Capítulo 2. Metodologia
2.3 Modelo básico de Insumo-Produto
2.3.2 Estruturas Tecnológicas do modelo insumo-produto
A Tabela 4 mostrou o consumo setorial e a demanda final em termos dos outros setores. A equação fundamental do modelo (equação (11): 𝑋 = (𝐼 − 𝐴) −1. 𝑌), diz que as transações apresentadas na Tabela 4 são em termos dos setores; sendo assim, fica implícito que cada setor produz somente um produto e, também, que cada produto é produzido por um único setor.
Os dados que compõem uma matriz insumo-produto são retirados do Sistema de Contas Nacionais (SCN), padronizados pela ONU em 1993 (FEIJÓ et al., 2004), e expressam o consumo dos setores e a produção setorial em termos dos produtos. Os produtos contabilizados no SCN, em sua maioria, superam o número de setores. Desse modo, a matriz de insumo-produto é obtida através das Tabelas de Recursos e Usos.
A Tabela de Recursos fornece a matriz de produção, V, que demonstra o valor da produção de cada setor em relação aos produtos por eles produzidos. A Tabela de Usos apresenta a matriz de consumo intermediário, U, e o consumo da demanda final em função dos produtos consumidos.
Existem duas abordagens comumente utilizadas para reescrever a equação básica do modelo de insumo produto: supondo-se a tecnologia baseada na indústria (seção 2.3.1) ou supondo-se a tecnologia que se baseia no produto (seção 2.3.2) (MILLER & BLAIR, 2009).
Para a discussão proposta, considera-se uma economia com n setores produzindo m produtos, onde, normalmente, m > n. A matriz de consumo intermediário do modelo, U, é dada por:
𝑈 = [𝑈𝑖𝑗] = [ 𝑈1,1 𝑈1,2 … 𝑈1,𝑛 𝑈2,1 𝑈2,2 … 𝑈2,𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ 𝑈𝑚,1 𝑈𝑚,2 … 𝑈𝑚,𝑛 ]
A matriz U possui m linhas e n colunas. Qualquer elemento 𝑈𝑖𝑗 deve ser interpretado como o valor que o setor j usou como insumo do produto i para realizar sua produção, identificada como xj .
A Tabela de Uso apresenta, também, o consumo da demanda final em termos dos produtos, descrito pelo vetor E:
𝐸 = [ 𝑒1 𝑒2 ⋮ 𝑒𝑚 ]
A soma dos elementos da linha i da matriz U fornece o valor do produto i produzido pela economia doméstica (qi), que é utilizado no consumo intermediário e consumido na demanda final, representado por:
∑ 𝑈𝑖𝑗 𝑛
𝑗=1
+ 𝑒𝑖 = 𝑞𝑖 (12) sendo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤j ≤n
A equação (12) pode ser expressa matricialmente como: 𝑈. 𝑖 + 𝐸 = 𝑄 (13) Onde:
i é um vetor coluna com valores unitários, de ordem nx1 e 𝑄 = [
𝑞1 𝑞2 ⋮ 𝑞𝑚
] é o vetor com o valor da produção dos produtos,
Tendo como base a matriz U, é possível calcular os coeficientes técnicos diretos do consumo intermediário para cada setor produtivo descrito por:
𝑏𝑖,𝑗= 𝑈𝑖,𝑗
𝑋𝑗 (14)
O elemento 𝑏𝑖,𝑗 pode ser interpretado como o valor que o setor j utiliza do produto i para produzir uma unidade monetária. Cada coluna da matriz U traz os valores dos consumos intermediários dos setores em termos dos produtos usados como
insumos. Dividindo uma coluna j qualquer da matriz U pelo valor da produção do setor j (xj) tem-se os coeficientes técnicos diretos de produção do setor j em termos dos produtos empregados como insumos, ou seja, a coluna j da matriz B. Matricialmente, B pode ser obtida como:
𝐵 = 𝑈. (𝑋̂)−1 (15)
sendo 𝑋̂ a matriz diagonal obtida a partir do vetor de produção setorial, X, ou seja, 𝑋̂ = [ 𝑋1 0 0 0 0 𝑋2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 𝑋𝑛 ]
Na equação (15), pós multiplicando-se os dois membros por 𝑋̂, obtém-se: 𝐵. 𝑋̂ = 𝑈 (16)
E, em (16), pós multiplicando-se os dois membros pelo vetor i, tem-se: 𝐵. 𝑋̂. 𝑖 = 𝑈. 𝑖 → 𝐵. 𝑋 = 𝑈. 𝑖 (17)
Substituindo-se a equação (17) na equação (13), chega-se a: 𝐵. 𝑋 + 𝐸 = 𝑄 (18)
A equação (18) é similar à equação (10); então, supondo que a matriz de coeficientes técnicos diretos A é conhecida, considerando o vetor Y como variável exógena e considerando-se a hipótese de uma economia com n setores produtivos, têm-se um sistema linear com n equações e com n incógnitas (correspondente ao vetor X).
Na equação (18), supondo que a matriz de coeficientes técnicos diretos B é conhecida, considerando o vetor E como variável exógena e assumindo a hipótese de uma economia com n setores produtivos e m produtos, têm-se um sistema linear com m equações e com (n + m) incógnitas (ou (n + m) variáveis endógenas), correspondentes às componentes do vetor X e do vetor Q, respectivamente. Assim, a solução da equação matricial (18) requer um conjunto adicional de equações, pois, n > m. A hipótese da tecnologia a ser adotada no modelo fará parte desse conjunto complementar de equações.
2.3.2.1 Tecnologia baseada na indústria
Partindo de uma matriz de produção, V, com n linhas e m colunas, qualquer elemento vi,j da matriz é interpretado como o valor que o setor i produz do produto j. A matriz V é dada por:
𝑉 = [𝑉𝑖,𝑗] = [ 𝑉1,1 𝑉1,2 ⋯ 𝑉1,𝑚 𝑉2,1 𝑉2,2 ⋯ 𝑉2,𝑚 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑉𝑛,1 𝑉𝑛,2 ⋯ 𝑉𝑛,𝑚 ]
A soma das colunas da matriz resultará no vetor com o valor da produção dos setores, X, da seguinte maneira:
𝑋 = 𝑉. [ 1 1 ⋮ 1 ] = 𝑉. 𝑖 (19)
Em que i identifica o vetor coluna com seus elementos iguais a 1. A soma das colunas da matriz transposta de V resultará no vetor com o valor da produção dos produtos, identificado como Q. Em termos matriciais, têm-se:
𝑄 = 𝑉𝑇. [ 1 1 ⋮ 1 ]= 𝑉𝑇. 𝑖 (20)
Assumir a hipótese de tecnologia baseada na indústria significa pressupor que um setor possui a mesma estrutura tecnológica, ou seja, o mix de produção de um dado setor pode ser alterado, porém este mantém sua participação constante no mercado dos bens que produz/atua. Esta escolha se contrapõe com a possibilidade de se considerar uma tecnologia baseada no produto, em que o mix de produção de um dado setor não poderia ser alterado, mas sua participação no mercado dos bens que produz poderia ser alterada.
Na hipótese de tecnologia baseada na indústria, supõe-se que a participação de cada setor no mercado de cada produto que ele produz é constante. Na matriz de produção V, dividindo-se os elementos de uma coluna j qualquer pela sua soma, têm-se
como resultado uma coluna cujos valores representam a participação da produção de cada setor no produto j.
Então, se cada coluna da matriz V for dividida pela sua soma, obtém-se a matriz D, conhecida como matriz de market share, em que cada coluna mostra a participação de cada setor na produção do produto referente à coluna.
𝐷 = 𝑉. (𝑄̂)−1 (21)
Onde 𝑄̂ é a matriz diagonal obtida a partir do vetor de produção dos
produtos Q, isto é, 𝑄̂ = [ 𝑞1 0 0 0 0 𝑞2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 𝑞𝑚 ].
Pós multiplicando-se os dois membros por 𝑄̂ (na equação 21), obtém-se: 𝐷. 𝑄̂ = 𝑉 (22)
E, em (16), pós multiplicando-se os dois membros pelo vetor i, resulta em: 𝐷. 𝑄̂. 𝑖 = 𝑉. 𝑖 → 𝐷. 𝑄 = 𝑉. 𝑖 (23)
Substituindo-se (19) em (23), tem-se:
𝑋 = 𝐷. 𝑄 (24)
A equação matricial (24) representa um sistema linear com n equações e (n + m) variáveis endógenas, dadas por n componentes do vetor X e por m componentes do vetor Q. O sistema de n equações lineares representado pela equação matricial (18) completa o sistema linear de m equações representadas pela equação matricial (12). A solução dos dois sistemas pode ser encontrada, simplesmente, pela substituição de (24) em (18):
𝐵. 𝐷. 𝑄 + 𝐸 = 𝑄 (25) Cuja solução é:
𝑄 = (𝐼 − 𝐵𝐷)−1. 𝐸 (26)
A equação (28), conhecida como a versão produto versus produto do modelo de insumo- produto com a hipótese de tecnologia baseada na indústria traz os impactos sobre o valor da produção dos produtos (vetor Q) necessário para atender à demanda final em termos dos produtos (vetor E), computando-se os efeitos diretos e indiretos envolvidos em toda a cadeia produtiva. O vetor Q, uma vez conhecido, pode ser
substituído na equação (26) para determinar o valor da produção setorial (vetor X) para atender à demanda final.