O modelo matemático com Programação Linear Inteira
4.1 ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS ANTERIORES COM IP 43 A primeira característica desejável se assemelha a nossa nº 2, contudo nossa definição de
espalhamento ruim é menos restritiva com disciplinas cujas aulas precisam ser dadas em pelo menos três dias (por exemplo, disciplinas com número de aulas igual a 5 e máximo diário 2), não considerando espalhamento ruim um par de dias vizinhos onde ocorrem aulas da disciplina se há apenas uma aula num destes.
O terceiro item é justificado como característica desejável pela concepção de que o número de aulas de Educação Física excedente ao número de quadras é dado de forma teórica na sala da turma.
Os ítens quarto e quinto são em nosso modelo considerados restrições para a viabilidade. No segundo modelo de Vânia também, e portanto deixam a lista de características desejáveis. Mas no primeiro modelo, uma solução final pode ter para uma turma num dia duas aulas de uma mesma disciplina separadas por várias outras.
Os modelos de Vânia trabalham com número exato de horários disponíveis para uma turma igual ao número de aulas desta, e usa restrições para indicá-los no conjunto total de horários. Como o modelo foi elaborado para no máximo uma disciplina de um professor por turma, professores que lecionam mais de uma são modelados junto a professores “falsos”, que são considerados nas restrições deste.
Os dois modelos apresentados diferem na escolha das variáveis e, como conseqüência, no conjunto de restrições matemáticas. Em ambas formulações trata-se de um problema de otimização, cujo objetivo é minimizar o valor da função objetivo que descreve o não atendi- mento, ou a distância ao atendimento, das características desejáveis descritas, em expressões lineares que associam um peso a cada parcela relativa a cada característica. Os experimentos apresentados usaram peso igual a 1 para todas as características (do modelo) exceto a carac- terística relativa ao número de janelas, com peso 19.
As principais variáveis no primeiro modelo são
xptdh=
1, se o professor p dá aula para a turma t iniciando no horário de aula h do dia d; 0, caso contrário.
As demais variáveis são auxiliares e têm seu valor definido através do valor destas, mediante restrições.
No segundo modelo as principais variáveis são
xptdh=
1, se o professor p dá aula dupla para a turma t iniciando no horário de aula h do dia d; 0, caso contrário.
yptdh=
1, se o professor p dá aula simples (unitária) para a turma t no horário de aula h do dia d; 0, caso contrário.
Variáveis que se relacionam da seguinte forma: o número de aulas duplas ministrado pelo professor p para a turma t durante a semana deve ser exatamente o número mínimo requerido,
e o número de aulas simples exatamente o restante para completar a demanda de aulas; além disso, para cada dh garante-se que no máximo uma das variáveis
yptdh,
xptdh, se h não é o último do dia d, e
xptd(h−1), se h não é o primeiro do dia d,
terá valor 1, evitando assim sobreposições de aulas iguais. As demais variáveis são auxiliares e têm seu valor definido através do valor destas, mediante restrições.
As restrições que tratam de conflito para professores e turmas garantem ao mesmo tempo a não sobreposição de aulas iguais. Isto ficará mais claro na seção sobre nossas restrições, pois em nosso modelo usamos variáveis semelhantes que também representam aulas simples e duplas.
O segundo modelo apresentado possui um menor número de variáveis e restrições que o primeiro. Algumas variáveis auxiliares e restrições relacionadas a elas tornaram-se desnecessá- rias na presença das variáveis de aula dupla. E os experimentos mostraram maior eficiência do segundo modelo em relação ao primeiro.
Nos experimentos em [dS06] foi utilizado o modelador e otimizador Xpress-MP versão 1.6 com as funções de pré-processamento e estratégia de corte ativadas. Com a execução sendo interrompida após 6 horas de processamento, retornando a melhor solução obtida até então. Apenas um experimento com 3 turmas (do turno noturno de uma escola) obteve solução ótima, em torno de 45 minutos. Motivo pelo qual, métodos heurísticos foram investigados pela autora, incluindo Busca Local Aleatória e Busca Tabu.
Para maior clareza do contexto: os experimentos citados foram realizados em um micro- processador Pentium 4, 1.9 GHz, de 384 MB de RAM, com sistema operacional Microsoft Windows XP.
4.2
Nosso modelo
Nosso problema foi descrito no Capítulo 3. E na seção 3.3 delimitamos o que nosso mode- lo trata. Mas em resumo podemos dizer que temos por tarefa: determinar o professor e a sala do encontro, quando necessário, e determinar o horário de cada encontro; satisfazendo as restrições i a xvi mais a restrição xviii, e buscamos minimizar o não atendimento das carac- terísticas desejáveis de 0 a 6. Ficando de fora as restrições relativas a existência de mais de uma sede (xix e xx) e a restrição xvii, por considerarmos que a Direção da escola determina a priori que sala pertence a que turma, e algumas aulas requerem salas especiais.
Aqui nosso objetivo é encontrar uma solução viável inicial, portanto não trataremos de car- acterísticas desejáveis em nosso modelo com IP. Essa decisão é estratégica haja visto que o tempo de processamento para encontrar uma solução viável é extremamente menor. E acredi- tamos ter boas ferramentas para encontrar soluções melhores a partir desta.
Como já foi dito anteriormente, o modelo aplica-se a quadros de horários (da instituição) onde não há intersecção entre os intervalos de tempo correspondentes aos horários letivos, podendo existir dias com diferentes intervalos de tempo correspondendo a seus horários letivos, e dia com maior número de horários letivos que outro.
4.2 NOSSO MODELO 45