Esta se¸c˜ao introduz os tensores alternados. Estes nos permitem definir as formas diferenciais, que ser˜ao os integrandos no Teorema de Stokes.
Defini¸c˜ao 1.9.1. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ e f ∈ Nk
(E). O tensor f ´e dito alternado se
f (x1, . . . , xk) = 0
Defini¸c˜ao 1.9.2. Seja E um espa¸co vetorial e f ∈ Nk
(E). O tensor f ´e dito anti-sim´etrico se
f (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xk) = −f (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xk),
para quaisquer x1, . . . , xk ∈ E.
Proposi¸c˜ao 1.9.3. Um tensor f ∈ Nk
(E) ´e alternado se, e somente se, ´e anti- sim´etrico.
Demonstra¸c˜ao: Escrevamos, por simplicidade,
f (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xk) = ϕ(xi, xj).
Ent˜ao, se f ´e alternado,
0 = ϕ(xi+ xj, xi+ xj) = ϕ(xi, xi) + ϕ(xi, xj) + ϕ(xj, xi) + ϕ(xj, xj)
= ϕ(xi, xj) + ϕ(xj, xi)
e, ent˜ao f ´e anti-sim´etrico. Reciprocamente, se f ´e anti-sim´etrico, ϕ(xi, xi) =
−ϕ(xi, xi), que implica 2ϕ(xi, xi) = 0, e f ´e alternado.
Indicaremos o subespa¸co deNk
(E) dos tensores k-lineares alternados porVk (E). Proposi¸c˜ao 1.9.4. Seja f ∈ Vk
(E). Se x1, . . . , xk ∈ E s˜ao linearmente dependen-
tes, ent˜ao f (x1, . . . , xk) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Como x1, . . . , xk ∈ E s˜ao linearmente dependentes, ao menos um
deles, xi, se escreve como combina¸c˜ao linear dos anteriores. Ou seja
xi = X j<i λjxj. Segue que f (x1, . . . , xk) = f x1, . . . , X j<i λjxj, . . . , xk ! = X j<i λjf (x1, . . . , xj, . . . , xj, . . . , xk) = 0, e terminamos.
Corol´ario 1.9.5. Se dim(E) < k, ent˜aoVk
(E) = {0}.
Defini¸c˜ao 1.9.6. Seja A um conjunto. Uma permuta¸c˜ao de A ´e uma bije¸c˜ao σ : A → A.
Em vista da defini¸c˜ao acima, cada permuta¸c˜ao σ admite uma inversa σ−1 dada por
σ−1(y) = x ⇔ σ(x) = y, e temos σ−1◦ σ = σ ◦ σ−1 = id.
Como ◦ ´e associativa, segue que o conjunto das permuta¸c˜oes de um conjunto A com a opera¸c˜ao ◦ constitui um grupo, que indicaremos por S(A). Em especial, denotaremos S({1, . . . , k}) por Sk. Adotaremos tamb´em o costume de denotar a
opera¸c˜ao ◦ por justaposi¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.9.7. Uma permuta¸c˜ao τ ∈ Sk chama-se uma transposi¸c˜ao quando
existem a, b ∈ N, a, b ≤ k, tais que τ (a) = b, τ (b) = a e τ (i) = i para todo i ∈ {1, . . . , k} \ {a, b}.
Claramente, se τ ´e transposi¸c˜ao, τ2 = id.
Lema 1.9.8. Toda permuta¸c˜ao σ ∈ Sk pode ser escrita como um produto τ1. . . τl
de transposi¸c˜oes com a paridade de l ´unica.
Como a paridade de l em σ = τ1. . . τl ´e ´unica, fazemos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.9.9. Seja σ ∈ Sk. Dizemos que σ ´e par se esta se escreve como um
produto de um n´umero par de transposi¸c˜oes. Caso contr´ario, dizemos que σ ´e ´ımpar. Definimos ainda
sig(σ) =
1 se σ ´e par, −1 se σ ´e ´ımpar. Uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sk induz um homomorfismo
σ : k O (E) → k O (E) definido por (σf )(x1, . . . , xk) = f (xσ(1), . . . , xσ(k)). ´
E imediato verificar que σf ´e, de fato, k-linear, e que o operador σ ´e linear. Proposi¸c˜ao 1.9.10. Sejam σ, ρ ∈ Sk e seja f ∈Nk(E). Ent˜ao
σ(ρf ) = (σρ)f.
Demonstra¸c˜ao: Dados x1, . . . , xk ∈ E, escrevamos wi = xσ(i), i = 1, . . . , k. Ent˜ao
wρ(i) = xσρ(i) e temos
σ(ρf )(x1, . . . , xk) = (ρf )(w1, . . . , wk)
= f (wρ(1), . . . , wρ(k))
= f (xσρ(1), . . . , xσρ(k))
= ((σρ)f )(x1, . . . , xk),
Em particular, para quaisquer σ ∈ Sk, f ∈
Nk
(E), temos σ−1(σf ) = (σ−1σ)f = f . O homomorfismo σ :Nk
(E) →Nk
(E) ´e, portanto, invert´ıvel, sendo seu inverso induzido por σ−1.
Como vimos no Lema 1.9.8, toda permuta¸c˜ao se escreve como um produto de transposi¸c˜oes. Sendo assim, f ∈ Nk
(E) ´e alternado se, e somente se, para toda permuta¸c˜ao σ ∈ Sk vale
f (xσ(1), . . . , xσ(k)) = sig(σ)f (x1, . . . , xk).
Em outras palavras, f ∈Vk
(E) se, e somente se, f ´e k-linear e f = sig(σ)σf para toda σ ∈ Sk.
De fato, se f ´e alternado e τ ∈ Sk ´e uma transposi¸c˜ao, temos τ f = −f , ou seja,
f = sig(τ )τ f . Como toda permuta¸c˜ao ´e um produto de transposi¸c˜oes, temos σf = (τ1. . . τn)f = τ1(. . . (τnf )) = (−1)nf = sig(σ)f.
Reciprocamente, se f = sig(σ)σf para toda σ ∈ Sk, em particular τ f = −f para
toda transposi¸c˜ao τ , e portanto f ´e alternado. Defini¸c˜ao 1.9.11. Definimos a proje¸c˜ao alt :Nk
(E) →Vk (E) por alt(f ) = 1 k! X σ∈Sk sig(σ)σf.
Usaremos no decorrer dessa se¸c˜ao o fato que, fixada ρ ∈ Sk, a aplica¸c˜ao σ → ρσ
´e uma bije¸c˜ao em Sk, ou seja, vale
X σ∈Sk sig(σ)σf = X σ∈Sk sig(σρ)σρf = k! alt(f ). Lema 1.9.12. Seja f ∈Nk (E). Ent˜ao (1) alt(f ) ´e alternado.
(2) f ´e alternado se, e somente se, alt(f ) = f .
(3) se existe uma permuta¸c˜ao ´ımpar ρ ∈ Sk tal que ρf = f , ent˜ao alt(f ) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Para qualquer permuta¸c˜ao ρ ∈ Sk temos
ρ(alt(f )) = ρ 1 k! X σ∈Sk sig(σ)σf ! = 1 k! X σ∈Sk sig(σ)ρσf = sig(ρ)1 k! X σ∈Sk sig(ρσ)ρσf = sig(ρ) alt(f )
e, portanto alt(f ) ´e alternado.
Para demonstrar (2) note que, se f ∈ Vk
(E) ent˜ao sig(σ)f = σf para toda σ ∈ Sk, de modo que alt(f ) = f . Reciprocamente, se alt(f ) = f ent˜ao f ´e alternado,
pela parte (1).
Por fim, se tivermos ρf = f com sig(ρ) = −1, ent˜ao alt(f ) = X σ∈Sk sig(σ)σρf = −X σ∈Sk sig(σρ)σρf = − alt(f ) e, portanto, alt(f ) = 0.
Proposi¸c˜ao 1.9.13. Seja E um espa¸co vetorial sobre Γ, f1, . . . , fk ∈ E∗ e σ ∈ S k.
Vale
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk) = fσ(1)⊗ · · · ⊗ fσ(k).
Demonstra¸c˜ao: Dados v1, . . . , vk ∈ E, por defini¸c˜ao temos
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk)(v
1, . . . , vk) = f1⊗ · · · ⊗ fk(vσ−1(1), . . . , vσ−1(k))
= f1(vσ−1(1)) . . . fk(vσ−1(k)).
Nesse ´ultimo produto, o fator que possui ´ındice superior σ(i) ´e fσ(i)(v
i). Alterando
a ordem dos produtos,
σ−1(f1⊗ · · · ⊗ fk)(v
1, . . . , vk) = fσ(1)(v1) ⊗ · · · ⊗ fσ(k)(vk)
= fσ(1)⊗ · · · ⊗ fσ(k)(v
1, . . . , vk).
Isso termina a demonstra¸c˜ao. Defini¸c˜ao 1.9.14. Seja k ∈ N. Uma k-upla I = (i1, . . . , ik), onde ij ∈ N, ´e chamada
de ´ındice m´ultiplo de comprimento k. Caso i1 < · · · < ik, I ´e um ´ındice m´ultiplo
crescente de comprimento k. Dada uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sk, definimos
Iσ = (iσ(1), . . . , iσ(k)).
Os ´ındices m´ultiplos nos permitem uma maior simplicidade na nota¸c˜ao. Sendo E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre Γ, (ei) uma base ordenada de E∗ e
I = (i1, . . . , ik) um ´ındice m´ultiplo de comprimento k, definimos eI ∈
Vk
(E) por eI = k! alt(ei1 ⊗ · · · ⊗ eik). (1.3)
O coeficiente k! ´e utilizado apenas para anular o coeficiente na defini¸c˜ao de alt : Nk
(E) → Vk
(E). Coeficiente este que, a menos desse caso, simplifica nossa nota¸c˜ao.
Se I e J s˜ao ´ındices m´ultiplos, generalizamos a nota¸c˜ao δji para ´ındices m´ultiplos colocando δIJ =
sig(σ) se I e J n˜ao tˆem entradas repetidas e J = Iσ, para alguma σ ∈ Sk,
0 se I ou J tˆem entradas repetidas ou se J n˜ao ´e permuta¸c˜ao de I.
Lema 1.9.15. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n, (ei) uma base de E e (ei)
a base dual a (ei).
(1) Se I tem um ´ındice repetido, ent˜ao eI = 0.
(2) Se J = Iσ para alguma σ ∈ Sk, ent˜ao eI = sig(σ)eJ.
(3) eI(ej1, . . . , ejk) = e
I(e
J) = δJI.
Teorema 1.9.16. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n < ∞ sobre Γ, (ei) uma base de E∗ e
ϕ = alt ◦ ⊗ : E∗ × · · · × E∗ → k
^ (E).
Ent˜ao ϕ ´e alternada e os tensores da forma eJ = k!ϕ(ej1, . . . , ejk), onde J =
(j1, . . . , jk) ´e um ´ındice m´ultiplo crescente com ji ∈ {1, . . . , n}, formam uma base
deVk (E). Em particular, dim k ^ (E) ! =n k = n! k!(n − k)!.
Demonstra¸c˜ao: Tome f1, . . . , fk ∈ E∗ com fi = fj para algum i 6= j. Conside-
rando a transposi¸c˜ao τ ∈ Sk tal que τ (i) = j, temos, pela f´ormula 1.3, que
τ (f1⊗ · · · ⊗ fk) = f1⊗ · · · ⊗ fk.
Como sig(τ ) = −1, segue pelo Lema 1.9.12, que ϕ(f1, . . . , fk) = alt(f1⊗ · · · ⊗ fk) =
0. Logo ϕ ´e k-linear alternada.
Para demonstrar a segunda parte, recordemos que os produtos ei1 ⊗ · · · ⊗ eik,
ij = 1, . . . , n, formam uma base de Nk(E). Como a imagem de alt : Nk(E) →
Vk
(E) ´e todo o Vk
(E), segue que os tensores k!ϕ(ei1, . . . , eik) geramVk(E). Al´em
disso, como ϕ ´e alternada, se a sequˆencia i1, . . . , ik possui elementos repetidos,
ϕ(ei1, . . . , eik) = alt(ei1 ⊗ · · · ⊗ eik) = 0.
Como ϕ(v1, . . . , vk) no m´aximo muda de sinal quando alteramos a ordem de suas
vari´aveis, conclu´ımos que os tensores da forma eJ = k!ϕ(ej1, . . . , ejk), onde J =
(j1, . . . , jk) ´e um ´ındice m´ultiplo crescente com ji ∈ {1, . . . , n}, s˜ao suficientes para
gerarVk
(E). Resta mostrar que estes s˜ao linearmente independentes. Ora, temos que
eJ = k! alt(ej1 ⊗ · · · ⊗ ejk) = X
σ∈Sk
sig(σ)ejσ(1) ⊗ · · · ⊗ ejσ(k).
Da´ı vemos que, se denotarmos |I| = {i1, . . . , ik},
eJ = X
|I|=|J|
±ei1 ⊗ · · · ⊗ eik,
onde a soma se estende para todas os ´ındices m´ultiplos (i1, . . . , ik) que diferem de
(j1, . . . , jk) apenas pela ordem dos elementos. Para cada um desses ´ındices temos
(i1, . . . , ik) = (jσ(1), . . . , jσ(k)), e o sinal da parcela ei1 ⊗ · · · ⊗ eik fica determinado
por sig(σ). Segue da igualdade acima e do fato de que {ei1⊗ · · · ⊗ eik} ´e linearmente
independente, que os tensores eJ s˜ao linearmente independentes.
Corol´ario 1.9.17. Se dim(E) = n, ent˜ao dim (Vn