3.2 Equações Constitutivas para o Fechamento do Modelo Matemático
3.2.6 Equações Constitutivas para o Fechamento da Turbulência
Nesta pesquisa, a abordagem RANS foi empregada para o fechamento da turbulência. Esta apresenta como principal foco o comportamento médio do escoamento e os efeitos da turbulência nas propriedades médias do escoamento (VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). Os termos extra que aparecem nas equações de transporte, devido às interações entre as várias flutuações promovidas pela turbulência, podem ser modelados por diferentes tipos de modelos, desde simples modelos algébricos, passando por modelos que utilizam equações de transporte, até modelos de segunda ordem.
Neste trabalho o modelo de duas-equações RNG k- foi empregado, devido ao seu bom desempenho no trabalho de MORI et al. (2011). Este modelo é baseado na hipótese da viscosidade turbulenta, que considera a turbulência como isotrópica, fundamentado na hipótese de Boussinesq, a qual assume, em analogia as tensões viscosas do escoamento laminar, que os tensores de Reynolds são proporcionais aos gradientes da velocidade média (RODI, 1984) (Equação 3.47). Definindo a energia cinética turbulenta conforme a Equação 3.45:
kk = 1 2 u0k2+ v0k2+ w0k2 (3.45)
onde pela consideração da turbulência isotrópica tem-se: u02 k = v 02 k = w 02 k (3.46) −ρku0ku0k = µt,k h ∇uk+ (∇uk)T i − 2 3ρkkkI (3.47)
onde µt,ké a viscosidade turbulenta, modelada conforme o modelo de turbulência empregado, e
kké a energia cinética turbulenta da k-ésima fase. O segundo termo do lado direito da Equação
3.47 garante que a formulação forneça o resultado correto para as tensões normais de Reynolds, ou seja, quando I= 1.
Comparando o tensor turbulento (Equação 3.47) com o tensor definido para o fluido newtoniano (Equação 3.6), observa-se uma similaridade entre estes. Após rearranjos matemáticos, um tensor tensão efetivo pode ser reescrito e empregado nas equações RANS, para um fluido incompressível (∇ · uk = 0), conforme a Equação 3.48:
Tk,e f f = µk,e f f
h
∇uk+ (∇uk) Ti
(3.48)
onde µk,e f f é a viscosidade efetiva, dada pela Equação 3.49:
µk,e f f = µk,l+ µk,t (3.49)
onde os termos do lado direito representam as viscosidade laminar e turbulenta, respectivamente. Os transportes turbulentos de massa, de calor ou de qualquer outro escalar, podem ser modelados de maneira análoga à definida para o tensor turbulento (transporte turbulento de momentum), conforme a Equação 3.50, sendo proporcional ao gradiente do valor médio da propriedade transportada:
−ρku0kφ0k = Γt∇Φ (3.50)
onde Γt é o coeficiente de difusividade turbulenta e Φ é o valor médio da propriedade
transportada. Desde que o transporte de quantidade de movimento, de calor e de massa ocorrem devido a misturação pela turbulência, espera-se valores próximos entre a difusividade turbulenta e a viscosidade turbulenta. Esta consideração é conhecida como analogia de Reynolds (VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
Turbulência da Fase Contínua
A turbulência da fase contínua foi modelada pelo modelo de duas-equações RNG k-, o qual foi proposto por YAKHOT et al. (1992), pela modificação do modelo de turbulência clássico k-, visando representar melhor os efeitos das pequenas escalas de turbulência no escoamento, realizando uma normalização dos grupos das equações de Navier-Stokes. Este procedimento remove sistematicamente as pequenas escalas da turbulência, expressando seus efeitos em termos das grandes escalas e da viscosidade modificada (VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). Duas equações de transporte são adicionadas ao sistema de equações, uma para a energia cinética turbulenta (k) e outra para sua dissipação (). A viscosidade turbulenta é dada pela Equação 3.51 em função de uma constante, da energia cinética turbulenta, k, e sua dissipação, , sendo as duas últimas obtidas diretamente das equações de transporte (Equações 3.52 e 3.55, respectivamente).
µt,l = Cµρl k2 l l (3.51) ∂ ∂t (αlρlkl)+ ∇ · (αlρlklul)= ∇ · " αl µl+ µt,l σk ! ∇kl # + αl Gkl −ρll + S k l (3.52)
onde Cµ e σk são constantes, Sk representa possíveis fontes de geração de k e Gk representa a
produção de energia cinética turbulenta, sendo modelada pela Equação 3.53:
Gkl = µt,l
p
2 Sl· Sl (3.53)
onde S é o tensor de cisalhamento (Equação 3.54):
Sl = 1 2 ∇ul+ (∇ul)T (3.54)
A dissipação da energia cinética turbulenta () é modelada conforme a Equação 3.55: ∂ ∂t (αlρll)+ ∇ · (αlρllul)= ∇ · " αl µl+ µt,l σ ! ∇l # + αl l kl C1 Gkl − C2 ρll + Sl (3.55)
onde σ e C2 são constantes, S representa possíveis fontes de dissipação de k, C1 é uma
função da produção de turbulência, sendo modelada conforme a Equação 3.56:
C1 = 1,42 − fη onde fη = η 1 − 4,38η 1+ 0,012 η3 com η = s Gkl lρlCµ (3.56)
Tabela 3.1: Constante utilizadas no modelo de turbulência RNG k-.
Cµ C2 σk σ
0,085 1,68 0,7179 0,7179
Para o modelo de turbulência RNG k-, a função de parede padrão do pacote computacional ANSYS CFX 14 foi empregada, a qual é baseada na lei logarítmica, sendo definida em função da energia cinética turbulenta. Maiores detalhes sobre esta são dados em SILVA JR. (2011).
Turbulência da Fase Dispersa Deformável
A turbulência na fase dispersa deformável (fase gás) foi considerada pelo modelo algébrico para a fase dispersa, denominado Zero-Equation Model for Dispersed Phase no softwareANSYS CFX, devido aos bons resultados obtidos no trabalho de MORI et al. (2011). Este modelo é dado pela razão entre as massas específicas das fases gás e líquida e a viscosidade turbulenta desta última, conforme a Equação 3.57:
µt,g=
ρg
ρl
µt,l (3.57)
Não empregou-se nenhum modelo de turbulência para a fase dispersa sólida.
Turbulência Induzida pela Fase Dispersa Deformável
A turbulência induzida pelo deslocamento das bolhas através do leito também foi considerada e investigada utilizando três modelos: SATO e SEKOGUCHI (1975); PFLEGER e BECKER (2001) e TROSHKO e HASSAN (2001), sendo os dois últimos implementados de acordo com o equacionamento dado por ZHANG et al. (2006).
- Modelo de SATO e SEKOGUCHI (1975):
Empregou-se inicialmente a correlação de SATO e SEKOGUCHI (1975) (Equação 3.58), a qual representa um termo adicional na viscosidade efetiva da fase contínua, dado em função da fração volumétrica da fase dispersa e da velocidade de deslizamento entre esta e a contínua:
µI,gl = αgρlCµ,BIdB|ug− ul| (3.58)
- Modelo de PFLEGER e BECKER (2001):
PFLEGER e BECKER (2001) propuseram um termo para a turbulência induzida pela fase dispersa fluida em função da transferência de quantidade de movimento total gás-liquido e da velocidade de deslizamento entre estas fases, conforme a Equação 3.59:
Skl = αlCk|FI,gl| |ug− ul| (3.59)
onde Ck é uma constante, igual a 1,44 e FI,gl representa a transferência de quantidade de
movimento total entre as fases gás e líquida, ou seja, nesta pesquisa considerada apenas igual a força de arraste. Tem-se então: FI,gl = FD,gl.
A dissipação da energia cinética turbulenta devido a movimentação das bolhas é baseado na escala de tempo (l/kl), de acordo com a Equação 3.60:
Sl = l kl
CSkl (3.60)
onde Cé uma constante, igual a 1,92.
- Modelo de TROSHKO e HASSAN (2001):
TROSHKO e HASSAN (2001) propuseram um modelo para a turbulência induzida pelas bolhas com base no arraste entre estas e a fase contínua, a produção de k devido a movimentação da fase dispersa fluida é modelada pela Equação 3.61:
Skl = |FD,gl| |ug− ul| (3.61)
onde FD,glrepresenta o termo de transferência de quantidade de movimento entre as fases gás e
líquida devido ao arraste.
Para a dissipação de k, TROSHKO e HASSAN (2001) definiram que a escala de tempo característica deve ser igual ao tempo de resposta da bolha. Após as manipulações matemáticas, tem-se a Equação 3.62:
Sl = 1,35
CD,gl|ug− ul|
dB
Skl (3.62)
onde CD,gl é o coeficiente adimensional de arraste gás-líquido (nesta equação, o coeficiente
de massa virtual está implícito, sendo definido igual a 0,5, valor usualmente aplicado para simulações em colunas de bolhas).
Devido as baixas velocidades de deslizamento liquido-sólido em relação às gás-líquido, a turbulência induzida pelas partículas sólidas não foi considerada.