DIFERENTES RAZÕES PARA A NP-COMPLETUDE 31 Nos subproblemas onde já foi dada uma alocação dos grupos de alunos para as turmas,

respeitar as restrições de conflito para os grupos de alunos e turmas corresponde a respeitar as restrições de conflito para subturmas, união de turmas e classes na nossa definição do Problema Automação de Horários Escolares. E se a prova da NP-completude destes não exige a possibili- dade de haver diferentes professores para as aulas de uma disciplina em uma turma podemos usá-las em relacionados subproblemas do Problema Automação de Horários Escolares.

O primeiro subproblema não trás qualquer novidade.

O segundo se compara ao Problema do Horário Escolar com Subturmas e União de Turmas, pois já foi dada a alocação dos grupos de alunos para as turmas. Só que neste subproblema não há restrições de conflito para professores. Daí, sabemos que o Problema do Horário Escolar com Subturmas e União de Turmas sem restrições de conflito para professores é ainda NP- completo.

A prova da NP-completude do segundo problema é de Cooper e Kingston (1996). Me- diante uma redução do Problema de K-Colorabilidade de um Grafo, problema NP-completo, até o caso especial onde há grupos de alunos com apenas duas disciplinas em seu currículo, cada disciplina tem apenas uma aula e determina apenas uma turma. Cada vértice do grafo é associado a única aula de uma disciplina. Cada aresta é associada a um grupo de alunos, cujas disciplinas correspondentes aos vértices desta formam seu currículo. O número de cores usado para coloração dos vértices deve ser menor ou igual a K, o número de horários.

A NP-completude do terceiro subproblema é dada por Willemen usando uma redução poli- nomial do seguinte problema ao Subproblema com ed.

Definição 3.6 (Multiple choice matching with partitioned vertex sets (MCMPVS)). Uma ins- tância de MCMPVS é dada por um grafo bipartido G(L,T,E), uma partição do conjunto de vértices L em L1, . . ., Lq conjuntos, uma partição do conjunto de vértices T em T1, . . . , Tncon- juntos, e uma partição do conjunto de arestas E em q · n conjuntos Ei j = (Li× Tj) ∩ E. O objetivo é encontrar um emparelhamento M ⊂ E tal que

• ∀l ∈ L, ∃t ∈ T tal que (l,t) ∈ M e

• ∀i = 1,...,q, ∀ j = 1,...,n, |Ei j∩ M| ≤ 1.

Como é possível verificar se um emparelhamento satisfaz as condições citadas acima para uma instância de MCMPVS em tempo polinomial, trata-se de um problema N P. E como é dada uma prova de que SAT ∝ MCMPVS, o problema MCMPVS é NP-completo.

Para provar a redução MCMPVS ∝ (Subproblema com ed) basta associar cada vértice em

L a uma aula, as aulas correspondentes aos vértices do conjunto Li a uma mesma disciplina da turma, cada t a um horário, Tj ao conjunto de horários de um dia, e as arestas entre l e t indicam a disponibilidade de tempo do professor da aula representada para o horário t. Qualquer emparelhamento num grafo bipartido cujo segundo conjunto de vértices é T , conjunto de horários, respeitará qualquer restrição de conflito. Além disso, o emparelhamento requerido em MCMPVS usa todos os l ∈ L, garante a alocação de todas as aulas, e no máximo uma aresta em Ei j, uma alocação para uma disciplina num dia. Observe que os professores de duas aulas de uma mesma disciplina da turma devem ser diferentes, conforme sejam diferentes os vizinhos Γ({l}) 6= Γ({l′_{}) dos vértices representantes destas aulas l e l}′_{∈ L}

De fato a prova da redução polinomial SAT ∝ MCMPVS determina a construção de uma instância de MCMPVS para qualquer instância do problema SAT, usando Γ({l}) 6= Γ({l′_}),

para quaisquer dois vértices l e l′_{∈ L}

i, ∀i = 1, . . . , q. Assim, este terceiro subproblema e a prova de sua NP-completude não podem acrescentar nada a respeito do Problema Automação de Horários Escolares, por definição.

O quarto subproblema corresponde a um subproblema do Problema Automação de Horários Escolares de forma direta. As demonstrações, da NP-completude e dos casos polinomiais, são dadas por Carter e Tovey (1992).

No quinto problema temos novamente a alocação dos grupos de alunos para as turmas a priori. A prova é dada por Ten Eikelder e Willemen (2001). Prova-se que o problema “Bipartite Matching with Relations” (BMR) é NP-completo por uma redução: 3SAT ∝ MBR; e que MBR é um caso especial do subproblema.

O quinto subproblema com apenas um grupo de alunos corresponde a determinar a alo- cação de horários de uma classe respeitando as restrições de conflito para a classe, para os professores, as restrições na disponibilidade de tempo dos professores, e aulas em bloco alo- cadas em horários consecutivos. Sem esta última restrição, basta construir o grafo bipartido

G(L, T, E), com os vértices de L representando as aulas, os vértices de T os horários, as arestas em E as possíveis alocações (respeitando as disponibilidades) da aula l para o horário t, e encontrar um emparelhamento que cubra todos os vértices em L.

Há uma redução polinomial do Problema de Empacotamento (“Bin Packing”) ao sexto subproblema para as turmas de uma disciplina. Assim o sexto subproblema é NP-completo como o de Empacotamento.

O sétimo subproblema da lista foi provado por Ten Eikelder e Willemen (2001). Prova-se que o problema “Multiple Bipartite Matching with Maxima” (MBMM) é NP-completo e um caso especial do sétimo subproblema.

Estes dois últimos subproblemas não possuem ligação com o nosso Problema Automação de Horários Escolares.

Assim, do que tratamos na seção 2.5 e nesta seção, temos que: as restrições de conflito para professores e turmas (i e ii), na disponibilidade de tempo dos elementos (iii), restrições deter- minando que havendo duas aulas num dia de uma mesma disciplina e turma sejam geminadas (vi), restrições de conflito relativas a subturmas e união de turmas (ix e x), restrições relativas a alocação de salas possíveis (xiii) e se para aulas geminadas sendo salas iguais (xiv); são fatores para a complexidade do Problema Automação de Horários Escolares.

Outro trabalho da mesma época que trata da complexidade do problema de automação de horários escolares com certas restrições (especialmente com relação a (in)disponibilidades de tempo) é o artigo [dW02] de Dominique de Werra. Ele apresenta STP como um problema de reconstrução de imagens em tomografia, relacionando os resultados de complexidade dos dois problemas. Formulações com coloração de arestas são bastante usadas. Um dos resultados é que STP sem restrições de tempo e com pré-alocações é NP-completo. STP sem restrições de tempo e: com máximo número de aulas por horário devido ao número de salas disponíveis no mesmo, ou exclusivamente, com aulas seqüenciais são também provados NP-completos.

Daí, podemos acrescentar à nossa lista de fatores para a complexidade do Problema Au- tomação de Horários Escolares as restrições relativas a alocação estática (xii) e conflito para

3.6 SUBPROBLEMAS POLINOMIALMENTE SOLÚVEIS 33