META-HEURÍSTICAS E AUTOMAÇÃO DE HORÁRIOS ESCOLARES 69 Na segunda é computado o número de vezes que uma dada lição ocorre num dado horário.

Sempre que o método tem um certo número de iterações sem melhora o processo de diversi- ficação é ativado, também por um um número de iterações já definido. Este processo consiste em influenciar a escolha por movimentos envolvendo encontros de professores e turmas para os quais foi computada pouca “transição”, ou envolvendo alocações não usuais para encontros (baseada em residência), ou ainda os dois tipos, através de penalidades acrescidas ao valor da função objetivo. Sempre que a melhor solução guardada é atualizada, as memórias de longo termo são esvaziadas.

Uma razão de transição ou de residência é definida pela razão entre o valor atual guardado na memória e o valor médio desta posição da memória. As penalidades são dadas pelo produto do valor atual da função objetivo pela razão de transição (ou de residência) no caso de apenas um elemento do movimento representar uma aula, ou pela média das razões associadas às duas aulas.

Os experimentos foram feitos para BT e suas adaptações usando estratégia de diversificação com memória de longo termo baseada em transição (BTT), baseada em residência (BTR), e baseada nas duas (BTTR), todos com período tabu central. Também tiveram seu desempenho comparado com GBT-II. É interessante observar que BT com período tabu central obteve va- lores próximos a GBT-II, e em sua maioria melhores. Os algoritmos usando estratégia de di- versificação foram significativamente melhores que GBT-II e BT, também rodando com tempo limite fixado. O algoritmo que apresentou melhores resultados foi BTTR. Assim temos uma formulação mais simples, mais robusta e mais rápida que GBT-II.

Vânia N. de Sousa em sua dissertação [dS06] apresentou um modelo que uni Busca Local Aleatória e Busca Tabu (BLA-BT), também usando movimentos de troca de dois símbolos numa linha da comum estrutura de matriz.

O problema tem as mesmas restrições para viabilidade apresentadas no trabalho de Marcone Souza. E além das mesmas características desejáveis, haviam também o espalhamento das aulas de uma disciplina numa turma pelos dias da semana (dias alternados), evitar aulas não geminadas de uma mesma disciplina numa turma num dia, evitar que o número de aulas de Educação Física ocorrendo num horário supere o número de Quadras.

Após encontrar uma solução inicial por método construtivo parcialmente guloso, segue- se aplicação do procedimento de Busca Local Aleatória. Ele consiste, em cada iteração, da aplicação do melhor movimento de melhora escolhido numa vizinhança aleatória da solução atual. E, no caso deste movimento envolver sobreposição de professores numa turma é apli- cado em seguida outro chamado movimento reparador-1, ou não havendo este o movimento

reparador-2. Os movimentos reparadores tem este nome apenas porque são aplicados ao pro-

fessor do primeiro movimento envolvido na sobreposição ou num dos outros envolvidos (não participantes do primeiro movimento), respectivamente, com o objetivo de diminuir o número de conflitos. São também um movimento simples de troca de dois símbolos numa linha.

Uma vez que o critério de parada é encontrado, o método BT segue da melhor solução de BLA, sem movimentos reparadores e com critério de aspiração. E o processo BLA seguido BT pode se repetir por um dado número de ciclos sempre da melhor solução encontrada. Uma característica interessante da definição de BT aqui é número de iterações de permanência de um movimento como tabu. Dadas as quantidades limite Tmaxe Tminde permanência, é determinado

um conjunto S = {s1, s1−α, s1− 2α, ..., s1− nα}, com s1≤ T max, s1− nα ≥ T min e α ∈ Z+. Se numa iteração foi escolhida si= s1− (i − 1)α, como a quantidade de iterações que o movimento permanece tabu, na iteração seguinte o movimento que entra na lista recebe si+1(ou s₁, no caso de si= s1− nα). Isto permite intensificar as buscas em certa região ou diversificar

para escapar de ótimos locais, dependendo da dinâmica dos movimentos tabu.

O resultados mostraram que a fase BLA proporcionou uma grande melhora na qualidade da solução inicial, acelerou o tempo para encontrar uma solução inicial, promoveu diversifi- cação dados os ciclos, e uma melhora na qualidade da solução final. O procedimento BLA-BT encontrou sempre uma solução viável, o que não ocorreu em BT puro.

Em 1996 Andrea Schaerf já havia apresentado um modelo que uni BT e RNA, mais adap- tações (veja em [Sch99a]). Neste problema o número máximo de encontros diários de um professor numa turma é uma das restrições relaxadas, e no grupo de restrições para viabilidade toma seu lugar a restrição de que algumas aulas devem ocorrer simultaneamente. Outros re- querimentos relativos a características desejáveis além dos que citamos para o trabalho anterior foram o atendimento ao número mínimo e máximo de encontros diários de um professor, evitar períodos indesejáveis para os professores e evitar mover um professor de um lugar para outro entre consecutivos períodos.

Foi usada a estrutura de matriz para representar as soluções, incluindo símbolos que re- presentam horários onde o professor fica disponível no colégio (por exemplo, para substitui- ções). O movimento usado foi a troca de dois símbolos numa linha (de um professor), chamado aqui de movimento atômico. E o movimento duplo definido por um par deles quando o primeiro movimento causa alguma inviabilidade para corrigir esta (ou parte desta), e definido por um movimento caso contrário.

O método consiste de uma fase RNA (método descrito em 5.0.1) usando movimentos du- plos, seguida de uma fase BT usando apenas movimentos atômicos, que se repetem num dado número de ciclos a partir da melhor solução encontrada anteriormente. Uma solução inicial é encontrada de forma construtiva.

Foi usada em BT uma relaxação adaptativa dos pesos relativos aos requerimentos para via- bilidade (W = 20, bem maiores quando comparados aos demais pesos da função objetivo). São as penalidades quanto a: turmas tendo dois ou mais professores num horário ou horário vago quando devia ter aula, aulas que deveriam ser simultâneas mas não são, e professores ou turmas tendo aulas em horários não disponíveis para estas. A cada iteração os pesos são o produto de

W porαi, i = 1, 2, 3, respectivamente para as restrições. Inicialmente temosαi= 1, i = 1, 2, 3. Caso ocorram n (foi usado 10) iterações seguidas com soluções apenas viáveis temosαi← α_γi, caso apenas soluções inviáveis temosαi←αi·γ, e se de ambos os tipos nada muda. O valorγ é escolhido randomicamente em [1,8;2,2] na ocasião. E se o valor deαiatinge valores menores queαi,minou maiores queαi,maxsão substituídos pelo valor limite. Foram usadosαi,min= 0, 01,

para i = 1,2,3,α1,max= 1, α2,max= 10 e α3,max= 3. Para garantir que em uma situação de

estabilidade não coexistam diferentes origens de inviabilidade.

O gerenciamento da lista tabu é feito por dois mecanismos. O número de iterações em que um movimento permanece tabu é um inteiro sorteado no intervalo limitado pelos valores

Imine Imax. E um mecanismo de memória curta usa Ist < Imin para evitar que outro movimento seja feito com um professor e um dos horários usados para ele nos últimos Ist movimentos

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