0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 d t P F 0.00 0.15 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figura 28 – Diagrama de fases no plano d − t para h = 0.75 com dois pontos tricríticos. As linhas pontilhadas representam a linha de transição de primeira ordem e a linha contínua, a transição de segunda ordem ou contínua.
4.3 Modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnético alea-
tórios
4.3.1
O modelo
Nesta seção apresentamos os resultados preliminares para o modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnéticos aleatórios, os quais serão refinados em trabalhos futuros. O modelo Blume-Capel generalizado é representado pelo seguinte Hamiltoniano:
H = −2NJ N X <i,j> SiSj+ N X i DiSi2− N X i HiSi, (4.11)
em que novamente J é a energia de interação entre spins (constante de acoplamento ou de troca), a qual conecta todos os spins da rede. Di é a interação aleatória de campo cristalino
(anisotropia aleatória) presente em todos os pontos da rede e Hi é um campo magnético
externo. As variáveis Si representam os spins da rede e podem assumir os valores Si = 0
ou Si = ±1.
Mais uma vez consideraremos o modelo Blume-Capel no qual a interação de acoplamento J é de longo alcance, ou seja, cada sítio Si interage com todos os outros. A
primeira soma é realizada sobre todos os pares de spins da rede e, portanto, as interações com diferentes spins são iguais. Temos ainda que o fator 1/N é para garantir a existência do limite termodinâmico. A segunda e a terceira somas são realizadas sobre todos os N spins da rede.
No presente caso, estamos interessados em verificar os efeitos da aleatoriedade do campo cristalino no diagrama de fases, mas também os efeitos da desordem provocada pelo campo magnético externo aleatório. Desta maneira, é necessário realizarmos uma média sobre ambas as desordens. A anisotropia de íon único é governada por uma distribuição binária de probabilidades, dada por:
P(Di) = qδ(∆i+ D) + (1 − q)δ(∆i− D), (4.12)
onde o primeiro termo indica que há uma parcela de q spins que permanecem sob a ação da anisotropia Di = D. O segundo termo indica que há uma outra parcela de (1 − q)
spins que está sob a ação da anisotropia aleatória com magnitude igual a Di = −D,
as quais dão origem a uma transição de fase, dentro da fase ordenada. Por sua vez, a desordem provocada pelo campo magnético externo aleatório é governada pela distribuição de probabilidades dada por:
P(Hi) = p1δ(Hi+ H) + p2δ(Hi− H), (4.13)
em que devemos ter p1+ p2 = 1.
Em cada ponto da rede os campos magnéticos externos estão distribuídos de maneira que uma quantidade de spins tem probabilidade p1 de estar sob a ação de um
campo magnético na direção +H e outra quantidade de spins tem probabilidade p2 de
estar sob a ação de um campo magnético na direção de −H. Nesta seção consideraremos o caso simétrico, em que p1 = p2 = 1/2, ou seja, a distribuição bimodal:
P(Hi) =
1
2δ(Hi+ H) +
1
2δ(Hi− H). (4.14)
Assim, após a realização dos cálculos das médias sobre as desordens, a energia livre será escrita como: f = m 2 2 − qt 2 ln(1 + 2e− d t cosh(m/t + H/t)) − qt 2 ln(1 + 2e− d t cosh(m/t − H/t)) −(1 − q)2 t ln(1 + 2edt cosh(m/t + H/t)) − (1 − q) 2 t ln(1 + 2e d t cosh(m/t − H/t)). (4.15) E a magnetização é igual a: m= qe−d/tsenh(m/t + H/t) 1 + 2e−d/tcosh(m/t + H/t) + qe−d/tsenh(m/t − H/t) 1 + 2e−d/tcosh(m/t − H/t) +(1 − q)ed/tsenh(m/t + H/t) 1 + 2ed/tcosh(m/t + H/t) + (1 − q)ed/tsenh(m/t − H/t) 1 + 2ed/tcosh(m/t − H/t) . (4.16)
Novamente é necessário realizarmos uma expansão de Landau da energia livre, Eq. (3.13), para determinar os pontos tricríticos. Neste caso, os coeficientes obtidos A2, A4 e A6 são
dados, respectivamente, por: A2 = 1 2! " 1 − qw2t +qw2 t u − (1 − q) 2t v+ (1 − q)v2 t u # , (4.17)
4.3. Modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnético aleatórios 75 A4 = 1 4! " −qwt3 +3qw 2 t3 + 4qw2 t3 u − 12qw3 t3 u+ 6qw4 t3 u 2 − (1 − q)t3 v +3(q − 1)v2 t3 + 4(1 − q)v2 t3 u − 12(1 − q)v3 t3 u+ 6(1 − q)v4 t3 u # , (4.18) A6 = 1 6! " −qwt5 +15qw 2 t5 + 120qw4 t5 u 2 − 30qw 3 t5 − 150qw3 t5 u − 360qw5 t5 u 2 +270qw4 t5 u+ 16qw2 t5 u+ 120qw6 t5 u 3−(1 − q)v t5 + 15(1 − q)v2 t5 +120(1 − q)v4 t5 u 2 − 30(1 − q)v 3 t5 − 150(1 − q)v3 t5 u − 360(1 − q)v5 t5 u 2 +270(1 − q)v4 t5 u+ 16(1 − q)v2 t5 u+ 120(1 − q)v6 t5 u 3 # , (4.19) onde realizamos as seguintes parametrizações:
u= tanh2(JH), (4.20)
v = eJD2 cosh(JH)[1 + eJD2 cosh(JH)]−1 (4.21)
w= e−JD2 cosh(JH)[1 + e−JD2 cosh(JH)]−1, (4.22) e usamos J = 1/T .
Desta forma, para encontrarmos a linha crítica, devemos impor as condições: A2 = 0
e A4 >0, obtendo a seguinte expressão:
2q e−d/tcosh(h/t) (1 + 2e−d/tcosh(h/t)) − 4q(e−d/t)2senh2(h/t) (1 + 2e−d/tcosh(h/t))2 +2(1 − q)ed/tcosh(h/t) (1 + 2ed/tcosh(h/t)) − 4(1 − q)(ed/t)2senh2(h/t) (1 + 2ed/tcosh(h/t))2 = t (4.23)
Os pontos tricríticos, por sua vez, são encontrados ao impormos que A2 = 0, A4 = 0, enquanto A6 >0.
Na seção seguinte apresentamos os diagramas de fases no plano d − t para alguns valores do parâmetro que mede o grau de desordem, q. A escolha deste tipo de corte, em vez dos diagramas h − t, se deve pelo fato dos diagramas d − t virem a ser os mais interessantes, exibindo o comportamento multicrítico similar ao caso h − t, contudo, com a possibilidade de apresentar efeitos de reentrância. Além das linhas críticas e alguns pontos multicríticos especiais que podem ser obtidos por meio de equações analíticas, as linhas de transições de fases de primeira ordem são, como usual, obtidas por meio da minimização numérica da densidade de energia livre.
4.3.2
Diagramas de Fases
Apresentamos abaixo os diagramas de fases para três valores do parâmetro de desordem: q= 0.25, q = 0.5 e q = 0.75. Deve-se notar que no caso puro, onde q = 1, recuperamos o modelo KK usual, o que pode ser provado pela obtenção dos mesmos diagramas de fases da seção (4.1). Diferentes cenários ou topologias são também observados aqui, conforme a discussão a seguir. Na Fig. (29), o diagrama de Topologia I mostra que para d pequeno, o modelo apresenta comportamento tricrítico, transição contínua (linha contínua) separada da transição de primeira ordem (linha pontilhada) por um ponto tricrítico. Neste caso, a transição de fase é contínua para altas temperaturas e pequenos campos magnéticos, e por outro lado, quando o campo magnético cresce induz uma transição de fase de primeira ordem, na região de baixa temperatura. O crescimento do campo magnético faz com que a temperatura crítica diminua e vai a zero em hc = 0.5. Como o campo magnético
aleatório tende a favorecer a desordem do sistema, fazendo a transição de fase ocorrer em temperaturas críticas menores, este resultado já era esperado. A Fig. (30), por outro lado, mostra que para valores maiores de d surge uma linha de transição de primeira ordem dentro da fase ordenada, para baixas temperaturas, que termina em um ponto crítico ordenado, em aproximadamente t = 0.22. Esta é a Topologia II. Este resultado também era esperado, pois sabe-se que o campo magnético aleatório faz a temperatura crítica diminuir. Na figura seguinte, (31), agora para q = 0.5, temos um diagrama de fases mais rico, pois apresenta, além de um ponto tricrítico, um fenômeno de reentrância acentuado. Como mencionado anteriormente, há poucos registros deste modelo na literatura e, portanto, é necessário verificar melhor a presença da reentrância para valores intermediários do parâmetro de desordem no campo cristalino, usando outros métodos de aproximação para provar que este fenômeno não é apenas uma consequência de nossa aproximação de campo médio. Para a Topologia III e valores elevados de d, como mostra a Fig. (32) três pontos tricríticos emergem em baixas temperaturas, o que indica que quanto maior a anisotropia no campo cristalino, mais criticalidade o sistema exibe a baixas temperaturas, quando o campo magnético aumenta. Este comportamento explicita o fato que o campo magnético aleatório favorece a desordem, assim em baixa temperatura tem início a transição de fase. Em campos magnéticos pequenos a transição ocorre em altas temperaturas. Finalmente, as Figs. (33) e (34) mostram os diagramas de fases quando q = 0.75 para dois valores distintos de d. Quando d é pequeno, temos a Topologia IV e o modelo apresenta somente transição de fase de segunda ordem e uma linha de primeira ordem na fase ordenada, que termina em um ponto crítico ordenado. Isso indica que o comportamento tricrítico é suprimido. Este fato pode ser explicado considerando que quando q cresce o número de spins livres da ação do campo cristalino cresce, e assim o sistema tende a se ordenar com mais facilidade, suprimindo a transição de primeira ordem. Por outro lado, quando d aumenta, voltamos à Topologia I e o sistema exibe comportamento tricrítico para valores menores de temperatura e campo magnético, novamente indicando que a anisotropia
4.3. Modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnético aleatórios 77
do campo cristalino favorece a desordem. Nossos resultados correspondem a alguns dos resultados encontrados por [113] para o modelo BC de spin S = 3/2, mas algumas divergências são também observadas. Como se tratam de resultados preliminares, um estudo mais aprofundado será realizado no futuro.
0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h t F P 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura 29 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.25 e d = 0.25 com um ponto tricrítico. A linha pontilhada representa a linha de transição de primeira ordem e a linha contínua, a transição de segunda ordem ou contínua. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 h t P F 1 F 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Figura 30 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.25 e d = 0.75 com um ponto tricrítico e um ponto crítico ordenado. A linha pontilhada representa a linha de transição de primeira ordem e a linha contínua, a transição de segunda ordem ou contínua.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 h t F P 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4
Figura 31 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.5 e d = 0.25 com um ponto tricrítico. As linhas pontilhadas representam as linhas de transição de primeira ordem e a linha contínua, a transição de segunda ordem ou contínua.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h t P F 1 F 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura 32 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.5 e d = 0.75 com três pontos tricríticos. As linhas pontilhadas representam as linhas de transição de primeira ordem e as linhas contínuas, a transição de segunda ordem ou contínua.
4.3. Modelo Blume-Capel com campos cristalino e magnético aleatórios 79 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 h t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 P F 2 F 1
Figura 33 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.75 e d = 0.25 exibindo uma linha de transição contínua e um ponto crítico ordenado.
0.00 0.25 0.50 0.0 0.2 0.4 h t F P 0.00 0.25 0.50 0.0 0.2 0.4
Figura 34 – Diagrama de fases no plano h − t para q = 0.75 e d = 0.75 com um ponto tricrítico. A linha pontilhada representa a linha de transição de primeira ordem e a linha contínua, a transição de segunda ordem ou contínua.
81
5 Conclusões e perspectivas
Neste trabalho estudamos inicialmente o modelo Blume-Capel de alcance infinito sob a ação de um campo cristalino aleatório quenched. A densidade de energia livre exata foi determinada por meio do método das réplicas e uma variedade de ricos diagramas de fases, exibindo linhas críticas e de coexistência, assim como pontos críticos ordenados, pontos tricríticos e pontos críticos terminais foram obtidos. Esses diagramas de fases podem ser classificados de acordo com três classes, designadas como topologias I, II e III, com valores crescentes do parâmetro p, que é uma medida da aleatoriedade (ou diluição) do campo cristalino. A Topologia I é caracterizada por uma linha crítica contínua que separa a fase paramagnética a altas temperaturas da fase ferromagnética ordenada. Para baixas temperaturas encontramos duas fases ferromagnéticas F1 e F2, que estão separadas por uma linha de transição de primeira ordem que termina em um ponto crítico ordenado. Para a Topologia II, a fase paramagnética é separada das fases ferromagnéticas ordenadas tanto por linhas críticas quanto por linhas de coexistência. Para baixas temperaturas a linha crítica P−F2 encontra duas linhas de coexistência (F1−F2 e P−F1) em um ponto crítico terminal. Por outro lado, para temperaturas intermediárias, a linha crítica entre as fases paramagnética e ferromagnética termina em um segundo ponto crítico terminal. Este ponto crítico terminal é também o término das linhas de coexistência P−F1 bem como da linha de coexistência F1−F3 que, por sua vez, termina em um ponto crítico ordenado. A terceira classe de diagramas de fases pertence à Topologia III. Ele é marcado pelo desaparecimento da fase ferromagnética F3 encontrada no caso anterior, de maneira que o ponto crítico F1−F3 se mistura com o ponto crítico terminal P−F1−F3, fazendo surgir um ponto tricrítico que é o ponto de encontro da fronteira crítica P−F1 com a linha de coexistência P−F1. No caso da Topologia II sempre temos a possibilidade de transições de fases reentrantes, enquanto que para a Topologia III os fenômenos de reentrância só podem ocorrer para um pequeno intervalo em termos de p. Resta-nos verificar se esses efeitos estão presentes nos modelos de curto alcance, mais realísticos.
Em seguida analisamos uma versão do modelo Blume-Capel, à qual nos referimos aqui como versão Kaufman-Kanner (modelo KK), por meio da teoria de campo médio. Aqui, a desordem é sobre o campo magnético e mais uma vez a densidade de energia livre foi determinada por meio do método das réplicas. Como resultado de nossa análise, obtivemos os mesmos diagramas no plano h − t que foram obtidos pelos autores em seu trabalho clássico, tendo sido observadas as mesmas topologias. Como nossa contribuição ao modelo KK, mostramos também neste trabalho os diagramas no plano d − t, os quais ainda não haviam sido exibidos em trabalhos anteriores. Tais diagramas resultaram em uma variedade de topologias interessantes, exibindo linhas críticas e de coexistência,
pontos críticos ordenados, pontos tricríticos e pontos triplos. Neste caso, a Topologia I é caracterizada por uma linha crítica contínua que separa a fase paramagnética a altas temperaturas da fase ferromagnética ordenada, e que encontra uma linha de transição de primeira ordem em um ponto tricrítico. A Topologia II, por sua vez, mostra um diagrama de fases no qual a fase paramagnética é separada das fases ferromagnéticas ordenadas tanto por linhas críticas quanto de coexistência e existe ainda uma linha de primeira ordem na fase ordenada que separa as fases ferromagnéticas F1−F2. Os diagramas de fases da Topologia III são um pouco mais ricos e além das linhas de coexistência e crítica, exibe também dois pontos tricríticos e um ponto triplo, correspondendo ao resultado de Kaufman-Kanner para o diagrama no plano h − t. Finalmente, os diagramas da Topologia IV são encontrados para valores de d > 0.5 e exibem linhas críticas e de coexistência, além de dois pontos tricríticos.
Finalmente, apresentamos também nossos resultados preliminares para o estudo do modelo Blume-Capel com aleatoriedades nos campos cristalino e magnético. Alguns resultados interessantes foram obtidos para o diagrama de fases, os quais exibem topologias distintas de acordo com o valor do parâmetro q, que mede a desordem do campo cristalino. As mesmas topologias I e II do caso anterior são observadas aqui, mas a Topologia III neste caso consiste de uma linha crítica e de uma linha de transição de primeira ordem na fase ordenada, que separa as fases F1−F2 e termina em um ponto crítico ordenado. A Topologia IV, por sua vez, é constituída por diagramas de fases bastante interessantes, nos quais podemos observar duas linhas críticas e três linhas de coexistência de fases, que se encontram em três pontos tricríticos. Tais diagramas não foram ainda relatados na literatura e, como estes se tratam de resultados preliminares, uma nova análise desta topologia deve ser realizada.
Como expectativa para trabalhos futuros propomos:
• Analisar mais detalhamente as divergências entre os nossos reultados para o modelo
BC com campo cristalino aleatório e demais resultados encontrados na literatura,
visando analisar se este fato se deve simplesmente ao caráter da teoria de campo médio empregada neste trabalho.
• Verificar de maneira aprofundada se os efeitos do campo cristalino aleatório no modelo BC, no que diz respeito à criticalidade e fenômenos de reentrância, se confirmam para os modelos mais realísticos, ou seja, os modelos de curto alcance. • Confrontar nossos resultados para os diagramas de fases da versão Kaufman-Kanner
do modelo Blume-Capel, nos planos d − t e h − t, com aqueles obtidos utilizando-se outra distribuição de probabilidades, que não a bimodal, para a desordem no campo magnético, H.
83
• Refinar nossos resultados para o estudo dos diagramas de fases do modelo BC sob desordem nos campos cristalino e magnético, empregando para isso, se necessário, outro métodos, tais como teoria de campo efetivo e simulação de Monte Carlo. • Estender nossa análise para um sistema um pouco mais complexo, mas também de
85
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