eU ) →ϕ(U ∩ e_e U ) é um difeomorfismo que preserva orienta¸cão, pelo Corolário 2.9.6,

Z e ϕ( eU ) (ϕ_e−1)∗ω = Z e ϕ(U ∩ eU ) (ϕ_e−1)∗ω = Z e ϕ(U ∩ eU ) (ϕ ◦ ϕ_e −1)∗(ϕ_e−1)∗ω = Z e ϕ(U ∩ eU ) (ϕ−1)∗(ϕ)_e ∗(ϕ_e−1)∗ω = Z ϕ(U ) (ϕ−1)∗ω.

Então as duas defini¸cões de R_Mω coincidem. Se M é uma variedade orientada de dimensão n ≥ 1 com bordo e ω uma n-forma diferencial em M com suporte compacto e contido no dom´ınio de uma única carta de coordenadas de M , a defini¸cão de R_Mω é a mesma, exceto que integraremos em abertos de Hn_{. O resultado da Proposi¸c˜}_{ao 2.9.7 acima tamb´}_{em continua v´}_{alido com}

essa altera¸c˜ao.

Para definirmos a integral de uma n-forma diferencial em uma variedade orientada M de dimensão n, usamos a defini¸cão para esse caso especial que vimos, juntamente com uma parti¸cão da unidade.

Defini¸c˜ao 2.9.8. Seja M uma variedade orientada de dimens˜ao n ≥ 1 com bordo e ω uma n-forma diferencial em M com suporte compacto. Seja {(Ui, ϕi)} uma co-

bertura finita de supp(ω) por cartas de coordenadas orientadas e {ψi} uma parti¸c˜ao

suave da unidade com rela¸c˜ao `a {(Ui, ϕi)}. Definimos a integral de ω em M como

Z M ω =X i Z M ψiω.

Como supp(ψiω) ⊂ Ui´e compacto, cada termo da soma acima est´a bem definido.

Lema 2.9.9. A defini¸c˜ao de R

Mω dada acima n˜ao depende da escolha das cartas

de coordenadas nem da parti¸c˜ao da unidade.

Demonstra¸cão: Seja {( eUj,ϕej)} uma outra cole¸cão de cartas de coordenadas orientadas cujos dom´ınios formam uma cobertura finita de supp(ω) e { eψj} uma parti¸cão

suave da unidade com rela¸c˜ao `a {( eUj,ϕej)}. Temos, para cada i, Z M ψiω = Z M X j e ψj ! ψiω = X j Z M e ψjψiω. Somando em i, X i Z M ψiω = X i,j Z m e ψjψiω.

Cada termo nesta última soma é a integral de uma n-forma diferencial com suporte compacto e contido no dom´ınio de uma única carta de coordenadas que, pela Proposi¸cão 2.9.7, está bem definida. O mesmo argumento mostra que

X j Z M e ψjω = X i,j Z m e ψjψiω.

Portanto ambos os casos fornecem o mesmo valor para R_Mω. Se M tem dimens˜ao 0, definimos a integral de uma 0-forma diferencial (ou seja, uma fun¸c˜_{ao f : M → R) em M por}

f = X

p∈M

onde a escolha de ± ´e de acordo com a orienta¸c˜ao em cada p ∈ M . Como f tem

No documento Tensores e o Teorema de Stokes (páginas 62-103)