DIFERENTES RAZÕES PARA A NP-COMPLETUDE 29 STP sem qualquer restrição de um dos três tipos é um problema polinomialmente solúvel.

Semelhantemente, se acrescentamos à STP sem restrições na disponibilidade de tempo (um problema polinomial) as restrições de conflito associadas às subturmas ou união de turmas temos um problema NP-completo.

Em [Wil02], Robertus Willemen trás a construção de um problema de automação de horários escolares mais amplo (TC, Timetable Construction), no sentido em que, além de determinar os horários dos encontros e as salas para estes, parte do problema é determinar que grupos de

alunos farão parte de uma das turmas definidas por uma disciplina (que optaram ou devem

cursar, no seu nível). Como cada grupo pode ter um aluno, este problema pode corresponder a determinar que alunos assistirão a que turma da disciplina. Os grupos de alunos são uma en- trada do problema, cada grupo tem o mesmo nível e currículo. Além disso, uma disciplina de uma turma pode ser ensinada por diferentes professores. Por exemplo, as aulas teóricas dadas por um certo professor e as práticas por outro. Isto é, cada aula da disciplina da turma é associa- da a um professor. Em nosso problema todas as aulas da disciplina da turma são associadas ao mesmo professor. Junto às restrições de conflito para as turmas (su), tomam lugar as restrições

de conflito para os grupos de alunos (st): não assistirem a mais de uma aula por horário,

mesmo que como parte de diferentes turmas. Requer-se também (ss) que a soma do número de alunos dos grupos alocados para uma turma de uma disciplina não exceda um número limite associado à disciplina. As demais restrições são as restrição de conflito para professores (te), restrições à disponibilidade de tempo dos professores (ta), aulas em bloco devendo ser alocadas em horários consecutivos (bt), não alocar mais que um dado número máximo de aulas de uma disciplina numa turma por dia (ed, “restrições educacionais”), restrições de conflito para as salas (ro), compatibilidade da sala alocada com o tipo requerido (rc) e alocação de aulas em bloco (geminadas) numa mesma sala (rb). Os blocos de aulas são dados, tem tamanho dois, e uma relação diz se dois horários são consecutivos, excluindo os separados por intervalo.

Observe que no problema TC são consideradas as disponibilidades de tempo apenas para os professores. Todas as restrições exceto as restrições diretamente associadas aos grupos de alunos (st e ss) são também restrições de nosso problema. Ao nosso problema não foi dada a tarefa de alocar os grupos de alunos para as turmas. E todas as aulas da disciplina da turma são associadas ao mesmo professor.

Vários subproblemas deste descrito a pouco são usados por Willemen para dar diferentes provas da NP-completude do problema TC. Estes subproblemas diferem do original por limi- tações (determinação) de alguns dados de entrada, por desconsiderar restrições ou ter um ou mais tipos de alocações determinadas (de horários, grupos de alunos ou salas).

Algumas restrições podem ser ignoradas por escolher parâmetros que fazem com que qual- quer solução as satisfaçam (pode ser feito, por exemplo, para ss, ed, ta, bt, rb e rc). Restrições de conflito para algum tipo de elemento não consideradas num subproblema podem ser mode- ladas introduzindo um diferente elemento deste tipo para cada encontro. Por exemplo, se não há restrições de conflito para professores pode-se usar um diferente professor para cada encontro. E se fazemos a disponibilidade de tempo de cada professor igual a um horário apenas, temos uma alocação de horários já determinada a priori. Usando idéias semelhantes a estas Willemen prova que cada subproblema é um caso especial de TC, pode ser reduzido polinomialmente ao problema TC.

Então, mostrando que estes subproblemas são também NP-completos, ele dá diferentes razões, focando diferentes restrições, para que TC seja NP-completo. Também mostra que retirando deste subproblema o tipo de restrição em foco temos um problema polinomialmente solúvel. Podemos dizer que esse tipo de restrição é um fator para a complexidade de TC.

Os subproblemas considerados focam cada uma das restrições de TC exceto as restrições de conflito para professores (te), turmas (su) e salas (ro).

Todos os subproblemas consideram a necessidade de atender as demandas, de fazer a alo- cação de todos os encontros.

São eles (todos NP-completos):

1. Determinar a alocação dos horários levando em conta as restrições de conflito para tur- mas, para os professores, e a disponibilidade de tempo para os professores. Sendo que sem as restrições na disponibilidade de tempo dos professores (ta) o problema é polino- mialmente solúvel.

2. Determinar a alocação dos horários havendo já a alocação dos grupos de alunos para as turmas, respeitando as restrições de conflito para as turmas e para os grupos de alunos (st). Se são permitidos conflitos para os grupos de alunos ou se a alocação dos grupos de alunos para as turmas é equivalente a distribuir os alunos até classes disjuntas temos um problema polinomialmente solúvel.

3. (Subproblema com ed) Determinar a alocação dos horários com apenas um grupo de alunos (conseqüentemente uma turma), respeitando a disponibilidade de tempo dos pro- fessores, as restrições de conflito para o grupo de alunos (e para a turma, já que corres- pondem) e o número máximo de alocações dos encontros de cada disciplina por dia (ed) igual a 1 para todas as disciplinas.

4. Determinar a sala compatível para cada encontro (rc) sendo já dada a alocação dos horários, respeitando as restrições de conflito para as salas, havendo aulas em bloco e requerendo-se portanto a alocação dos encontros destas numa mesma sala (rb). Sem as restrições rb o problema é polinomial. Também é polinomial sem as restrições rc, mesmo com as restrições rb.

5. Determinar a alocação dos horários, dada a alocação dos grupos de alunos para as turmas, respeitando as restrições de conflito para os grupos de alunos e para os professores, as restrições na disponibilidade de tempo dos professores, e aulas em bloco alocadas em horários consecutivos (bt). O problema é NP-completo mesmo se há somente um grupo de alunos.

6. Determinar a alocação dos grupos de alunos para as turmas das disciplinas respeitando as restrições sobre o tamanho das turmas (ss). Sem estas restrições o problema é trivial. 7. Determinar a alocação dos grupos de alunos para as turmas das disciplinas, dada uma

alocação dos horários, respeitando as restrições sobre o tamanho das turmas (ss) e as restrições de conflito para os grupos de alunos. Sem as restrições ss o problema é poli- nomial.

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