Os diagramas de fases foram determinados numericamente através da determinação do mínimo global da densidade de energia livre dada pela Eq. (3.5). Em geral, o diagrama de fases d − t consiste de uma linha de transição contínua bem como de linhas de transição de primeira ordem e de alguns pontos especiais ou multicríticos. O caso puro, que corresponde a p = 1, é bem conhecido e apresenta ambas as linhas, de primeira ordem e de transição contínua separando as fases ferromagnética e paramagnética. Essas linhas se encontram no chamado ponto tricrítico [24]. Como estamos interessados no caso desordenado, não iremos discutir o diagrama de fases para o caso puro. Como em modelos similares, o comportamento tricrítico é afetado pela aleatoriedade. Além disso, a aleatoriedade deve causar o surgimento de um ponto crítico ordenado, o qual marca o final da linha de coexistência entre as fases ordenadas, bem como de um ponto crítico terminal, que marca o final da linha crítica em uma curva de coexistência. Seguindo [37], usaremos a seguinte convenção para os diagramas de fases:
• Linha de transição contínua ou linha crítica: linha contínua; • Linha de transição de primeira ordem: linha pontilhada; • Ponto tricrítico: localizado por um círculo preto;
• Ponto crítico ordenado: localizado por uma estrela preta; • Ponto crítico terminal: localizado por um triângulo preto; • Ponto triplo: localizado por um quadrado preto.
Dependendo dos valores de p, nós encontramos essencialmente três diagramas de fases topologicamente distintos no plano d − t.
Os diagramas de fases pertencentes à Topologia I (ou cenário I) ocorrem para 1/2 ≤ p < pl = 0.926277 . . . . Eles apresentam uma linha de transição contínua entre
as fases paramagnética e ferromagnética, como é mostrado nas Figuras (9) e (10). Para baixas temperaturas existe uma linha de transição de primeira ordem que separa as fases ferromagnéticas diferentes F1 e F2. Essa linha termina em um ponto crítico ordenado.
Os diagramas de fases da Topologia II surgem para pl< p < p⋆. Seu comportamento
geral está ilustrado na Figuras (11) e (12). A fase paramagnética encontra-se separada das fases ordenadas (ferromagnéticas) por linhas de transição de primeira ordem e contínua. Para baixas temperaturas e d & 1−p/2 existe uma linha crítica entre as fases paramagnética e ferromagnética F2. Também para baixas temperaturas e d ∼= 1−p/2 existe uma transição de primeira ordem entre as fases F1−F2. Essas duas linhas se encontram em um ponto crítico terminal com uma segunda linha de transição de primeira ordem entre as fases
3.3. Diagramas de Fases 57
paramagnética P e F1. Essa nova linha termina em um novo ponto crítico terminal comum à linha crítica entre as fases paramagnética e ferromagnética. Finalmente, esse segundo ponto crítico terminal pertence à uma segunda linha de primeira ordem entre a fase ferromagnética F1 e uma nova fase ordenada F3. Este tipo de topologia é também caracterizado por efeitos de reentrância para temperaturas intermediárias e d levemente maior que 1 − p/2.
O terceiro tipo de diagrama de fases define a Topologia III. Eles são obtidos para p⋆ < p < 1. O regime para baixas temperaturas é muito similar ao diagrama de fases
de Topologia II. Entretanto, as fases paramagnética e ferromagnética F1 são separadas por uma linha de coexistência em temperaturas intermediárias e uma linha de transição contínua para temperaturas maiores. Essas duas linhas se encontram em um ponto tricrítico. Nesse caso, para um pequeno intervalo de valores de p teremos fenômenos de reentrância (p⋆ < p < p
r). Um caso típico dos diagramas de fases da Topologia III é mostrado na
Figura (13) . 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 d t
F1
F2
P
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4Figura 9 – Diagrama de fases no plano d − t para p = 0.5, correspondendo à Topologia I. Observa-se uma transição contínua e uma linha de transição de primeira ordem, bem como um ponto crítico ordenado.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 d t
F1
F2
P
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2Figura 10 – Diagrama de fases no plano d − t para p = 0.75, que também corresponde à Topologia I. Observa-se uma transição contínua e uma linha de transição de primeira ordem, bem como um ponto crítico ordenado. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 F3 F2 d t F1 P 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Figura 11 – Diagrama de fases no plano d − t para p = 0.9, correspondendo à Topologia II, com três linhas de transição de primeira ordem (coexistência das fases F1-F2, F1-P e F1-F3). Observa-se ainda duas linhas críticas separando a fase paramagnética da ferromagnética ordenada. É possível notar claramente um efeito de reentrância neste diagrama. Também é exibido um ponto crítico ordenado e dois pontos críticos terminais.
3.3. Diagramas de Fases 59 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 F3 d t F2 P F1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Figura 12 – Diagrama de fases no plano d − t para p = 0.95, correspondendo à Topologia II, exibindo o mesmo comportamento do diagrama para p = 0.9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 d t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 F1 F2 P
Figura 13 – Diagrama de fases no plano d − t para p = 0.98, correspondendo à Topologia III e mostrando duas linhas de transição de primeira ordem (coexistência das fases F1-F2 e F1-P), e duas linhas críticas que separam as fases paramagnética e ferromagnéticas F1 F2. Neste caso, temos um ponto tricrítico e um ponto crítico terminal.
Uma consequência importante da distribuição aleatória de anisotropia usada no presente trabalho é que a fase paramagnética não pode ser obtida à temperatura nula para p estritamente menor que 1. Assim, no nosso caso não existe nenhum diagrama de fases que corresponda à Topologia I descrita por [37], os quais consideraram uma versão do modelo Blume-Capel de alcance infinito, cuja desordem no campo cristalino obedece à uma distribuição gaussiana, veja a Figura (14). Por outro lado, nossos resultados para a Topologia I se aproximam consideravelmente dos diagramas de fases da Topologia II, encontrados por estes autores, Figura (15).
Figura 14 – Diagramas de fases do modelo Blume-Capel cujo campo cristalino aleatório obedece à distribuição de probabilidades gaussiana. A Topologia I é caracterizada por uma linha contínua no plano
d− t. Retirada de [37].
Em particular, nossos resultados não reproduzem a estrutura dos diagramas de fases obtidos por Peña-Lara [39], que usando a mesma distribuição de probabilidades para a desordem no campo cristalino, Eq. (3.3), mas aplicando a aproximação de pares baseada na desigualdade de Bogoliubov para a energia livre, encontrou fases paramagnéticas estáveis à temperatura nula, como podemos ver em suas Figuras 1 e 2, reproduzidas abaixo como nossas Figuras (16) e (17). Também, nossos resultados para baixas temperaturas são diferentes daqueles obtidos por análise de grupo de renormalização no espaço real [99], com desordem no campo cristalino regida pela mesma distribuição que usamos neste trabalho, para sistemas em baixas dimensões. Talvez essas diferenças sejam devidas ao caráter da teoria de campo médio do nosso modelo de alcance infinito. Esses pontos são importantes e devem ser estudados por meio de outras abordagens de campo médio ou de grupos de renormalização.
3.3. Diagramas de Fases 61
Figura 15 – Diagramas de fases do modelo Blume-Capel cujo campo cristalino aleatório obedece à distribuição de probabilidades gaussiana. A Topologia II é caracterizada por uma linha contínua no plano
d− t, uma linha de transição de primeira ordem e um ponto crítico ordenado. Retirada de [37].
Figura 16 – Diagrama de fases no plano d − t do modelo Blume-Capel bidimensional com campo cristalino aleatório e p = 0.97. As linhas sólidas e pontilhadas representam as transições contínuas e de primeira ordem. O círculo preto indica o ponto tricrítico. Retirada de [39].
Figura 17 – Diagrama de fases no plano d − t do modelo Blume-Capel bidimensional com campo cristalino aleatório e p = 0.8. O círculo branco e os asteriscos são o ponto crítico terminal e os pontos multicríticos isolados, respectivamente. O1 e O2 indicam duas fases ordenadas. Retirada de [39].
63
4 O Modelo Blume-Capel com campos cris-
talino e magnético aleatórios
4.1 Introdução
Um dos efeitos das desordens do tipo quenched é fazer com que transições de primeira ordem possam ser suavizadas, dando lugar a transições contínuas, o que é mais acentuado em duas dimensões, ao passo que em dimensões efetivamente maiores reduza o valor da temperatura crítica Tc [62, 63]. Desta maneira, nossa meta neste capítulo é investigar os
efeitos produzidos por desordens desse tipo, considerando o caso geral em que tanto o campo magnético quanto o campo de anisotropia cristalina sejam aleatórios, analisando os possíveis diagramas de fases do modelo Blume-Capel (BC) em uma abordagem inicial de campo médio. Para este fim, vamos considerar um modelo com interações de alcance infinito, no estilo Curie-Weiss, que reproduz a aproximação de campo médio. As desordens do modelo estão associadas a três ingredientes distintos do sistema físico. O primeiro é a temperatura que induz a transição de fase ordem-desordem devido à agitação térmica dos spins da rede. O segundo ingrediente está relacionado à anisotropia aleatória de campo cristalino, que no capítulo anterior deste trabalho foi governada por uma distribuição de probabilidades para desordem do tipo quenched, e na ausência de campo magnético. Adicionalmente, o campo magnético aleatório vem completar esse conjunto de parâmetros que favorecem a migração do sistema para um estado desordenado. Alguns trabalhos importantes tratam dos efeitos da desordem quenched no campo magnético para o modelo de Ising [21, 107, 108, 109, 110] e Blume-Capel [102, 111, 112]. Pouco ou quase nenhum estudo foi ainda realizado para tratar ao mesmo tempo os efeitos conjuntos das aleatoriedades nos campos cristalino e magnético sobre o modelo Blume-Capel. Alguns resultados parciais para esse modelo com spin S = 3/2 podem ser encontrados em [113].
Na primeira seção deste capítulo, revisitamos uma versão do modelo BC com campo magnético aleatório, cuja desordem é regida por uma distribuição de probabilidades bimodal, a versão que iremos chamar de Kaufman-Kanner. Reproduzimos os resultados destes autores e apresentamos nossa contribuição ao modelo em questão, que consiste nos diagramas de fases no plano de anisotropia cristalina versus temperatura, o plano d − t, inéditos até o momento. Um dos nossos objetivos consiste em verificar que nesses diagramas podemos ter comportamento genuinamente reentrante, em função da intensidade do campo magnético. Em seguida consideramos o modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnético, ambos aleatórios, e discutimos quais as consequências da presença de tais campos para o nosso modelo, mostrando ainda algumas das interessantes propriedades de
seus diagramas de fases, de maneira preliminar.