Apesar de um grande número de estudos experimentais e empíricos publicados, ainda faltam estudos numéricos que consigam predizer satisfatoriamente a transição entre os regimes de escoamento em reatores trifásicos, conforme relatado por GHATAGE et al. (2014), bem como outras características fluidodinâmicas.
A influência da carga das partículas sólidas, bem como, sua dispersão e influência no nível de turbulência dentro da coluna não está bem estabelecida, bem como a modelagem da própria turbulência em sistemas multifásicos. A turbulência induzida pelas fases dispersas presentes no sistema, bem como a modelagem da turbulência da fase contínua representam um ponto fundamental de investigação neste tipo de sistema, bem como, uma avaliação detalhada na interação entre as fases, pela troca de momentum, de massa e de calor, quando presentes, os quais devem afetar significativamente os padrões de escoamento, assim como características cinéticas e termodinâmicas em processos envolvendo mudanças de fase e reações químicas.
O desenvolvimento de modelos de fechamento mais completos, ou até mesmo, a adaptação destes modelos a partir de sistemas para os quais foram desenvolvidos, como por exemplo, aplicação e avaliação do desempenho do modelo EMMS em leitos trifásicos, conforme realizado por XU et al. (2014), bem como, otimizar os modelos de balanço populacional, de tal forma que sejam menos dependentes das constantes, as quais podem ser definidas e alteradas arbitrariamente, são pontos fundamentais para o avanço nesta área de pesquisa aplicada.
Estes pontos destacados convergem às dificuldades do escalonamento de reatores e equipamentos de contato gás-líquido e gás-líquido-sólido, desde que, para se obter sucesso no projeto, implementação e operação destes tipos de sistemas, os fenômenos que governam a dinâmica de tais sistemas devem ser bem conhecidos.
Portanto, é possível notar que ainda existem diversos pontos a serem investigados em equipamento do tipo coluna de bolhas e colunas em leito de lama. Isto se deve ao fato da grande complexidade das interações entre as fases que compõem o sistema, além da possibilidade de alterações em configurações geométricas, o que também resultaria em possíveis modificações dos padrões fluidodinâmicos. Destaca-se também que, geralmente, os dados experimentais são restritos as condições operacionais estudadas e às propriedades específicas do sistema, como por exemplo, as características do sólida particulado e do líquido empregados em determinado estudo. Além disso, existe ainda uma falta de dados experimentais locais, em adição aos parâmetros globais, para sistemas operando em condições próximas às industriais, fato inerente às próprias condições operacionais, muitas vezes híspidas, dificultando a realização de experimentos e a obtenção dos dados.
Modelagem Matemática
Neste capítulo é apresentada a modelagem matemática empregada neste trabalho. Devido aos bons resultados encontrados na modelagem de sistemas multifásicos, além de um menor custo computacional em relação a abordagem Lagrangeana, a abordagem Euleriana multi-fluido foi utilizada para as três fases. Esta abordagem trata todas as fases como contínuas e interpenetrantes entre si, inserindo as frações volumétricas de cada fase nas respectivas equações de transporte. Para o fechamento da turbulência, empregou-se a abordagem RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), a qual resolve as equações de transporte aproximadas pelas médias de Reynolds.
3.1
Equação Geral de Balanço
Dentro da abordagem Euleriana multi-fluido, define-se o conceito de fração volumétrica, α, como a razão entre o volume que uma das fases ocupa, pelo volume total das fases, ou seja, para a k-ésima fase tem-se:
αk =
Vk
Pnf
i Vk
(3.1)
onde k representa a k-ésima fase, Vk é o volume ocupado pela k-ésima fase, nf representa o
número de fases do sistema.
As propriedades transportadas em um sistema multifásico, dentro da abordagem Euleriana multi-fluido, podem ser escrita de um modo geral, conforme a Equação 3.2:
∂ ∂t (αkρkφk) | {z } Acúmulo de φk + ∇ · (αkρkφkuk) | {z } Convecção de φk = ∇ ·αkΓk,φ∇φk | {z } Difusão de φk + Sφk |{z} Fontes de φk (3.2)
onde ρ é a massa específica, φ é uma propriedade genérica de transporte, u é o vetor velocidade, e Γφ é o coeficiente de difusão da propriedade φ. O termo Sφ representa possíveis fontes de
geração/consumo da propriedade φ dentro do volume de controle.
3.1.1
Equações de Balanço
A Equação 3.2 pode ser então escrita para as propriedades transportadas no sistema multifásico e multicomponente.
Balanço de Massa Total para a k-ésima Fase ∂
∂t (αkρk)+ ∇ · (αkρkuk)= Smk (3.3)
onde o termo Sm
k representa possíveis fontes de massa.
Balanço da Massa do Componente A para a k-ésima Fase ∂
∂t αkρkyA,k+ ∇ · αkρkukyA,k= ∇ · αkρkDA,k∇yA,k+ S yA
k + S yA
r (3.4)
onde yA é a fração mássica do componente A, DA é o coeficiente de difusividade efetiva de A.
Os termos do lado direito da Equação 3.4 representam, respectivamente, o transporte difusivo, possíveis fontes de massa devido a transferência de massa do componente A entre as fases, e possíveis fontes de massa devido ao consumo/geração de massa devido as reações químicas. Balanço de Quantidade de Movimento para a k-ésima Fase
∂
∂t (αkρkuk)+ ∇ · (αkρkukuk)= −αk∇Pk + ∇ · (αkTk)+ αkρkg+ Smomk (3.5)
onde P representa a pressão, T o tensor tensão e g a aceleração da gravidade. Na Equação 3.5 os termos do lado direito representam, respectivamente, o gradiente de pressão, o tensor tensão, a força de campo gravitacional, e possíveis fontes extras de quantidade de movimento.
O tensor tensão de um fluido Newtoniano é definido de acordo com a Equação 3.6:
Tk = µk " ∇uk + (∇uk) T − 2 3(∇uk) I # (3.6)
Balanço de Energia Térmica para a k-ésima Fase ∂
∂t (αkρkhk)+ ∇ · (αkρkukhk)= ∇ · (αkλk∇Tk)+ Shk (3.7)
onde h é a entalpia específica, λ é a condutividade térmica, e T é a temperatura. Os termos do lado direito da Equação 3.7 representam, respectivamente, a condução da energia térmica, e possíveis fontes extras de energia térmica (transporte secundário de energia térmica devido a troca de massa entre fases, calores liberados/consumidos nas reações químicas, entre outros).
Para um sistema multifásico e multicomponente, três restrições devem ser respeitadas:
Restrição de Volume nf X k=1 αk = 1 (3.8) Restrição de Pressão
Pk = P para todas as nf fases presentes (3.9)
ou seja, o campo de pressão é compartilhado por todas as fases presentes no sistema, incluindo a fase sólida, conforme descrito no manual do software Ansys (ANSYS INC., 2011).
Restrição de Massa dos Componentes
nc
X
A=1
yA,k = 1 (3.10)
onde ncé o número de componentes presentes na k-ésima fase.
As equações de balanço descritas até então representam as propriedades instantâneas do escoamento, sendo válidas para quaisquer sistemas multifásicos e multicomponentes. No entanto, para escoamentos turbulentos, flutuações nestas propriedades são observadas, e um tratamento estatístico nas equações de transporte deve ser realizado, transformando estas em equações médias. A abordagem RANS tem sido amplamente empregada para tal fim, representando bem grande parte dos escoamentos de interesse. De modo geral, esta divide a variável genérica de transporte φ em duas componentes, conforme a Equação 3.11:
onde φ0
k representa a flutuação, e φk o valor médio da propriedade φ, sendo este último dado
por: φk = 1 ∆t Z t+∆t t φkdt (3.12)
Substituindo a Equação 3.11 na equação geral de transporte (Equação 3.2), e fazendo-se as manipulações matemáticas1, tem-se a equação geral de transporte média:
∂
∂t (αkρkφk)+ ∇ · (αkρkφkuk)= ∇ ·hαkΓk,φ∇φk−ρku0kφ0ki + S φ
k (3.13)
onde φk representa agora a propriedade média e não mais a instantânea. Comparando as
Equações 3.13 e 3.2, é possível observar a presença de um termo extra, que representa o fluxo da propriedade devido a sua flutuação, o qual necessita de fechamento. Têm-se então, para o balanço de quantidade de movimento: ρku0kφ0k = ρku0ku0k, conhecido como tensor de Reynolds;
para a o balanço de energia térmica: ρku0kφ0k = ρku0kh0k, e para o balanço de massa da espécie
A: ρku0kφ0k = ρku0ky0A,k.