A experiência de ensino foi elaborada pela investigadora (primeira autora) e discutida quinzenalmente com a professora. A condução da aula, incluindo os momentos de discussão, é da responsabilidade da professora, intervindo a investigadora pontualmente para esclarecer aspetos relacionados com a comunicação de estratégias e erros dos alunos. A experiência é composta por dez tarefas de cálculo mental, sete em contextos matemáticos, duas com problemas e uma tarefa mista, projetadas na sala de aula, semanalmente, usando um PowerPoint temporizado. As tarefas temporizadas foram encaradas como uma forma de desafiar os alunos a calcularem mentalmente com destreza. As estratégias que os alunos constroem individualmente no tempo estipulado são importantes mas tão ou mais importantes são as estratégias que constroem coletivamente na turma, através da discussão e partilha.
Cada tarefa é constituída por duas partes e tem uma duração prevista de 15 minutos. Os alunos têm 15 segundos para resolver cada exercício e 20 segundos para resolver cada problema, individualmente, e anotar o resultado numa folha de papel, seguindo-se um momento de discussão. Na primeira parte, das tarefas em contexto matemático, os alunos têm que escrever o resultado de uma expressão numérica e na segunda parte indicar o número que torna a igualdade verdadeira. Nos problemas apenas têm de escrever o resultado. Em qualquer um dos casos podendo registar cálculos intermédios.
Em termos gerais, as tarefas para além de promoverem o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental e a clarificação dos erros dos alunos também iriam permitir rever e consolidar o trabalho com números racionais de referência. Toda a experiência de ensino foi pensada em articulação com o trabalho da professora com os alunos e, por isso, como já referido, em cada aula, a representação do número
39
Práticas Profissionais dos Professores de Matemática
racional usada estava de acordo com o tópico que a professora estava a trabalhar. No momento em que a professora estava a trabalhar relações e regularidades, os alunos foram desafiados primeiro a adicionar e a subtrair mentalmente números racionais representados por frações e depois a multiplicar e dividir frações. De seguida, no trabalho com volumes, realizaram cálculo mental com números racionais nas representações fracionária e decimal com as quatro operações, com exercícios e problemas, adicionaram e subtraíram decimais, multiplicaram e dividiram decimais e resolveram problemas com a representação fracionária e decimal. Aquando da abordagem do tópico estatística, realizaram cálculo mental com a representação em percentagem, depois multiplicação de números racionais usando as três representações e, posteriormente, usaram as quatro operações básicas e as três representações dos números racionais. Por fim, resolveram problemas usando as três representações e contextos relacionados com os tópicos trabalhados enquanto decorria a experiência de ensino.
A título de exemplo, explicamos de seguida os aspetos que considerámos importantes na construção de três das dez tarefas que os alunos resolverem na experiência de ensino.
Pensa rápido! Qual o valor exato?
𝑎𝑎 12+12 𝑏𝑏 34−14 𝑐𝑐 12+24 𝑑𝑑 34−12 𝑒𝑒 48+24 𝑓𝑓 12 + ? = 1 𝑔𝑔 ? −105 = 103 ℎ) 36 + ? = 1 𝑖𝑖 12− ? =14 𝑗𝑗 12+ ? = 34 ) ) ) ) ) ) ) ) )
Figura 1 – Primeira tarefa de cálculo mental da experiência de ensino.
A primeira tarefa de cálculo mental (figura 1) envolve adição e subtração de números racionais na representação fracionária e foi realizada pelos alunos no momento em que a professora tinha iniciado o trabalho com sequências e regularidades, por considerarmos que a representação fracionária é uma das mais usadas neste tópico.
Nesta tarefa foram usados números de referência, como 1/2, 1/4 e 3/4 (Galen et al., 2008) e, essencialmente apelámos ao trabalho com metades, uma vez que reconhecer e operar com metades na forma de fração é uma capacidade básica de
cálculo mental com números racionais nesta representação (Callingham & Watson, 2004). Iniciámos com as operações adição e subtração por serem as primeiras que os alunos realizam com frações. Os cálculos a realizar envolvem números racionais na representação em fração com o mesmo denominador ou com denominadores múltiplos um do outro para permitir facilmente o recurso a equivalências.
Em termos de estratégias, esperávamos que os alunos recorressem a imagens mentais pictóricas de frações de referência para operar, a que se associa o conceito de fração como uma relação parte-todo, à inclusão das representações simbólicas em contextos com significado para estes (se a 3/4 de hora retiro 1/4 de hora, fica…), ao uso mental de algoritmos e ao uso de factos numéricos (e.g., duas metades constituem uma unidade…). Relativamente aos erros, prevíamos que os alunos operassem com numeradores e denominadores como se fossem números naturais, um erro frequente, calculassem erradamente frações equivalentes ou que manifestassem dificuldades na relação parte-todo ao imaginar mentalmente a representação pictórica das frações envolvidas.
A quinta tarefa (figura 2), em contexto matemático, envolve multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal, tendo sido realizada no momento em que os alunos estavam a abordar o tópico volumes. Tendo em conta os níveis de desenvolvimento de cálculo mental de Callingham e Watson (2004), foram usados numerais decimais equivalentes a representações de referência, como 1/2, 1/4 e 1/5; multiplicação de dois decimais com o mesmo número de casas decimais ou diferentes; divisão por 0,5 e divisão de decimais quando os dígitos são múltiplos.
Esperávamos que os alunos, tendo em conta o trabalho realizado no 1.º ciclo com números racionais na representação decimal e o trabalho realizado nas primeiras tarefas da experiência de ensino, tivessem estratégias baseadas em regras memorizadas como a multiplicação por potências de 10, o uso de factos numéricos para a reconstrução da unidade (e.g., 0,25 x 4 = 1), a mudança de representação de decimal para fração, o uso de equivalências, a decomposição, a compensação e as propriedades das operações. No que se refere a erros, esperávamos que os alunos comparassem erradamente dois números racionais na representação decimal; escrevessem o produto ou quociente não considerando corretamente o valor posicional dos algarismos; ou estabelecessem equivalências erradas entre representações de um número racional e manifestassem dificuldades no sentido de operação multiplicação e divisão de decimais.
41
Práticas Profissionais dos Professores de Matemática
Pensa rápido! Qual o valor exato?
a) 0,25×4 b) 12,2 ÷0,5 c) 0,6 ×0,30 d) 0,14 ÷ 0,2 e) 4,2 ×0,2 f) ? ×0,5=30 g) 2,1 ÷ ?=8,4 h) ? ×0,4=0,16 i) 0,82 ÷ ?=1,64
j) 25,5 × ?=5,1
Figura 2 – Quinta tarefa de cálculo mental da experiência de ensino.
Na última tarefa da experiência de ensino (figura 3) de que, por questões de espaço, apenas apresentamos a primeira parte, o contexto dos problemas relaciona- se com tópicos matemáticos que a professora trabalhou na aula de Matemática ao longo da realização da experiência de ensino (nomeadamente, Estatística, medida, comparação de números racionais e percentagem). Foram criados problemas que pudessem originar expressões semelhantes às discutidas ao longo da experiência de ensino (por exemplo, em a) os alunos teriam de formar a unidade partindo de 0,40 e em d) podem usar 10% como valor de referência para efetuar o cálculo).
Pensa rápido! Qual o valor exato?
a) Lançou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa
tabela de frequências relativas. Se à face Euro corresponder 0,40 de frequência relativa, qual a frequência relativa da face nacional?
b) A avó da Sofia vai-lhe fazer uma saia. De uma peça de tecido com 8,16 m
retirou 1
8. Que porção de tecido usou?
c) A mãe da Catarina fez um bolo de chocolate. Ao almoço a Catarina comeu 101
e o pai 1
5. Ambos comeram mais ou menos de metade do bolo de chocolate?
d) Uma camisola custa 25€. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula
o valor do desconto.
Como estes problemas envolvem as três representações dos números racionais, esperávamos que os alunos usassem algumas das estratégias que já referimos anteriormente, mas que deixassem de cometer alguns dos erros manifestados, como a adição e subtração de numeradores e denominadores na adição e subtração de números racionais na representação fracionária, ou a adição/subtração de números racionais na representação percentagem com outros valores (e.g., para calcular 20% de 25, calcular 25-20). Esperávamos que os alunos continuassem, a ter dificuldades na interpretação do problema e na escolha da operação correta para o resolver. Estes são aspetos da aplicação do conhecimento e destreza com números e operações em situações de cálculo que McIntosh, Reys e Reys (1992) destacam como importantes para a aquisição do sentido de número, e onde os alunos manifestam dificuldades.