nos modelos puros, temos a diluição aleatória de sítio, a ligação aleatória e ainda o campo aleatório. Neste trabalho estudaremos apenas sistemas desordenados tipo quenched, onde a desordem ocorre em campos aleatórios, excluindo o caso mais complexo dos chamados vidros de spins.
2.8 Diluição, interação e campo aleatórios
Um dos exemplos mais simples de sistemas desordenados é o problema da diluição aleatória [11], isto é o que ocorre, por exemplo, com o composto Rb2CopM g1−pF4 [52, 53] em d = 2.
No caso deste composto, os átomos de Mg substituem os átomos magnéticos de Co em sítios aleatórios na rede. O modelo de Ising com diluição aleatória é descrito pelo Hamiltoniano: H(S, ǫ) = −J X <ij> ǫiSiǫjSj − h X i ǫiSi. (2.47)
No qual a primeira soma é sobre todos os pares de primeiros vizinhos < i, j > de uma rede d-dimensional e a segunda sobre todos os sítios i, Si denotam os spins de Ising e ǫi são
números de ocupação, que em uma dada configuração de desordem ǫ descreve a ocupação de um sítio i por um spin ǫi = 1 com probabilidade p, ou a não ocupação ǫi = 0, com
probabilidade 1 − p. As variáveis ǫi são aleatórias quenched.
Um outro caso de grande interesse considera a desordem nas interações de troca. Dessa forma, o Hamiltoniano do modelo de Ising com ligação aleatória é dado por
H(S, Jij) = − X <i,j> JijSiSj − h X i Si, (2.48)
em que as variáveis aleatórias Jij obedecem a uma distribuição de probabilidades binária,
como, por exemplo
P(Ji,j) = pδ(Jij − J1) + (1 − p)δ(Jij − J2). (2.49)
No caso especial em que J2 = 0, teremos a diluição aleatória de ligações. No caso em
que J1 e J2 são ambos positivos, o sistema é ferromagnético e o estado fundamental é
então duplamente degenerado. Desta forma, todos os spins apontam para cima ou para baixo, visto que tal configuração minimiza simultaneamente todas as interações de troca do Hamiltoniano. Por outro lado, no caso em que a distribuição dos Jij inclui interações
positivas e negativas, existe uma competição entre as interações, devido à impossibilidade de satisfazer (minimizar) simultaneamente todas as interações de troca do Hamiltoniano. Este fenômeno recebe o nome de frustração. Para concentração suficiente de componentes frustrados, se existir uma competição forte, a existência e a natureza de uma fase ordenada torna-se muito complexa, caracterizando uma fase de vidro de spin.
Se a concentração de sítios ocupados for muito pequena, no problema de diluição aleatória, então esses sítios formam pequenos aglomerados (clusters) isolados. Mas se esta concentração cresce, o tamanho dos clusters também aumenta. Quando o sistema atinge uma concentração crítica pc, existirá um cluster infinito permitindo que alguma
informação seja transmitida por toda a rede. Geometricamente, esse problema é denominado de percolação e corresponde a uma transição de fase de segunda ordem com todos os expoentes críticos usuais característicos. Para p < pc, não é possível haver ordem magnética
de longo alcance e espera-se que Tc seja decrescente à medida que p decresce a partir do
valor p = 1, indo a zero quando p → pc. No estado fundamental T = 0, todos os spins em
um cluster estão paralelamente colocados e as propriedades magnéticas, em pc, podem ser
descritas pela estatística de clusters da percolação. Não nos aprofundaremos neste assunto, pois isto foge aos objetivos desta tese.
Uma questão fundamental no estudo dos sistemas desordenados é saber se a introdução da desordem muda a classe de universalidade do sistema puro. Harris [54] introduziu um argumento heurístico para fornecer uma resposta para esta questão: Suponha que o nosso sistema a ser verificado possa ser dividido em blocos independentes de tamanho linear ξ e volume ξd, onde ξ é o comprimento de correlação e d é a dimensão espacial. Assim,
o número de interações (ligações) em cada um dos blocos é proporcional a este volume, e as flutuações estatísticas δTc em Tc destas interações são inversamente proporcionais à
raiz quadrada deste número, isto é, δTc ∼ ξ−d/2. Levando em conta que o comprimento
de correlação diverge como ξ ∼ (T − Tc)−ν, podemos escrever ∆T = T − Tc ∼ ξ−1/ν.
Desta forma, a desordem será irrelevante se as flutuações locais em Tc diminuem mais
rapidamente do que ∆T , quando ξ → ∞, ou seja, δTc
∆T = ξ(1/ν−d/2) → 0; ξ → ∞, (2.50) o que implica que 2 − νd < 0. Podemos usar a relação de hiperescala α = 2 − νd [29, 55] para escrever o critério de Harris em termos do expoente do calor específico α, como a condição para que a desordem fraca seja irrelevante
α <0. (2.51)
Assim, podemos afirmar que o sistema desordenado pertence à mesma classe de universali- dade que o sistema puro. Mas, se ao contrário, α > 0, então significa que a desordem é relevante e espera-se que os expoentes críticos do sistema desordenado sejam diferentes daqueles do sistema puro.
Dois exemplos da satisfatória aplicabilidade do critério de Harris são o modelo de Heisenberg 3d puro [56, 57] e o modelo de Ising 3d puro [14]. No primeiro caso, α < 0 e a introdução de desordem fraca não leva a qualquer alteração no seu comportamento crítico, de modo que os seus expoentes serão os mesmos do caso puro. Já no segundo caso, α > 0,
2.8. Diluição, interação e campo aleatórios 45
cálculos do grupo de renormalização e simulações [58] confirmam as previsões de Harris. No caso limite quando α = 0, o critério de Harris não se aplica, como por exemplo, no modelo de Ising bidimensional, em que α se anula devido à divergência logarítmica do calor específico. Assim, a desordem pode representar uma perturbação relevante (instável) ou irrelevante (estável) com relação ao sistema puro, o que dá lugar a dois possíveis cenários de interpretação que são mutuamente excludentes: o cenário das correções logarítmicas [59, 60] e o cenário da universalidade fraca [61]. Não entraremos em detalhes sobre a discussão destes dois cenários, pois isso fugiria ao escopo deste trabalho, no entanto, é importante mencionar que ambos são conflitantes e tem gerado bastante controvérsias.
No que diz respeito aos sistemas puros que exibem transições de fase de primeira ordem, existe um argumento heurístico devido a Imry e Wortis [49] o qual estabelece que a desordem suaviza a transição, e sob certas circunstâncias, pode induzir o sistema a uma transição de fase de segunda ordem em d = 2. Este argumento foi melhor estabelecido em termos mais rigorosos por considerações de grupo de renormalização fenomenológico devido a Hui e Berker [62] e pelo teorema de Aizenman e Wehr [63], que confirmaram que a dimensão crítica inferior é dl= 2, para a qual uma quantidade infinitesimal de desordem
elimina as descontinuidades nas funções termodinâmicas, dando lugar a transições de fase contínuas.
Um dos exemplos mais simples com a inclusão de um campo aleatório é o modelo de Ising [64], o qual é definido pelo Hamiltoniano
H(S, hi) = −J X <i,j> SiSj− X i hiSi. (2.52)
Neste caso, os campos magnéticos hi são variáveis aleatórias cujos valores em sítios
diferentes são não-correlacionadas, e são escolhidas de acordo com uma função distribuição P(hi) simétrica em torno de hi = 0, tal que [hi]m = 0, onde [. . .]m representa a média sobre
a desordem. Tendo sido introduzido em 1975 [65], este modelo pertence à mesma classe de universalidade do antiferromagneto diluído em campo uniforme [66], o qual constitui a sua realização experimental.
Como existe competição entre as interações de troca que tendem a alinhar os spins ferromagneticamente e os campos aleatórios, que tendem a apontar os spins na mesma direção do campo local, o problema de campo aleatório apresenta frustração. Alguns resultados experimentais interessantes envolvendo campos aleatórios e frustração podem ser encontrados nas referências [67, 68, 69], dentre outras.
Imry e Ma [65] introduziram um argumento heurístico que sugere que a dimensão crítica inferior de sistemas tipo Ising com campo aleatório é dl = 2. No caso de campos
aleatórios suficientemente fortes, |hi| >> J, e o spin em cada sítio irá apontar na direção do
campo neste sítio, de modo que não haverá nenhum alinhamento ferromagnético, qualquer que seja a dimensão d (paramagneto). Por outro lado, para campos aleatórios pequenos
comparados com J, espera-se que exista uma fase ordenada de baixa temperatura acima da dimensão crítica dl = 2.