Para o cálculo dos esforços na estrutura são consideradas: as ações permanentes devidas ao peso próprio da estrutura e ao peso de equipamentos; as ações variáveis devidas ao vento, à sobrecarga de pessoas, à temperatura, e ao produto ensilado.
O peso próprio atuante na estrutura é considerado multiplicando-se o valor do peso específico do concreto ( =25 kN/m³) pelas dimensões das peças. A sobrecarga de pessoas é aplicada apenas na cobertura e se trata de uma carga uniformemente distribuída, determinada pela NBR 6120 (1980).
O vento foi aplicado na parede, e os dados de velocidade básica do vento e os fatores S1 e S3 são previamente definidos. A pressão característica, os coeficientes de pressão externa e de arrasto são determinados conforme NBR 6123 (1988).
Para determinação da pressão devida ao produto ensilado utiliza-se a formulação de Janssen com a utilização de coeficientes de sobrepressão para a fase de descarregamento do silo. As estruturas são dimensionadas para a norma ACI 313 (2016) e para o Eurocode 1-4 (2006). As normas indicam diferentes propriedades dos sólidos, coeficientes de sobrepressão e restrições impostas. As restrições consideradas são detalhadas no item 5.4.
Para o dimensionamento pelo Eurocode 1-4 (2006), além das pressões de Janssen, são consideradas as pressões extras detalhadas em 4.1.2.1.2.
Tendo sido determinadas as pressões atuantes na estrutura é utilizada a Teoria das Cascas para o cálculo dos esforços solicitantes nos elementos de tremonha, parede e cobertura cônica ou em cúpula. Se a cobertura da estrutura for reta é utilizada a Teoria das Placas. As equações utilizadas para elementos de cascas, torção em vigas e compatibilização de deslocamentos podem ser vistas no ANEXO C
DESLOCAMENTOS E ESFORÇOS e no ANEXO D COMPATIBILIZAÇÃO DE DESLOCAMENTOS NOS NÓS
A norma ACI 318 (2014) é utilizada para o dimensionamento quando é utilizado o procedimento indicado na ACI 313 (2016) para a determinação do tipo de fluxo, propriedades dos produtos, e das pressões atuantes na estrutura. A norma Eurocode 2 (2004) é utilizada para o dimensionamento quando for utilizado o procedimento indicado na norma Eurocode 1-4 (2006) para a determinação do tipo de fluxo, propriedades dos produtos armazenados, e das pressões atuantes na estrutura. Desta forma mantém-se a uniformidade das indicações normativas sem reduzir ou aumentar o nível de segurança previsto.
Na Figura 5.2 são apresentadas as ações solicitantes na seção de concreto armado.
Figura 5.2 Ações solicitantes em seção de concreto armado Fonte: Trautwein e Almeida (2017)
A partir das ações solicitantes se faz o equilíbrio de forças normais e momento fletores na seção transversal para o dimensionamento à flexão, sendo o equilíbrio das forças normais dado pela expressão (5.1) e o equilíbrio dos momentos fletores, em relação ao nível da área de aço (As) na Figura 5.2, dado pela expressão (5.2):
(5.1) (5.2) onde,
Nu é a força normal solicitante da seção transversal;
Rc é a força de reação de compressão na seção transversal; s é a força de reação na armadura superior;
Rs é a força de reação de tração na armadura inferior;
Msu é o momento fletor que ocorre no centro de gravidade da armadura inferior; es é a excentricidade da força Nu, em relação ao nível do aço inferior;
zc é o braço de alavanca entre as reações Rs e Rc; d é a altura útil da peça;
a armadura superior.
O dimensionamento é restrito aos domínios 1, 2 ou 3. Além disto, a relação entre a altura da linha neutra (LN) e altura útil da peça é limitada a 0,45. Desta forma, se garante a ductilidade da estrutura.
Procedimento de verificação de cisalhamento segundo a norma ACI 318 (2014)
Em seguida, verifica-se se os elementos de casca resistem ao esforço cisalhante solicitante. A expressão (5.3) indica a condição de segurança, adotada tanto pela norma ACI 318 (2014) quanto pelo Eurocode 2 (2004):
(5.3)
Segundo a norma ACI 318 (2014) o valor da resistência ao cisalhamento de cascas sem armadura transversal é apresentado na equação (5.4):
(5.4)
em que a resistência nominal ao cisalhamento (Vnc) pode ser calculado pela expressão (5.5), em que as unidades devem estar em metros, kN, e kN/m²:
(5.5) onde,
é o fator ponderador utilizado para reduzir a resistência da seção transversal, igual a 0,75 para forças cisalhantes;
v é um fator que depende de a força axial da peça ser de compressão ou de tração. Para o caso de tração v é igual a 500, e para o caso de compressão
Ns é a força axial solicitante (a força é considerada positiva para compressão e negativa para tração);
Ag é a área bruta da seção de concreto.
No caso de elementos de viga a armadura necessária para resistir ao esforço cisalhante é dimensionada. Para isto são utilizadas as expressões (5.3) a (5.5), assim como no caso de cascas, e em seguida calcula-se a armadura transversal através da expressão (5.6):
(5.6) em que as unidades devem estar em metros, kN e kN/m².
Procedimento de verificação de cisalhamento segundo o Eurocode 2 (2004)
Segundo o Eurocode 2 (2004) o valor da resistência ao cisalhamento de peças sem armadura transversal é apresentado na equação (5.7):
(5.7)
em que,
fck é a resistência a compressão característica do concreto em MPa;
1 é a taxa de armadura igual à ;
Crd,c é um coeficiente determinado através de ensaios, sugerido ser tomado como 0,13;
k pode ser calculado pela equação (5.8).
(5.8)
No caso de elementos de viga são calculadas as armaduras necessárias para resistir ao esforço cisalhante. Para isto calcula-se o esforço resistente das armaduras transversais, através da equação (5.9):
Em que é a biela de compressão que deve ser limitada entre 30 e 60º. Sugere-se adoção de 45º;
Então verifica-se o atendimento da equação (5.3).
Procedimento de verificação de resistência à torção segundo a ACI 318 (2014) e Eurocode 2 (2004)
Em seguida são calculadas as armaduras das vigas para resistir ao esforço de torção, para isto a viga deve atender ao critério de segurança, indicado pela expressão (5.10):
(5.10)
A tensão última resistente da seção (Trd) é calculada através da expressão (5.11) :
(5.11) onde,
é a biela de compressão que deve ser limitada entre 30 e 60º. Sugere-se adoção de 45º;
A0 é a área bruta de concreto definida pelo fluxo de cisalhamento ao redor do perímetro da peça;
Asw,t é a área de aço para resistir ao esforço de torção;
é o coeficiente de minoração da resistência que assume o valor de 0,75 quando se considera a ACI 318 (2014) e assume o valor para o Eurocode 2 (2004), em que c é igual a 1,4.
Ressalta-se que, após esse procedimento, a biela de compressão para os esforços combinados de cisalhamento e torção deverá ser verificada. Essa verificação não foi incluída no presente trabalho.
Por último é verificado o atendimento da estrutura ao Estado Limite de Serviço (ELS).
Procedimento de verificação de abertura de fissuras segundo a ACI 313 (2016)
Segundo a norma ACI 313 (2016) a abertura de fissuras no silo pode ser verificada pela expressão (5.12):
(5.12) onde,
wk é o valor da abertura de fissuras em mm;
fy é a tensão no aço no estado limite de serviço, em kN/m²;
dc é igual a 2,5 vezes o diâmetro da barra, ou a distância do centro de gravidade da barra de aço até a superfície do concreto, medidas devem ser em metros; A é a área de influência da barra, que pode ser calculada por 2dcs, em metros
quadrados;
s é o espaçamento entre as barras, em metros.
A representação das variáveis pode ser vista na Figura 5.3.
Figura 5.3 Variáveis consideradas no cálculo de abertura de fissuras Fonte: ACI 313 (2016)
Procedimento de verificação de abertura de fissuras segundo o Eurocode 2 (2004)
Segundo o Eurocode 2 (2004) a abertura de fissuras no silo pode ser verificada pela expressão (5.13):
onde,
wk é o valor da abertura de fissuras, em milímetros;
sr,max é o máximo espaçamento entre as fissuras em milímetros; sm é a deformação média da área de aço;
cm é a deformação média do concreto entre fissuras.
O valor do máximo espaçamento entre fissuras (sr,max) pode ser calculado pela fórmula (5.14):
(5.14) em que,
k3 assume o valor de 3,4, conforme recomendação normativa; c é o cobrimento adotado pra estrutura;
k1 assume o valor de 0,8 para barras aderentes;
k2 assume 0,5 para flexão e 1 para tração pura, no caso de flexão composta deve ser realizada interpolação linear, levando em conta as deformações na seção;
k4 assume o valor de 0,425, conforme recomendação normativa; é o diâmetro da barra que será utilizado na seção;
p,eff é a taxa de aço efetiva na seção.
O valor de sm- cm pode ser obtido pela equação (5.15):
(5.15) em que,
fy é a tensão na barra assumindo a seção transversal fissurada;
kt é um coeficiente de duração da carga, sendo adotado 0,4 para cargas de curta duração e 0,6 para cargas de longa duração;
e é a razão entre os módulos de deformação longitudinal do aço e do concreto, respectivamente (Es/Ec).
fcteff é a resistência do concreto a tração que pode ser calculada pela equação(5.16),
(5.16)
5.3 OTIMIZAÇÃO
A otimização do silo de concreto armado é feita com o objetivo de minimizar o custo da estrutura, garantindo a segurança da estrutura. São levados em conta os custos de formas, das armaduras e do concreto.
A otimização é realizada através de dois procedimentos: utilizando-se a Técnica de Algoritmos Genéticos, e pelo procedimento de busca total. O procedimento de busca total, utilizado por Kwak e Kim (2008) e Rosa Filho (2015) para a otimização de pórticos de concreto armado, foi adotado para validar os resultados obtidos pela Técnica de Algoritmo Genético. O tempo de processamento dispendido em cada procedimento é computado.
O procedimento de Busca Total consiste na verificação completa do espaço de busca, isto é, são calculados os esforços, a área de aço necessária, e verificadas as condições de segurança e utilização para cada possibilidade de estrutura. Apesar de garantir a solução ótima este procedimento é dispendioso, não sendo adequado para problemas muito grandes. O fato de garantir a solução ótima torna este procedimento adequado para a comparação com outros não exatos.
A função objetivo para a estrutura é dada na equação (5.17):
(5.17) onde,
f (x1, x2, ..., xn) é a função objetivo (função custo); x1 a xn são as variáveis do problema;
Ps é o peso de aço presente na estrutura; Vc é o volume de concreto da estrutura;
Af é a área de formas necessária para a concretagem; Ks é o custo do kg do aço;
Kf é o custo do m² de formas.
As variáveis utilizadas na otimização são:
espessura da cobertura (15 a 30 cm, passo de 1 cm); espessura da parede (15 a 46 cm, passo de 1 cm); espessura da tremonha (15 a 46 cm, passo de 1 cm);
largura do anel de rigidez superior (40 a 70 cm, passo de 10 cm); altura do anel de rigidez superior (40 a 70 cm, passo de 10 cm); altura do anel de rigidez inferior (50 a 120 cm, passo de 10 cm); fck (30 a 45 Mpa, passo de 5 MPa).
A base do anel de rigidez inferior é calculada em função da altura do anel de rigidez inferior. A seção deste anel será trapezoidal.
Para a aceitação completa de uma estrutura são verificados os seguintes itens em todos os elementos estruturais na ordem descrita:
fck mínimo;
Estados Limites Últimos do concreto armado; deslocamento máximo;
diâmetro máximo das barras; abertura de fissuras;
taxa mínima e máxima de armadura;
espaçamento mínimo e máximo entre barras.
No Brasil existem normas específicas para a combinação de ações e para projeto de estruturas de concreto armado, entretanto, em virtude do uso de normas internacionais para determinar as pressões existentes no silo devido ao armazenamento de produtos, serão utilizadas neste trabalho: a norma ACI 318 (2014) em conjunto com a ACI 313 (2016) e o Eurocode 2 (2004) em conjunto com o Eurocode (2002) e com o Eurocode 1-4 (2006).
São utilizadas as equações de equilíbrio para a verificação dos Estados Limites Últimos. As peças possuem armadura simples, não sendo considerada
armadura dupla. As peças que estiverem em domínios diferentes dos Domínios 2 ou 3 são penalizadas. O dimensionamento das vigas, da tremonha e da cobertura ocorre apenas na seção crítica, onde o esforço é máximo. Já para a parede do silo o número de faixas em que ocorre o dimensionamento deve ser determinado previamente. O programa é descrito no item 5.5.
O cálculo dos deslocamentos nas vigas leva em conta a fissuração do concreto e a área de aço. O efeito de fluência é considerado para os deslocamentos apenas nas ações permanentes atuantes na estrutura. O tempo da introdução da carga considerado é de 1 mês e o tempo final considerado é aos 70 meses.
O cálculo dos deslocamentos nas cascas será realizado considerando-se a área bruta da seção de concreto, ou seja, não se considera a influência da área de aço existente na peça e nem a influência da fissuração. O efeito de fluência é considerado da mesma forma que nas vigas.
A escolha do diâmetro da barra ocorre sempre na ordem do menor para o maior. São adotadas apenas as barras de aço comercializadas usualmente no Brasil. Se não existir diâmetro que atenda as especificações, a função objetivo sofre uma penalidade. Em seguida o espaçamento existente é calculado e a abertura de fissuras é verificada, através dos métodos descritos pela ACI 318 (2014) e pelo Eurocode 2 (2004). Se o limite da abertura de fissura não for atendido, a taxa de armadura é aumentada na proporção da relação entre a abertura existente com a abertura admissível.
Em seguida serão verificadas se as taxas de armadura estão dentro dos limites estabelecidos. Se a taxa de armadura estiver abaixo da taxa mínima a taxa mínima é adotada. Se a armadura estiver acima da taxa máxima é aplicada uma penalização na função objetivo.
A análise pelo método de busca total consiste em testar todas as possibilidades de combinações entre as variáveis. Cada elemento da estrutura passa por todas as verificações citadas acima. Desta maneira, são calculados os custos para todas as combinações possíveis.
No algoritmo genético é utilizada codificação binária, que neste caso é adequada pois é realizada a discretização das variáveis. A ordem de leitura do binário é da esquerda para a direita, sendo que o primeiro algarismo da esquerda tem valor igual a dois elevado a zero. A codificação é dada pela equação (4.67), e para a transformação de binários em números reais são utilizadas as expressões (5.18) a (5.24): (5.18) (5.19) (5.20) (5.21) (5.22) (5.23) (5.24)
A população inicial é gerada aleatoriamente, e cada indivíduo, que corresponde a uma possibilidade para estrutura do silo, terá seus elementos dimensionados conforme já descrito e então o custo do indivíduo é calculado para determinar o valor da aptidão. A aptidão considerada é calculada pela equação (5.25):
(5.25)
em que:
g (x1, x2, ..., xn) é a função de penalização; h (x1, x2, ..., xn) é a função aptidão;
Para a criação de uma nova geração de soluções utiliza-se o método proposto por Holland (1975) em que a probabilidade de seleção do cromossomo para cruzamento depende de sua aptidão em relação ao somatório das aptidões da população, descrito no item 4.3.2.4. As operações utilizadas são: mutação, cruzamento em 1 ponto e elitismo.
A seguir são descritos os parâmetros utilizados para o tamanho da população inicial, as operações de mutação, cruzamento, elitismo, os critérios de parada e as funções de penalização.
Cromossomo
A Figura 5.4 apresenta um cromossomo exemplo utilizado na otimização. Este cromossomo possui 23 genes que, com a codificação binária, produz 8.388.608 possibilidades diferentes (223) para a estrutura. A sequência das variáveis no cromossomo sempre segue a ordem: espessura da cobertura (tcob); espessura da parede (tpar); espessura da tremonha (ttre); largura do anel de rigidez superior (bars); altura do anel de rigidez superior (hars); altura do anel de rigidez inferior (hari); e fck.
Figura 5.4 Cromossomo
A Tabela 5.1 mostra o equacionamento para as variáveis, e os respectivos valores das variáveis para o exemplo da Figura 5.4. O valor de X pode ser calculado pela fórmula (4.67), ressaltando-se que a posição i é especificada para cada variável, ou seja, a posição i não se refere a posição do gene no cromossomo, mas sim a posição do gene na variável.
Tabela 5.1 - Conversão de variáveis de binários para números inteiros Equação da Variável Valor da variável para o exemplo 15 cm 21 cm 26 cm 60 cm 70 cm 50 cm 45 MPa Mutação
O processo de seleção dos alelos que sofrem a mutação é descrito no item 4.3.2.4. Coley (1999) sugere que a probabilidade de ocorrência de mutação seja igual a 1/(comprimento do cromossomo),e afirma que taxas altas de podem ser desastrosas para o algoritmo genético, a medida que a mutação não contribui diretamente para o desenvolvimento da população mas principalmente para a exploração do espaço de busca.
Jong (1975) estudou a influência da probabilidade de mutação no desenvolvimento de 3 diferentes funções. Foram testadas 3 diferentes probabilidades de mutação: 0,3; 0,03; e 0,003. Das três probabilidades de mutação testadas não foi possível estabelecer uma probabilidade que fosse ideal para todas as funções, contudo a probabilidade de 0,03 (3%) levou a bons resultados em todos os casos.
Neste trabalho foi adotada a probabilidade de mutação sugerida por Coley (1999) [1/(comprimento_do_cromossomo)], tendo em vista que isso garante um baixo nível de mutação (1/23=4,35%).
Elitismo
Optou-se neste trabalho por utilizar o elitismo considerando 20% da população, isto é, os 20% mais aptos da população obrigatoriamente irão passar para
a próxima geração. Isto garante uma convergência mais rápida no ponto ótimo (seja um ótimo local ou global) pois irá homogeneizar a população. Salienta-se que isto garantirá também que o valor mais apto não seja perdido com as operações de cruzamento e mutação.
Cruzamento
Opta-se pela adoção de probabilidades de cruzamento altas (Pc>0,5), pois esta operação garante a maior parcela no desenvolvimento da população. É adotada probabilidade de cruzamento (Pc) igual a 0,9. Esta probabilidade é bastante razoável considerando que 20% dos mais aptos da população serão transmitidos obrigatoriamente para a geração seguinte.
A escolha do tamanho da população
Tendo em vista todos os trabalhos citados no item 4.3.2.3, e considerando- se que não se tem como objetivo a adoção de parâmetros ideais de probabilidade de cruzamento, mutação e tamanho da população, são consideradas duas populações, com 30 indivíduos e com 100 indivíduos. Com isto as populações se encontram dentro do intervalo indicado por Michalewicz e Schmidt (2007) e a probabilidade de um determinado alelo na população receber apenas um dos dois valores possíveis é de 1,9x10-9 para a população de 30 indivíduos, e de 1,58x10-30 para a população de 100 indivíduos.
Critérios de parada
Chau e Albermani (2003) realizaram um estudo de otimização de reservatórios retangulares de água. O espaço de busca dos autores era muito pequeno, contando com apenas 2048 possibilidades diferentes. Os autores utilizaram população de 10 individuos, probabilidade de cruzamento de 0,95 e probabilidade de mutação de 0,01. O valor ótimo foi encontrado avaliando-se aproximadamente 2,5% do espaço de busca total, isto é, apenas 5 gerações.
O primeiro critério de parada utilizado é o de número de gerações. Neste estudo o número de gerações é limitado a 5% do espaço de busca, ou seja, com a população de 30 são 13981 gerações. Para a população de 100 são 4194 gerações. Com este limite se tem uma folga em relação ao percentual encontrado por Chau e Albermani (2003) de 2,5%.
O segundo critério de parada é a homogeneização da população. A homogeneização considerada é de 5% do número de gerações. Se não ocorrer aperfeiçoamento da média de aptidão dos indivíduos de elite durante 5% das 13981 gerações (699 gerações) o processo é interrompido. Para a população de 100 indivíduos se não ocorrer aperfeiçoamento da média de aptidão dos indivíduos durante 5% das 4194 gerações (210 gerações) o processo é interrompido.
Função penalidade
As verificações que não forem atendidas sofrerão penalização em sua função objetivo. A penalização possibilitará que o cromossomo seja escolhido para cruzamento, mas com uma menor probabilidade de ocorrência. A seguir são apresentadas as funções de penalidade, que definem o grau de penalidade que a estrutura deve sofrer:
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.30)
(5.31)
(5.32)
(5.33)
A equação (5.26) refere-se a taxa de armadura: se a taxa de armadura existente ( ) ultrapassar a taxa máxima especificada para a peça ( max) a penalidade fica maior que zero, logo é aplicada.
A equação (5.27) refere-se ao espaçamento mínimo entre barras (smin). A equação (5.28) refere-se ao fck mínimo exigido na estrutura. A equação (5.30) relaciona-se com a resistência ao cisalhamento das cascas. A equação (5.31) se refere a condição de deslocamento máximo admissível em cascas e vigas. A equação (5.32) refere-se a condição de abertura de fissuras (wk). A equação (5.33) refere-se ao diâmetro máximo que pode ser utilizado nas peças de casca.
A equação (5.29) refere-se à condição de segurança limitada pelos domínios de flexão. A mesma encontra-se elevada ao quadrado pois possui um alto grau de importância, desta forma é preferível aumentar também o grau de penalidade.
Os valores das funções de penalização são multiplicados pelo coeficiente Este coeficiente foi definido para ser calculado pela equação (5.34). Deve-se observar que este coeficiente será sempre menor que zero, já que o custo do silo, representado por f(x), é um valor positivo, e a função penalidade g(x) também será sempre um valor positivo:
(5.34)