Depois de analisada a atividade dos alunos, durante as duas aulas dedicadas à resolução desta tarefa, observou-se que o ciclo de modelação é percorrido uma vez, embora se observem avanços e recuos na transição entre as fases do modelo
matemático, dos resultados matemáticos, dos resultados reais e da representação mental da situação, como se pode observar na Figura 2, através das setas de duplo
sentido. A atividade dos alunos é, predominante, entre a fase da situação real e a fase do modelo matemático. Na primeira aula a atividade dos alunos começa com o confronto com a situação real. Os alunos fazem uma representação mental da situação, através da compreensão da tarefa e usando o conhecimento extra- matemático. Na tentativa de simplificar o problema apresentado e de delinear uma
abordagem, os alunos deparam-se com algumas dificuldades para fazer emergir um modelo real, superadas pela mobilização do CEM, e já perto do final da primeira aula os alunos iniciam a matematização do problema. Na segunda aula, a atividade dos alunos, apoiada pelo CEM, centra-se em torno da matematização e do trabalho matemático para encontrar resultados que virão a ser considerados, pelo grupo, como os resultados reais e que permitem, na sua interpretação, a conclusão da resolução da tarefa. 1 Compreender a tarefa 2 Simplificar / Estruturar a tarefa 3 Matematizar 4 Trabalhar matematicamente 5 Interpretar 6 Validar Modelo matemático Resultados matemáticos Representação mental da situação Situação real Modelo real Resultados reais Conhecimento extra-matemático (CEM)
Resto do mundo Matemática 1 2 3 4 5 6 Conhecimento extra-matemático (CEM)
Figura 2 – Ciclo de modelação e subatividades na tarefa de modelação “Entregas ao domicílio”.
De seguida, pormenoriza-se a atividade dos alunos do grupo escolhido durante a resolução da tarefa, de acordo com a rota no ciclo de modelação apresentada na Figura 2.
Situação real → Representação mental da situação. Após a professora ter
distribuído a tarefa observa-se um grande silêncio entre os elementos do grupo de alunos. Em especial, Rodrigo e Sandro demoram-se na leitura atenta da tarefa. Ao fim de quatro minutos, Rodrigo e José trocam algumas palavras, que revelam a primeira tentativa de compreensão da situação apresentada.
Rodrigo: Isto é um aluguer…
José: Temos de aplicar o lucro…aplicar…
Rodrigo manifesta a necessidade de mais dados para além dos que são fornecidos no texto, o que decorre do contexto em que se insere a situação apresentada e do fato de esta lhe ser familiar no âmbito de outras disciplinas.
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Perante a situação real apresentada na forma de texto, os alunos procuram compreender a tarefa e transitam da situação real para a representação mental da situação (seta 1, Figura 2), pois mostram estar a focar-se nos factos que consideram essenciais para a resolução do problema e que pretendem relacionar. A forma como Rodrigo sumariza o que é pedido na tarefa, como sendo um aluguer, evidencia o uso do conhecimento extra-matemático, na transição entre estas fases.
Representação mental da situação → Modelo real. Na transição da representação mental da situação para o modelo real, os alunos tentam simplificar e estruturar uma
abordagem à resolução da tarefa, apelando ao CEM ao estabelecer a comparação com situações reais idênticas. Observa-se que se deparam com muitas dificuldades, como, por exemplo, na identificação da estrutura interna da situação.
Rodrigo: Olha a taxa de saída é como os taxistas, ele paga logo os dois euros e depois começa a contar… pagas dois euros mais os quilómetros que fizeres…
Rodrigo: Uma coisa que eu não sei é como é que os gajos do
Continente fazem…eles não fazem preços certos?
Andreia: É, é preços certos…
Rodrigo: Por exemplo, eles não levam cinco euros quer tu leves o que levares?…nem que seja só uma coisinha…levam-te cinco euros… Andreia: É, é assim… Tu vais ter o valor do frete e depois vais dividir o frete pelos quilómetros… aí vai dar quanto é que ele vai cobrar…
Na última intervenção de Andreia, neste excerto, a aluna parece ter em mente um modelo, embora não fique claro se este diz respeito ao cliente da empresa ou do supermercado. Contudo, esta é uma primeira tentativa onde o número de quilómetros surge como uma potencial variável. Mais adiante, observa-se que os alunos continuam com dificuldade em clarificar uma variável para a relação que pretendem estabelecer e voltam a mobilizar os seus conhecimentos extra-matemáticos, associados a situações reais idênticas.
Andreia: Eu acho que é mais lógico pelo número de quilómetros… não… tu tens aqui… acho que são vinte e nove… (conta o número de clientes) tens aqui os trinta… tu vais fazer os dois euros a dividir pelos trinta? O que te interessa no frete é os quilómetros…logo eu
acho que tem mais lógica é fazer os dois euros a dividir pelo número de quilómetros…e é assim que a Sonae Distribuição faz as contas…é pelo número de quilómetros… o número vai variar conforme o número de quilómetros…porque é assim, eles dão-te um x, tu moras na zona n, a zona n levam-te até, imagina, pelo serviço, seis euros, mas depois já fazes mais quilómetros e pertences à zona m, a zona
m já vai pagar sete euros por exemplo, porque eles fazem conforme
os quilómetros…logo as contas são feitas a partir dos quilómetros e não do número de pessoas… porque tu estás a fazer variar o número de pessoas e não o número de quilómetros…
Os alunos discutem o problema no seio do seu grupo, até que Sandro acaba por pedir a intervenção da professora, evidenciando a sua dificuldade em representar a estrutura da situação fornecida.
Sandro: Setora, a gente sabe os quilómetros que vai fazer mas não sabe pensar o custo por quilómetro, como não sabemos o número de clientes nem a quantos clientes vamos aplicar aquela taxa de dois euros. Como é que se faz essa conta? Quantas incógnitas podemos utilizar numa fórmula?
Professora: Eu ainda não percebi o que estás a considerar… Quais são as tuas variáveis? O que é que vocês estão a relacionar? É o número de quilómetros ou é o número de clientes?
Andreia: Ele defende os clientes e eu defendo os quilómetros… Rodrigo: se usássemos com os quilómetros estávamos a perder dinheiro… (não conclui)
Sandro: como é que é essa fórmula agora?
Modelo real → modelo matemático
Na tentativa de definir uma variável e uma relação funcional, as afirmações dos alunos, no excerto anterior, progridem ao nível matemático, o que evidencia que a sua atividade está a situar-se na transição do modelo real para o modelo matemático. Rodrigo apela ao seu CEM, com o objetivo de atribuir significado aos conhecimentos matemáticos que vão sendo mobilizados para definir um modelo matemático que traduza a situação enunciada.
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Mais adiante, depois de apurado o preço por quilómetro (0,637), de acordo com os valores da tabela que consta do Anexo 2 e com o CEM na área do transporte de mercadorias, Andreia assume a expressão y = 0,637x + 2 como um bom modelo matemático, o que provoca a discussão no grupo:
Andreia: Temos de ir ao graph. (Introduz na máquina a função y=0,637x+2 e obtém a sua representação gráfica)
Rodrigo: O que é que é o x?
Andreia: O x cá em baixo? (refere-se ao eixo das abcissas) É os quilómetros. É suposto o preço subir conforme o número de quilómetros…
Sandro: Não…
José: Não, vai ser suposto descer… Rodrigo: Isto está mal… não pode ser. Sandro: Está mal o quê?
Rodrigo: Não pode ser…
José: Quanto mais quilómetros fizerem, vais pagar menos…
Na última afirmação, José identifica a existência de uma relação de proporcionalidade inversa entre o custo diário da carrinha e o número de quilómetros realizados diariamente. Mais adiante, Andreia refere-se a esta relação por função “inversa”. Os alunos discutem a propriedade que esperam encontrar na representação gráfica que traduz a situação, mas José, com base no seu CEM, critica o modelo linear encontrado por Andreia:
Professora: O que é te faz confusão com essa função?
Andreia: É que não é inversa, setora… isso é que lhe está a fazer confusão…
Professora: Inversa?
Andreia: É que ele está a pensar na inversa. É isso é que lhe está a fazer confusão.
Professora: Inversa como?
Andreia: (vira-se para José) Não é? Tu estavas a pensar que quanto maior fosse o número de quilómetros menor era o custo.
Andreia: Tens uma empresa que faz uma coisa de Loures para Santarém e de Loures para o Porto. Para o Porto fica mais barato do que para Santarém? Eu acho que o do Porto fica mais caro.
José: Tens que cobrar mais aos que estão mais perto.
Andreia: O custo por quilómetro diz tudo… logo tem de ser aquele custo por x quilómetros. Se aumenta os quilómetros, aumenta o custo. Por isso, nunca pode ser de outra maneira.
O sentido que atribuem à representação gráfica obtida com a CG permite-lhes decidir sobre a validade do modelo encontrado. Esta é a estratégia que Sandro utiliza ao introduzir na máquina a expressão 0.637𝑥𝑥 + 2
𝑥𝑥 . Dá sentido aos comentários de
José e de Andreia, ao procurar, intuitivamente, a função “inversa” que sabia não ser representada por uma reta, mas de uma forma que obrigaria que, na expressão algébrica, surgisse uma divisão pela letra utilizada para representar o número de quilómetros.
Sandro obtém uma representação (Figura 3), e através da interação entre Rodrigo, José e Sandro, compreendem a representação gráfica obtida, no contexto da situação apresentada e obtêm a validação do seu modelo. Interpretam o significado do eixo das abcissas e discutem a redefinição da janela de visualização, no que diz respeito ao domínio e o contradomínio adequado ao contexto da situação:
Sandro: É que eu não sei explicar o que está aí. Eu não percebo bem esta matéria.
Professora: Não percebes esta matéria? Rodrigo ajuda lá um bocadinho.
Rodrigo: Para dizer o quê?
Professora: Ele conseguiu ver o gráfico, mas agora está com dificuldade em dizer o que é isso.
Rodrigo: Isto não nos interessa. (Aponta para a ramo negativo da hipérbole)
Professora: Porque é que isso não interessa?
Rodrigo: Não há quilómetros negativos. Nós não fazemos quilómetros negativos.
José: O que é que é o eixo dos xx? Sandro: É o número de quilómetros.
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Figura 3 – Representação gráfica obtida por Sandro.
Os valores utilizados para a janela de visualização ([1,240]×[0,3]) partem de uma análise dos dados, do contexto do problema e do sentido atribuído à expressão analítica. Nesta altura, os alunos tinham gerado dois modelos: y = 0,637x + 2 e
𝑦𝑦 =0,637𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + . No entanto, o grupo não tinha ainda clarificado a correspondência
destes modelos com as situações apresentadas no enunciado da tarefa.
Modelo matemático ↔ Resultados matemáticos ↔ Resultados reais. A atividade
do grupo, nesta etapa, já transitou do modelo matemático para os resultados
matemáticos, muito embora retorne ao modelo matemático que os alunos perseguem
na tentativa de o compreender.
A discussão dos alunos baseia-se na leitura das representações gráficas obtidas com a CG, procurando validar os modelos que lhes correspondem através de metáforas com o seu CEM. Na tentativa de encontrar um modelo que traduza a situação, mostram alguma dificuldade em estabelecer relações entre as diferentes formas de representar uma função, especialmente a analítica e a gráfica. A validação do potencial modelo para a situação problemática continua dependente do significado da variável na expressão da função introduzida na CG e da interpretação que fazem da sua representação gráfica. Esta interpretação é feita de acordo com a intuição, conhecimentos matemáticos adquiridos em momentos anteriores e com o CEM, nomeadamente na área do transporte de mercadorias.
Os alunos continuam a usar as potencialidades gráficas da CG para fazer procedimentos, tais como concretizar o valor da variável para 50 quilómetros, de forma a tirar conclusões. Não manipulam algebricamente as expressões que vão procurando estabelecer mas procuram dar sentido às expressões encontradas.
Figura 4 – Primeiro registo escrito sobre a tarefa.
Na resposta apresentada, registam as expressões analíticas das funções obtidas através do sentido dado à sua representação gráfica obtida pela CG, indicando a janela de visualização utilizada.
Na transição do modelo matemático para os resultados matemáticos, os alunos trabalham matematicamente muito apoiados na interpretação das representações gráficas e os resultados matemáticos são interpretados de acordo com a sua possível correspondência com resultados reais.
Resultados reais ↔ Representação mental da situação. Depois de terem obtido
alguns resultados matemáticos, os alunos procuram adequá-los à representação mental da situação apresentada e concluir a tarefa, verificando se respondem ao que é solicitado, evidenciando a transição para a representação mental da situação. Contudo, observa-se, também, um retorno aos resultados reais e à validação dos seus raciocínios através da interpretação dos resultados matemáticos obtidos com a CG.
Já perto do final da segunda aula, os alunos consideram a tarefa concluída produzindo o registo escrito da Figura 5.
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Figura 5 – Registos escritos como resposta à tarefa.
Conclusões
Um dos objetivos deste estudo diz respeito ao papel do CEM no desenvolvimento dos processos de modelação. Através da análise da atividade de modelação dos alunos em torno da tarefa proposta, podemos concluir que o CEM permitiu dar sentido ao objetivo da tarefa e interpretar os modelos encontrados, indo ao encontro dos aspetos referidos por Stillman (2000). O CEM foi requerido não só na transição da representação mental da situação para o modelo real, e deste para o modelo
matemático, como referido por Ferri (2006), mas também na transição entre as fases da situação real para a representação mental da situação e entre o modelo matemático e
os resultados matemáticos. Em particular, o CEM emerge nas sub-atividades relativas à compreensão, simplificação e estruturação da tarefa e ao trabalho matemático. Por exemplo, o CEM permitiu a construção de relações funcionais, guiando os alunos na compreensão da tarefa, e assumiu especial relevância na definição das variáveis e construção de hipóteses ao longo do desenvolvimento do modelo matemático.
A tarefa foi construída com a intenção de apresentar um contexto complexo e exigente do ponto de vista da interpretação requerida, uma vez que nem os elementos essenciais da situação nem os conceitos ou procedimentos matemáticos envolvidos eram facilmente identificáveis. Esta situação criou um bloqueio na atividade desenvolvida pelos alunos que, tal como se pretendia, foi ultrapassado pelo uso do CEM que se caracterizou pela comparação com situações reais idênticas, utilização de conhecimentos da área de estudo do transporte de mercadorias e associação a experiências pessoais.
Um dos propósitos bem-sucedidos da tarefa foi a promoção da comunicação oral e escrita, aspeto também referido no estudo realizado por Brown e Edwards (2011). Uma parte da discussão, cujo foco saiu do âmbito da Matemática, foi fundamental para que os alunos, nos momentos de bloqueio, não desistissem da tarefa. As interações observadas no uso do seu CEM conduziram o processo de modelação e revelaram-se essenciais para a transição entre as fases e a ativação das diferentes sub-atividades no ciclo de modelação. Deste modo, a opção pelo trabalho em grupo revelou-se bastante adequada às características da tarefa proposta.
Relativamente ao segundo objetivo do estudo, conclui-se que as características da tarefa, baseadas nos princípios que nortearam a sua construção (Lesh et al., 2000), potenciaram o desenvolvimento dos processos de modelação, como a seguir se fundamenta. A tarefa tem um contexto significativo para os alunos, tornando-a acessível, cumprindo assim o princípio da simplicidade, embora, como referimos acima, a situação exija um elevado nível de interpretação. A reação inicial positiva que se observou por parte dos alunos relaciona-se com a familiaridade da situação apresentada e coma proposta de aplicação da Matemática no âmbito de outra disciplinada esfera da prática profissional. Desta forma, foi também cumprido o princípio da realidade, já que os alunos deram sentido à situação com base no seu conhecimento e nas suas experiências pessoais. A ligação da Matemática com o CEM do aluno, como uma ferramenta motivadora na resolução da tarefa, foi assim um objetivo que veio a ser atingido.
A situação apresentada procurou criar oportunidades para aplicar ou gerar um modelo através do estabelecimento de conexões matemáticas entre tópicos relacionados com o tema das funções. O conhecimento matemático necessário para a sua resolução procurou ser ajustado ao nível de competência matemática dos alunos e de forma a constituir um desafio. A forma como os alunos foram progredindo na resolução da tarefa leva-nos a crer que esta lhes proporcionou a oportunidade de
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descrever, explicar e justificar as suas conjeturas e ainda de mobilizar conhecimentos matemáticos adequados para dar respostas próprias face à situação apresentada. Assim, cumpriu-se o princípio da construção do modelo.
A utilização da calculadora gráfica desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento dos processos de modelação. Os alunos usaram as representações gráficas obtidas e interpretaram-nas de acordo com o seu CEM. A CG usada como ferramenta de visualização (Doerr & Zangor, 2000) permitiu experimentar, formular e testar as suas conjeturas, pelo que se conclui que foi utilizada com reflexão sobre os conceitos matemáticos envolvidos e permitiu que desenvolvessem o seu conhecimento matemático e a capacidade para criar e modificar modelos matemáticos (Lesh & Doerr, 2003). Desta forma, ao longo da resolução da tarefa os alunos acederam continuamente aos modelos que foram criando, tendo-se cumprido o princípio da autoavaliação.
Na resolução desta tarefa o processo de comunicação desempenhou um papel importante na interação social entre os alunos assim como no desenvolvimento da comunicação matemática. Embora os alunos produzissem respostas escritas pouco detalhadas ou incompletas, o princípio da documentação revela-se igualmente presente na atividade dos alunos em torno da tarefa.
Os modelos encontrados pelos alunos poderiam ser generalizáveis e adaptáveis a outras situações análogas, envolvendo outro tipo de variáveis, o que sugere um possível desenvolvimento desta tarefa. Desta forma, a construção da tarefa seria ampliada ao princípio da generalização da construção (Lesh et al., 2000).
A construção e a aplicação desta tarefa constituíram um desafio à prática profissional da professora, tanto no planeamento como na concretização destas aulas. A contextualização da tarefa num campo profissional relacionado com o prospetivo futuro profissional dos alunos só é possível com o conhecimento efetivo desse campo. De outra forma, as tarefas correm o risco de se tornar artificiais para os alunos e, consequentemente, não suscitarão a mobilização de CEM. Deste modo, a professora procurou familiarizar-se com o tema contactando com profissionais da área e encontrar conexões com a Matemática escolar. Procurou ainda respeitar a complexidade inerente ao contexto real da situação-problema criada não só na forma como esta foi proposta à turma mas também adotar uma postura não diretiva no acompanhamento do trabalho dos alunos. Ao trazer o “resto do mundo” para dentro da sala de aula, a professora tornou-a num espaço privilegiado para a mobilização de aprendizagens anteriores, dentro e fora da Matemática.
Referências
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teacher interventions in lessons with demanding modelling tasks. In Proceedings of CERME-4, WG 13 Modelling and Applications (pp. 1623-1633). Sant Feliu de Guíxols, Spain.
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Boaler, J. (1999). Participation, knowledge and beliefs: A community perspective on
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Brown, J., & Edwards, I. (2011). Modelling tasks: Insight into mathematical understanding. In G. Kaiser, W. Blum, R. Ferri, & G. Stillman (Eds.), Trends in teaching and learning of mathematical modelling (ICTMA – 14) (pp.187-197). New York, NY: Springer.
Doerr, H., & Zangor, R. (2000). Creating meaning for and with the graphing calculator.
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Ferri, B. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling